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中学. i 罘 孑   辅导   2 0 1 4 年 3 月  

空间向量在高考解题中的作用 
@  张 亚 菲  
摘要: 纵观近几年及 2 0 1 3年高考数 学试题 , 不论是 全国卷还 
是 北京市、 天津市、 浙 江省 、 山东省等其他 1 5个省市的试卷 , 立体  几何解答题是 必考题 , 一般一题 两问, 第一问一般是证 明线线、 线  面、 面面位置关 系, 对此 , 我 们可以利用综合 法 , 通过 “ 作、 证、 求”   三步求解。第二 问是求线 面角、 面面角、 距 离等问题 , 而对 于第二  题, 利 用传统方法 , 要正确运用有关的定理 , 找 出足够的 条件进行 
? ?


设   =  y , z ) 是 平 面 船。 c 。 c 的 法 向 量 , 则i r   n " B
. 

C=   O ; 。 

即 {   、 /  = 0 取 , , : 1 , 得   : ( 、 /   , l , 一 1 ) 。  
【  + - , j3   y = O   .  
cos

推理 , 否则不 易找 出线面的垂直关 系, 从而造成考试 时 时间的浪 
费, 甚至丢分 。 而空 间向量法能较好地避 开这一难点。 直接 通过 平 

(   ,  )   晶

  二  , . 一 - s i   ) =  
。  

即直线 A, C与平面 B B   C   C所成角的正弦值 为  例2 . 北京卷第 l 7题 

面的法向量, 根据向量数量积的 坐标运算就 可以达到事 半功倍 的 
效果。  

关键词 : 空间向量 ; 坐标运算 ; 作用 

如 图,在三棱柱 A 曰 C _ A   C   中, M  C   C是 边长为 4的正方  形, 平面 A B CJ _ 平 面 A。 C   C, AB = 3 , B C = 5 ,   ( 1 ) 求证 : A Al 上 平面 A B C;   ( 2 ) 求二面角 A, 一 B C   一 B   的余弦  ( 3 ) 证 明: 在线 段 B C 。 上存 在  A  D , 使得A   , 并求  的值。  

中图分类号: G 6 3 3 . 6 文献标识 码: A 文章编号: 1 9 9 2 — 7 7 1   1 ( 2 0 1 4 ) 0 3 — 0 1 2 1  
采用空 间向量进行解题 ,第一要 正确建 立空间直角坐标系 ,   写( 设) 出相关 点的坐标 , 及面 内线段( 向量) 的坐标 , 然后就是一个  面或两个 面的法 向量的确定。 第二是利用平面向量 中两个非零 向 

量的内积公式 ?  =I  l ? I   I   c o s (  .  ) ,即c o s (  .  ) =  


解: 改( 1 ) 因为 A A   C   C为正方  形, 所以 A A   上AC 。 平面 A B C上平  面A  C   C , 且 A。 垂 直于这 两个 
A BC。  



_

 

1=  T  

l   dI   l   b     l



求 出法向量和面 内一线段( 向量) 或两法 向量所成 的 

,. ‘  A  J _ 平 面  角的三角函数值 , 最后根据题设条件 , 转 化为所求的量 。另外 , 对  平 面 的 交 线 Ac 动态的找点 问题也可 以通过设 点的坐标 , 利用线线垂直化归 为向  量的数量积等于零来求解。下面是几道例题 。   例 1 . 2 0 1 3 年新课标全 国卷 I 理科数学第 1 8 题 
如 图, 三棱柱 A B C - A   B   C   中 , C A = C B , A B = A A   ,  B A A1 = 6 0 。 ,  

( 2 ) 由第 一小 题 知 A A。 上  c,   A A  L AB 。如图 , 以  为原点建立 
空 间 直 角 坐 标 系 A— x T z ,则 B ( 0, 3 , 0 ) , A  ( 0, 0, 4 ) , B  

( 0, 3 , 4 ) , C  ( 4 , 0 , 4 ) ,设平 面 A  C 。 的法 向量为  =   Y , 。 ) , 则 
即 3 y - 4 z  


 ̄ / - z = 3 ,  

_ 0 ' , ,  

) 同 

理 可得 ,平面 B 。 B C   的 一 个 法 向 量 为  = f 3 , 4 , 0 ) ,所 以 C O S -  

(  ,   )   _ r =  
为  1 6 证明: f 1 ) A B上  C  
。 

1 6, 由 题 知 二 面 角A   — B c 厂 B   的 余弦 值  

( 3 ) i RD  , y ,   ) 是直 线上 B C   一点 , 且 

=  

, 所 以  9  

( 2 ) 若平面 A B C上平 面 A   B   B, AB = C B, 求直 线 A   C与 平面 

B B。 C 。 C所成角的正 弦值 。  
证明: ( I )取 A B 的 中 点 0, 连 接 O C, O A   , A。 B, 。 . ‘ C A= C B,  
‘ . .

(  , y - 3 ,  =  ( 4, 一 3 , 4 ) 。解 得 x = 4 h, y = 3 — 3 h , z = 4 h,所 以  矿 =  
( 4 X , 3 - 3 k, 4 x ) 。由  ?   = O , 即9 - 2 5 k = 0 , 解 得 
一 一



因为 

OC _ L AB , ’ .   B= AA 1 , L BAA l = 60 。,  
‘ . .

