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三角恒等变换公式


一、两角和差公式

cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β

(C (S )

(α ± β )

)

sin(α ± β ) = sin α cos β ± sin α cos β

(α ± β )

)

tan (α ± β ) =
逆用或变形:

tan α ± tan β 1 ? tan α tan β

(T

(α ± β )

π ? ? ? α , β , α ± β ≠ kπ + , k ∈ Z ? 2 ? ?

1 + tan α ?π ? ?π ? 1 ? tan α = tan ? + α ? , = tan ? ? α ? 1 ? tan α ?4 ? 1 + tan α ?4 ?

tan α + tanβ = tan (α + β )(1 ? tanαtanβ ) , tan α ? tanβ = tan (α ? β )(1 + tanαtanβ )
二、积化和差公式

2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α ? β ) , 2 cos α sin β = sin (α + β ) ? sin (α ? β ) 2 sin α sin β = cos(α ? β ) ? cos(α + β ) , 2 cos α cos β = cos(α + β ) + cos(α ? β )
三、和差化积公式 令 A = (α + β ), B = (α ? β )

sin A + sin B = 2 sin

A+ B A? B A+ B A? B cos , sin A ? sin B = 2 cos sin 2 2 2 2 A+ B A? B A+ B A? B cos A + cos B = 2 cos cos , cos A ? cos B = ?2 sin sin 2 2 2 2

四、半角公式

sin

θ
2



1 ? cos θ θ 1 + cos θ , cos = ± 2 2 2 1 ? cos θ sin θ 1 ? cos θ = = 1 + cos θ 1 + cos θ sin θ

tan

θ
2



五、二倍角公式

sin 2θ = 2 sin θ cos θ , cos 2θ = cos 2 θ ? sin 2 θ = 1 ? 2 sin 2 θ = 2 cos 2 θ ? 1 tan 2θ = 2 tan θ 1 ? tan 2 θ

六、三倍角公式

3 tan θ ? tan 3 θ sin 3θ = 3 sin θ ? 4 sin θ , cos 3θ = 4 cos θ ? 3 cos θ , tan 3θ = 1 ? 3 tan 2 θ
3 3

cot 3θ =

cot 3 θ ? 3 cot θ 3 cot 2 θ ? 1
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另一种形式:

sin 3θ = 4 sin θ sin(60° + θ ) sin(60° ? θ )

cos 3θ = 4 cos θ cos(60° + θ ) cos(60° ? θ ) tan 3θ = tan θ tan (60° + θ ) tan (60° ? θ )
七、万能公式

sin θ =

2 tan 1 + tan

θ
2 θ

2 , cos θ = 2

1 ? tan 2 1 + tan

θ
2 , tan θ =

2 tan

θ
2

2 θ

2

1 ? tan 2

θ
2

八、辅助角公式

b a sin θ ± b cos θ = a 2 + b 2 sin(θ ± arctan ) a b a cos θ ± b sin θ = a 2 + b 2 cos(θ ? arctan ) a
由此得 a sin θ ± b cos θ ≤ 九、其他常用公式 降幂: sin θ =
2

(a>0, b>0) (a>0, b>0)

a2 + b2

1 ? cos 2θ 1 + cos 2θ 2 , cos θ = (提出 ± cos 2θ 则为升幂公式) 2 2
sin (α + β ) cos α cos β

正切和: tan α + tan β = tan(α + β )(1 ? tan α tan β ) = 正切分解: tan θ = cot θ ? 2 cot 2θ 商数公式:

sin θ cos θ = tan θ , = cot θ cos θ sin θ
2 2

平方公式: sin θ + cos θ = 1 倒数公式: tan θ ? cot θ = 1, sin θ ? csc θ = 1, cos θ ? sec θ = 1 十、其他补充公式 ①任意角是半角的二倍,因此:

sin 2 k θ = 2 sin 2 k ?1θ cos 2 k ?1θ cos 2 k θ = 2(cos 2 k ?1θ ) 2 ? 1 = 1 ? 2 sin 2 k ?1θ

(

)

2

② sin 2 α ? sin 2 β = cos 2 β ? cos 2 α = sin (α + β ) ? sin (α ? β )

cos 2 α ? sin 2 β = cos(α + β ) ? cos(α ? β )
③ sin α + sin β + sin γ ? sin (α + β + γ ) = 4 sin

α +β
2

? sin

β +γ
2

? sin

γ +α
2

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cos α + cos β + cos γ ? cos (α + β + γ ) = 4 cos

α +β
2

? cos

β +γ
2

? cos

γ +α
2

sin
④ sin x + sin( x + d ) + sin( x + 2d ) + ? ? ? + sin( x + nd ) =

n +1 n ? ? ? d ? sin ? x + d ? 2 2 ? ? d sin 2 n +1 n ? ? ? d ? cos? x + d ? 2 2 ? ? d cos 2

cos cos x + cos( x + d ) + cos( x + 2d ) + ? ? ? + cos( x + nd ) =

【说明】 (Ⅰ)凡使公式中某个式子无意义的角,都不适合公式. (Ⅱ)半角公式中根号前的“±”号的选择,由半角所在的象限确定.

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