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定积分的概念导学案


定积分的概念导学案
学科:高二数学 编写人:邓朝华 课型:新授课 课时:4 课时 编写时间:2013-3-15 姓名:

审核人:陈 平 班级:

【导案】
【学习目标】
1.了解连续函数的概念和定积分的实际背景。 2.会用“分割→求和→取极限”的方法求曲边梯形的面积及变速直线运动的路程。 3.体会“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法。 4.理解定积分的概念。 5.掌握和应用定积分的运算性质。 6.掌握定积分的几何意义及应用。 7.体会数学的应用价值。

【教学重难点】
重点: “以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法、定积分的概念、几何意义 难点: “以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法、定积分的概念、几何意义

【学案】
1.连续函数 如果函数 y=f(x)在某个某间 I 上的图象是一条____________的曲线,那么就把它称为区 间 I 上的连续函数。 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形 由直线 x=a, x=b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为____________(如图①) 。 (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a, b]分成许多小区间, 进而把曲边梯形拆分为一些____________。 对每个________
1

“以直代曲” ,即用________的面积近似代替____________的面积,得到每个小曲边梯形面积 的________,对这些近似值________,就得到曲线梯形面积的____________(如图②) 。

(3)求曲边梯形面积的步骤 ①________________; ②________________; ③________________; ④________________。 3.求变速直线运动的路程(位移) 把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题。即将区间________ 等分成________小区间,在每个小区间上,由 v(t)的变化________,可以认为汽车近似于作 ________ 直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,再求和得 S 的 ________,最后让 n 趋向于无穷大就得到 S 的________。 4.定积分的概念 (1)分割 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a, b] ____________________. (2)近似代替 在每个区间[xi-1, xi]上任取一点ξ i(i=1, 2, ?, n)。 (3)求和 作和式

? f (?i )?x = ?
i ?1 i ?1

n

n

b?a f (?i ) 。 n

(4)取极限 当 n→∞时,上述和式无限接近某个________,这个________叫做函数 f(x)在区间[a, b] 上的定积分,记作

?

b a

f ( x )dx ,即 ? b a f ( x ) dx =____________________________________。

2

这里,a 与 b 分别叫做____________________,区间[a, b]叫做________________,函数 f(x)叫做____________,x 叫做____________,f(x)dx 叫做________________。 (5)定积分的几何意义 如果在区间[a, b]上函数 f(x) ________________,那么定积分 =b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x)围成的________________。 (6)定积分的性质 (1) (2) (3)

?

b a

f ( x )dx 表示直线 x=a, x

?

b a

kf ( x ) dx =____________________(k 为常数);
b a b a

? ?

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx =____________________。 f ( x)dx = ?
c a

。 f ( x)dx +____________________(其中 a<c<b)

7.例题分析 【例 1】求由抛物线 y=x2 与直线 x=1, y=0 所围成的平面图形的面积 S?

3

【例 2】汽车做变速直线运动,在时刻 t 的速度 v(t)=-t2+2。 (t 的单位:h, v 的单位: km/h)那么它在 0≤t≤1 这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少?

【例 3】利用定积分的定义,计算

?

1 0

x3dx 的值。

8.达标检测 教材 P 42 练习 P45 练习 T1-2 P48 练习 P50 习题 A 组、B 组

4

定积分的概念练案(一)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.3.15 姓名: 评分:

1. 求由直线 x=1, x=2 和 y=0 及曲线 y=x3 围成的图形的面积。

2.一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻 t 的速度为 v(t)=-t2+5(单位:km/h), 试计算这辆汽车在 0≤t≤2(单位:h)这段时间内汽车行驶的路程 S(单位:km).

3. 用定积分的定义证明:

?

b a

kdx ? k (b ? a) .

5

4.用定积分的几何意义求下列各式的值。 (1)

?

1 ?1

4 ? x 2 dx ;

(2)

?

?
2 ?

? sin xdx ;
2

(3)

?

?

5 ? 2 2

(1 ? sin x)dx 。

5.已知 f(x)=ax2+bx+c,且 f(-1)=2, f ? (0)=0,

?

1 0

f ( x)dx =-2,求 a、b、c 的值。

6.求抛物线 f(x)=x2 与直线 x=0, x=1, y=0 所围成的平面图形的面积 S?

6

7. 汽车以速度 v 做匀速直线运动时, 经过时间 t 所行驶的路程为 S=vt,如果汽车做变速直线 运动,在时刻 t 的速度 v(t)=t2+2(单位:km/h),那么它在 1≤t≤2 这段时间内的行驶的路 程是多少?

8. lim ln
n ??

n

1 2 n (1 ? ) 2 (1 ? ) 2 ?(1 ? ) 2 可化为( n n n
ln 2 xdx
B. 2



A.

?

2 1

?

2 1

ln xdx

C. 2

?

2 1

ln(1 ? x)dx D.

?

2 1

ln 2 (1 ? x)dx

9. 利用定积分的几何意义求下列定积分。 (1)

?

1 0

(2) ? 1 ? x 2 dx ;

2? 0

cos xdx ; (3) ?

1 ?1

(sin 7 x ? x3 )dx

7

10. 利用定积分性质和几何意义求定积分:

?

3 0

(2 ? x)2 dx

11.