∈【 0 , 1 】 ,所 以在线段 B C t 上存在点 D,使得 A D_ L A。 B,此时  ■  。  

AA A   B为 等 边 三 角 形 。 . ? . O A  _ L A B, ’ . ‘ 0CnOA, = D,  






A B上平 面 O A   J C , 又 A, C[ 平面 O A   C, . . ABj _ A   J C 。   ( 2 ) 由( I ) 知 O C_ L A B, O A   _ L AB, 又平 面 A B C上平 面 A A1 曰 1  ,  

例3 . 浙江卷第 2 0 题 

交线  ’ - . . O C上平 面 A Al B l B' . . . O A、 O Al 、 O C两两相互垂直 。以 

如 图 ,在 四面体 A— B C D中 ,   0为坐标原点 ,   的方 向为  轴 的正方 向 ,   为单位长 , 建立  A D 上平 面 B C D, B C上C D, A D = 2 ,   如 图所示 的空间直角坐标系 0 一 X Y Z 。由题设知 :   B D: 2 、 /  ,   是A D 的 中点 , P是 
A( 1 , 0 , o ) , A, ( 0 , x / 3, 0 ) , c ( o , 0 , x / 3) , B ( 1 , 0 , o ) ,   = ( 1 , 0 , 、 / 3) ,  

B M 的中点 , 点 Q在线段 Ac上 , 且  AQ = 3 Q C 。   ( 下转第 1 2 8页)  

两  

= ( 一 1 ,  

, 0 ) ,   = ( 0 , 一  

,  

) ,  

回I  

生   旦  中   学课哥   辅导  
前苏联教育学家苏霍姆林斯基说 : 教育者最可贵的品质之一  习机会 和和谐 的语 言学 习氛围等。  
就是人性 , 对孩 子深沉 的爱 , 兼有父 母细腻 的温存 和睿智 的严 厉  与严格相 结合的那种爱 。学生在课 堂上所做 的让 学生不舒服 的  事, 并 不是 主观上蓄意去做 , 因为他们 在成长 , 所 以他们在 进行无  在 日常教学中 , 教师应最大程度地为不 同层次 的学生提供这 

种“ 学 习条件 ” 、 实行分层教 学 , 给他们提供必要 的全新 的学习机 
会和 良好的语言学习氛围。学生学习成绩的提高 , 对英语学 习的 

意识 的探索 。 当然 , 这种宽容并不是迁 就 , 它需要我们在不伤害学 
生 自尊 的前提下才能达到教育 目的。   3 . 成功感  每个 人都有获得 成功 的欲望 , 爱 因斯 坦说 : 智力上 的成 绩依 

信心及 良好的学习环境不仅可以激发学生的求知和探索 的欲望 ,  
促进对知识的理解和掌握 , 还可 以在知识获取过 程中提高思维 和 

认知能力 。 因此 , 在英语 教学 中 , 教师应使 用多种有效 的教学手 
段, 创造各种有利 于学生积极参加 、 自主学习的学习环境。 教师更 

赖 于情感 的伟大 , 这一点常超 出人们 的认识 。英语 教师要善于创 
设成 功的条件 , 比如 经常说 : G r e a t ! Wo n d e r f u l ! Y o u   a r e   t h e   b e s t ! 教师  应 不断鼓励学生 , 多肯定他们语 言的进步 , 增强他们 的 自信心 和 
成 功感 。  

应设法激发并提高学生学习英语 的兴趣 , 发挥 出学生学习的动力 。  
事 实上 , 课 程改革就是 在重视学生共 同发展 的同时 , 注重 学  生 的个体差异性 。 我们应 当正确看待差异 , 并尽量缩小差异 。 世 界  万物不可能没有差异 , 但 不应该人 为地 造成 差异 。我们 的 目标 是  让好 的更好 , 让差 的不 断提高 , 不能用压 制优生发展 的办法来 减  小差异 。 我们教师要 看到 : 每一位学生都是要发展 的, 但不要求 是 


美 国心理学 家布鲁姆在掌 握学习理论 中指出 : “ 许 多学生在  学习中未能取得优异成绩 , 主要问题不是学生智慧 、 能力 欠缺 , 而 

是 由于未得到适 当的教学条件 和合理 的帮助造成 的。 如果 提供适 
当的学习条件 , 大多数学生在学习能力 、 学 习速度 、 进一步学 习动  机等多方面就会 变得十分相似。” 这里所说 的学 习条件指学生 学  习并掌握所 学内容所必需 的学 习时 间 、 给予个 别指导 、 全新 的学 

样 的发展 ; 每一位学生都是要提高的 , 但不是 同步的提高 ; 每一 

位学生都是要合格 的 , 但不一定是相同的型号。   ( 作者单位 : 江苏省 灌云县圩 丰中学 2 2 2 2 3 5 )  

f 上接 第 1 2 1页)  

