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高中数学北师大版选修1-1课件:第二章 3.2 双曲线的简单性质_图文

第二章 §3 双曲线 3.2 双曲线的简单性质 学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴 长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中 a,b,c,e 间的关系. 4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 双曲线的简单性质 思考 类比椭圆的简单性质,结合图像,你能得到双曲线 x2 y2 2- 2=1(a>0,b>0)的哪些性质? a b 答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线. 梳理 标准方程 x2 y2 2- 2=1(a>0,b>0) a b y2 x2 2- 2=1(a>0,b>0) a b 图形 范围 对称性 性质 x≥a或x≤-a _____________ 坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____ A1(-a,0),A2(a,0) ____________________ b y=± x a y≥a或y≤-a _____________ 坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____ A1(0,-a),A2(0,a) ___________________ a y=± x b 顶点坐标 渐近线 离心率 e= c ,e∈(1,+∞) a 知识点二 双曲线的离心率 思考1 如何求双曲线的渐近线方程? 答案 思考2 椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,在双曲线中, 双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征,怎样描述双曲线 的“张口”大小呢? 答案 x y 双曲线 2- 2=1 的各支向外延伸逐渐接近渐近线, 所以双曲线 a b 2 2 c - a b c b 的“张口”大小取决于 的值, 设 e= , 则 = = e2-1. a a a a 2 2 b 当 e 的值逐渐增大时, 的值增大, 双曲线的 “张口”逐渐增大. a 梳理 c 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫作双曲线的 离心率 ,其取值范围是 a (1,+∞) .e越大,双曲线的张口 越大 . 知识点三 双曲线的相关概念 1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,它的渐近线是y=±x. 题型探究 类型一 由双曲线方程研究其性质 例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率和渐近线方程. 解答 2 2 2 2 x y x y 将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1,即 2- 2=1, 9 4 3 2 所以 a=3,b=2,c= 13,因此顶点坐标为(-3,0),(3,0); 实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4; 焦点坐标为(- 13,0),( 13,0); c 13 b 2 离心率 e= = ; x=± x. 3 渐近线方程为 y=± a 3 a 反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的简单性质. 跟踪训练1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程. 解答 2 2 y x 把方程 9y2-16x2=144 化为标准方程 2- 2=1. 4 3 由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3; c= a2+b2= 42+32=5,焦点坐标是(0,-5),(0,5); c 5 4 离心率 e= = ;渐近线方程为 y=± x. 3 a 4 类型二 由双曲线的简单性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 解答 4 x2 y2 y2 x2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b c 5 由题意知 2b=12, = ,且 c2=a2+b2,∴b=6,c=10,a=8. a 4 x y y x ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 2 2 2 2 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 解答 2 3 x y 设以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为 - =λ(λ≠0). 2 4 9 9 当 λ>0 时,a =4λ,∴2a=2 4λ=6?λ= ; 4 2 2 2 当 λ<0 时,a2=-9λ, ∴2a=2 -9λ=6?λ=-1. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 9 81 9 4 4 (3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程. 解答 x2 2 x2 2 设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y =λ(λ≠0). 2 2 将点(2,-2)代入双曲线方程, 22 2 得 λ= -(-2) =-2, 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4 反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴; ②设双曲线的标准方程; ③根据已知条件或简单性质列方程,求待定系数; ④求出a,b,写出方程. x2 y2 x2 y2 (2)① 与 双曲 线 2 - 2 = 1 共焦点的 双曲 线 方程可 设为 2 - 2 = a b a -λ b +λ 1(λ≠0,-b <λ<a ); 2 2 x2 y2 x2 y2 ② 与双曲线 2- 2 = 1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2 - 2 = a b a b λ(λ≠0); ③渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 5 ; 解答

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