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正弦型函数y=Asin(ψx+φ)的图象变换教学设计


y=Asin(ψx+φ) 1.3.3 正弦型函数 y=Asin(ψx+φ)的图象变换教学设计 教学目标: 教学目标: 知识与技能目标: 知识与技能目标:
能借助计算机课件,通过探索、观察参数 A、ω、φ 对函数图象的影响,并能概括出三角函 数图象各种变换的实质和内在规律;会用图象变换画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象。

过程与方法目标: 过程与方法目标:
通过对探索过程的体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形结合的思想;领 会从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

情感、态度价值观目标: 情感、态度价值观目标:
通过学习过程培养学生探索与协作的精神,提高合作学习的意识。

教学重点: 教学重点:
考察参数ω、φ、A 对函数图象的影响,理解由 y=sinx 的图象到 y=Asin(ωx+φ)的图象变 化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学 习了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械 波》等知识提供了数学模型。所以,该内容在教材中具有非常重要的意义,是连接理论知识 和实际问题的一个桥梁。

教学难点:对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对
来说, 、A 对图象的影响较直观,ω的变化引起图象伸缩变化,学生第一次接触这种图象 变化,不会观察,造成认知的难点,在教学中,抓住“ 对图象的影响”的教学,使学生

学会观察图象,经历研究方法,理解图象变化的实质,是克服这一难点的关键。

学情分析: 学情分析:
本节课在高一第二学段, 学生进入高中学习已经三个月, 对于高中常用的数学思想方法 和研究问题的方法已经有初步的了解, 并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式, 喜 欢小组探究学习,喜欢独立思考,探究未知内容,学习欲望迫切。关于函数图象的变换,学 生在学习第一模块时,接触过函数图象的平移,有“左加右减”,“上加下减”这样一些粗略的 关于图象平移的认识, 但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响, 还要 研究三个参数对函数图象的综合影响,且方法不唯一,知识密度较大,理解掌握起来难度较 大。

教学内容分析: 教学内容分析:
三角函数是基本初等函数之一,是中学数学的重要内容。本节为三角函数图象与性质的 重要内容,是一节函数图象探究的重要范例,同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能 力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上,通过 作图、观察、分析、归纳等方法,形成规律,得出从函数 y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。观察函数 、 、 的图象到正弦型函数 、 、

图象间的关系,通过对比,探求有关性质以及图象的变换方

法。鼓励学生大胆猜想,将直观问题抽象化,揭示本质,培养学生思维的深刻性。 利用计算机操作相关的课件,直观展示图象的变化,细致观察图象变化的数量,使学生 学会观察。 这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系, 进而理解本质的规 律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察,获得参数对函数图象影响的大致感知,进 而进行细致的量的变化的观察和分析, 体现了对事物认识的螺旋式上升; 从具体的函数出发, 进而得出一般性的结论,体现了从特殊到一般,由感性到理性的过渡。

教学流程图 教学流程图:

教学过程: 教学过程:整个教学过程是“以问题为载体,以学生活动为主线”进行的。
(一)创设情境: 创设情境: 1.动画演示: 《用沙摆演示简谐运动的图象》

2.根据你的知识,你能解决函数

哪些方面的问题?

学生分析:可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。 教师追问:作出它的图象还有其他的方法吗? 【设计意图】复习回顾,直接切入研究的课题。(板书课题:函数 的图象)
问题 1:函数 学生思考,交流,正弦函数 的特殊情况。 和我们熟知的正弦函数,有什么联系呢? 就是函数 在 A=1,ω=1, =0

设计意图】 【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象,体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重 要性,激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考 y=Asin(ωx+φ)与正弦函 数的一般与特殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象的关系。
(二)建构数学 自主探究: 建构数学 自主探究: 自主探究:由正弦曲线如何变化得到函数 ①问题提出:三种变换能否任意排序? ②对于你们小组提出的变换方式,你要怎样解决你呢? 的图象?

【设计意图】观察函数解析式 设计意图】

学生容易发现三个参数

、 、

都发生了变化, 自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢?
问题 2:由正弦函数 猜想(1) 猜想(2) 图象如何变换得到函数 的图象?