( 1 ) 证 明: P p ∥平面 B C D 。   ( 2 ) 若二面角 c 一 日 肛 D的大小为 6 0 。 , 求 LB DC的大小 。  
第- -4 , 题既可 以用传 统方法解 ,也可 以用空 间 向量 的方 法  解 。第- -4 , 题, 需要通过作辅助线 , 再证明 , 就不难 找出这个二面  角, 但 相 比较而言 , 存在三线两两互相垂直 , 用建标设 点利用两 向  量垂直 的代数公式和两 向量的 内积公式求角 比较方便。   ( 1 ) 如图 , 取B D的中点 0, 以 0为原点 , 过点 0平行 于 C D 的 

(  

, 一 1 , 2 V ̄- ) , 又平 面 B D M 的 一个 法 向量 为  : ( 1 , O , o ) ,  

馥 c 0 s   '  葫 一     毒 J  l    口  
(   _) z z : 3 ( 1 ) 又 B C上C D, 所 以 


.  

: 0, 故(  。 ,  

射 线为  轴 的正半 轴 , O D、 O P所 在射线 为 y 、 z轴 的正 半轴 , 建  立空 间直角坐标 系 0 - x y z , 由题意知 ( 0 , 、 /  , 2 ) , 8 ( 0 , 一 、 /  , 0 ) ,  
D( 0 , 、 /   , o ) , 设 点 C的坐 标 为  , y o , o ) , 因为  = 3  
(   3  。
,  

, 所以 Q  

解 得 f 【   0一 , ( 舍 去 ) , 或   x /2  
一 一 一  



 



所以 t 帆 LB D C =  



}   ,  ) , 因 为   为 A D 的 中 点 , i  ̄ M ( 0 , 、 /  , 1 ) ,   + }   , 0 ) 。  
、 /  — y o , 1 ) ,  
I  

孚 

又 P 为 删的 中 点 , 故  , 0 ,  ) , 所 以  }  
又平 面 B C D的一个法 向量 为  ( 0 , 0 , 1 ) , 故 

l   ■ o V   z _一 l = V 3 - , 又是L B D C 锐角, 所以L B D C = 6 0 。 。  
综 上所述 , 笔者认 为在 以后 的教 学 中, 我们应在 引导学 生对  基 本概念 、 基本公式 完全掌握 的前提下 , 锻炼我们解 决 问题 的能  力, 将立体几何与解析几何很好地结合起来 , 掌握 通法 , 以不 变应  万变 , 以“ 不动 ” ( 方法) 应“ 动” ( 题 目) , 从 而提 高解 题的稳定性 和准 

?  = 0 , 又  垂平 

面B C D, 所以 P p ∥平 面 B C D。   ( 2 ) 设  , Y , 力 为平面 B MC的法向量。由   7  

掌握空间 向量 的解题方法至关重要 。   耐: ( 0 , 2 , \ /   , 1 ) 知 {   ( 、 / 2 刊, ,   _ I I , 取 y 一 1 , 得   :   确性。所以 , 【 2 x / 2   y + z = 0  

( 作 者单位 : 浙江省宁波市宁海县正学 中学 3 1 5 6 0 0 )  

( 上接 第 1 2 6页)   例: I   s h o u l d n ’ t / o u g h t   n o t   t o   h a v e   w a t c h e d   ha t t   m o v i e — i t   w i l l   g i v e  
me   h o r r i bl e   dr e a ms .  

YO U  ha d   be t t e r   n o t   h a v e   s c o l de d   h e r .  

( 4 ) w o u l d   r a t h e r   f n o t ) h a v e   d o n e …: 表示对做 过 的事情 的反悔 。   肯 定句常译为 “ 宁愿 当时做 了某事 ” , 否定句 常译 为 “ 宁愿 当时没 

( 2 ) n e e d n ’ t   h a v e   d o n e …: 本来不必做某事而实际上却做 了。 ( 多  做 过某事 ” 。   见否定句)   例: 1   w o u l d   r a t h e r   h a v e   t a k e n   h i s   a d v i c e .  
例: T h e   w e a t h e r   t u r n e d   o u t   t o   b e   i f n e   y e s t e r d a y . I   n e e d n ’ t   t a k e   I   r a i s e d   o b j e c t i o n s   a t   he t   me e t i n g . b u t   n o w   1   w o u l d   r a t h e r   n o t  
h a v e   d on e   t ha t .  

he t   t r o u b l e   t o   c a r r y   m y   u mb r e l a   w i t h   m e . ( 0 6 江西1   ( 3 ) h a d   b e t t e r ( n o t ) h a v e   d o n e…: 用 于事 后 的建议 , 含轻微 责备 

情态动词 表示 的情感 意义虽然 比较 复杂 , 但 只要 抓住 “ 多体  会, 悟语境 , 背例句” 这个宗 旨, 再复杂的题 目也可以迎刃而解 。   ( 作者单位 : 湖北省 武汉市新 洲区第一 中学 4 3 1 4 0 0 )  

的 口吻。 肯定句常译为“ 当时最好做 了某事 ” , 否定句常译为 “ 最好 
没做过某事 ” 。  
例: Y o u   h a d   b e t t e r   h a v e   s t a r t e d   e a r l i e r .  


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