用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围成的图形面积。

8

定积分的概念练案(二)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.3.15 姓名: 评分:

1. 在求由抛物线 y=x2 与直线 x=2,y=0 所围成的平面图形的面积时,把区间[0, 2]等分成 n 个小区间,则第 i 个区间为 A. [ ( )

i ?1 i 2(i ? 1) 2i 2i 2(i ? 1) , ] C. [ , ] D. [ , ] n n n n n n i ?1 i 2. 当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间[ , ]上的值,可以用下列哪个值近似代替( n n 1 i 2 A. f( ) B. f( ) C. f( ) D. f(0) n n n i ?1 i , ] n n
B. [



3. 设函数 f(x)在区间[a, b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b 把区间[a, b]等 分成 n 个小区间,在每个小区间 [xi - 1, xi] 上任取一点 ξ i(i = 1, 2, ? , n) ,作和式 In = ,那么和 I 的大小 ? f (? )?x (其中△x 为小区间的长度)
i ?1 i
n

n





A. 与 f(x)和区间[a, b]有关,与分点的个数 n 和ξ i 的取法无关 B. 与 f(x)、区间[a, b]和分点个数 n 有关,与ξ i 的取法无关 C. 与 f(x)、区间[a, b]和ξ i 的取法有关,与分点的个数 n 无关 D. 与 f(x)、区间[a, b]、分点的个数 n、ξ i 的取法都有关 4. 在等分区间的情况下,f(x)= 式正确的是 A. lim
n ??

1 (x∈[0, 1])及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形 1 ? x2
( )

?[
i ?1

n

1 2 ? ] i 2 n 1? ( ) n

B. lim
n ??

?[
i ?1 n

n

1 1 ? ] i 2 n 1? ( ) n 1 ? n] i 2 1? ( ) n

C. lim
n ??

1 1 [ ? ] ? 2 n i ?1 1 ? i

n

D. lim
n ??

?[
i ?1

5. 利用“求和式极限”的方法求得的曲边梯形的面积是____________(填近似或精确)值。 6. 由 y=3x, x=0, x=1, y=0 围成的图形的面积为_______________。
9

7. 在水利建设中,常常要做计河床的截面积。设有一河床的截面如图,取截面与水平面的交 线作 x 轴,y 轴垂直河下,已知河宽 OB=40 米,每隔 8 米测量一次深度 y,所得的数据 如下表所示,试估算河床的截面积 S。 xi yi 0 1.37 8 4.61 16 5.37 24 6.39 32 5.90 40 3.53

8. 由求 y=ex, x=0, x=1 及 x 轴围成的曲边梯形的面积。 (注: lim
n ??

1 n 1? e

1 n

=-1)

10

9. 求直线 x=0, x=2, y=0 与曲线 y=x2 所围成曲边梯形的面积。

10. 一辆汽车作变速直线运动,设汽车在时间 t 的速度 v(t)= 时间内运动的路程 s。

6 ,求汽车在 t=1 到 t=2 这段 t2

11

定积分的概念练案(三)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.3.15 姓名: 评分:

1. 设 f(x)在[a, b]上连续,则 f(x)在[a, b]上的平均值为





f ( a ) ? f (b ) 2 1 b C. f ( x)dx 2 ? a
A. 2. 下列说法正确的是 A.

B. D.

?

b a

f ( x)dx

1 b?a

?

b a

f ( x)dx
( )

? ?

1 0

n i 1 f ( x)dx > ? f ( ) n n i ?1 n i 1 f ( x)dx = ? f ( ) n n i ?1

B.

?

1 0

n i 1 f ( x)dx < ? f ( ) n n i ?1

C.

1 0

D. 以上都有可能

3. 直线 x=1, x=-1, y=0 及曲线 y=x3+sinx 围成的平面图形的面积可表示为 A. C. |





? ? ?

1 ?1 1 ?1 b a

( x3 ? sin x)dx

B. 2 D.
b a

?

1 0 1 0

( x3 ? sin x)dx

( x3 ? sin x)dx | [ f ( x) ? g ( x)]dx =18, ?
B. 10
2

?

( x3 ? sin x)dx
b a

4. 已知 A. 8 5.

g ( x)dx =10,则 ?
C. 18

f ( x)dx 等于
D. 不确定





?
A.

1 0

x e x dx 与 ? 1 0 e dx 的相比有关系式

( B. D. (



? ?

1 0 1 0

x e x dx < ? 1 0 e dx
2

? ?

1 0

x e x dx > ? 1 0 e dx
2

D. (

x e x dx )2= ? 1 0 e dx
2

1 0

x e x dx )x= ? 1 0 e dx
2

6. 用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算) :

12

(1)S=______________. (2)S=______________.

(3)S=______________.

7. 利用定积分的性质、 几何意义和被积函数的奇偶性求出 8. 用定积分的几何意义计算下列定积分: (1)

?

3 ?3

1 (sin 5 x ? )dx =____________. 2

?

1 0

(3x ? 2)dx ; (2) ?

3 ?1

(2 x ? 1)dx ;

(3)

?

?

3? 2 2

sin xdx .

9. 求定积分

?

2 ?1

x 2 dx 的值。

10. 利用定积分的几何意义求:

?

2 ?2

f ( x)dx + ?

?2 x ? 1( x ? 0), 其中 f(x)= ? sin x cos xdx , ? ?3x ? 1( x ? 0). 2
?
2

?

13


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