,容易发现参数 、 都发生了变 【设计意图】观察函数解析式 设计意图】 化,根据已有的知识基础,自然恰当地提出本节的核心问题:两种变换能否任意 排序,最后确定研究方向。

A、 自主实验,形成初步结论:小组合做,根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进 自主实验,形成初步结论: 行研究: 问题 3:按照第一种方法由函数 按照第二种方法由函数 的图象如何变换到 的图像如何变换到函数 的图象? 的图象?

学生投影回答,结合自己画的函数图像,说明变换方法。

①.把 图象。

的图象上的所有的点__左___平移 __

_个单位长度,得到



②.再把 标不变),得到 ③.再把 坐标不变)得到

的图象上各点的_横__坐标_缩短__ 的图象。 的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_ 的图象。

到原来的_

_倍(_纵_坐

到原来的__3_倍(__横_

学生总结上述变换过程: 学生总结上述变换过程:相位变换 ①.把 度,得到 ②.再把 的图象上的所有的点 向左 的图象。

周期变换 或 向右

振幅变换 平行移动 个单位长

的图象上各点的_横_坐标__缩短_

或_伸长_

到原来

的_

_倍(_纵_坐标不变),得到

的图象。 或_缩短 的图象。

③.再把 _

的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_ 为原来的_A_倍(_横_坐标不变)得到

深入探究,讨论分析: B、 深入探究,讨论分析: 预设问题: 预设问题:

教学的班级为普通班,根据以往的教学经验,如果只研究一种顺序,有的学 生会错误地认为由 的图象向左 平移个单位得到 的图

象,说明学生没有真正理解函数图象的变化是看坐标(x,y)的变化量。预想到 学生会犯这个错误,为了让学生更好地理解图象变化的实质,我选择不同的小组 汇报,进而追问:为什么会有这种不同呢?原因是什么?学生们可以通过观察坐 标表格中横坐标的变化,发现平移量。或者通过观察图象,发现平移量。因为在 方案ω— 中,先进行了横向的伸缩,即横坐标变为了原来的 移 个单位;从坐标和解析式上来看,点 式,也可以得到这个结论。 和 倍,所以向左平

分别满足两个解析

把 的图象。

的图象上所有的点__向左_平移_

_个单位长度,得到函数

问题 4:第二种变换方法,平移量是

,还是

,为什么? 个单位;先

注意不同顺序中平移量的不同。先相位变换后周期变换时,需向左平移

平移量是由 周期变换后相位变换时,需向左平移 个单位而不是 个单位。平移量是由 的改变量确定 的。 学生总结第二种变换的规律:周期变换 生总结第二种变换的规律 周期变换 把 y=sinωx 的图象上的所有的点 向左 个单位长度,得到 y=sin(ωx+φ)的图象。 对比两种变换过程说明: 对比两种变换过程说明:先相位变换后周期变换平移 个单位长度。 个单位长度。 相位变换 或 向右 振幅变换 平行移动

先周期变换后相位变换平移

个单位长度。 个单位长度。

【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图 设计意图】 象的不同方案有一个整体的认识,并在掌握图象变化实质的基础上,择优选择。

(三)知识运用,巩固强化 知识运用,
练习: 练习:1、只需把函数 数的图象。 A、横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变。 标不变。 C、纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变。 标不变。 2、为了得到函数 A、向左平移 个单位长度 的图象,只需把函数 B、向右平移 的图象上所有点( B ) 个单位长度 D、纵坐标缩短到原来的 倍,横坐 B、横坐标缩短到原来的 倍,纵坐 的图象上所有点( A ),可以得到 函

C、向左平移 3、把函数

个单位长度

D、向右平移

个单位长度

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函



的 图像, 再把函数

的 图 象上所 有点向 右平移

个 单位, 得到函

数 变式:把函数

的图象。 图象上所有点向右平移 的图象,再把函数 个单位长度,得到函数

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 的图像。

标不变),得到函数

设计意图】 【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固,通过学生 的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得 到落实。

(四)归纳交流

1、学生谈本节课的学习体会。 2、正弦函数 y=sinx 的图象变换到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象:顺序可任意,平移尺度 要注意。 3、数学思想:数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。

(五)巩固作业
课本 P49/2(写在作业本上),P50/1(写在书上)


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