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人教A版高中数学选修4-1课件高二:2.1圆周角定理

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
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第二讲 直线与圆的位置关系
2

一 圆周角定理
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J 基础知识 ICHU ZHISHI

Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN

S 随堂练习 UITANG LIANXI

课程目标

学习脉络

1.了解圆心角定理,并能解决问题. 2.理解圆周角定理及其两个推论,并能解 决有关问题.

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1.圆周角定理

文字语 言

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

图形语 言

符号语 言
作用

在☉O 中,BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC,则有∠
BAC=1∠BOC
2
确定圆中两个角的大小关系

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名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一
条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.

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思考 1 在一个圆中,圆周角与它所对的弧的对应关系在解决
问题中有什么作用?实践中如何加以应用? 提示:在圆中,只要有弧,就存在着弧所对的圆周角.同弧所对的圆周角
相等,而相等的角为几何命题的推导提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识 或图形比较复杂时,往往缺少应用这个知识的意识,应该在实践中不断摸索 和总结 规律.比如 由弧找 角,如图(1),已知 ,那么在 所对的 圆周上 任取 一
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如

图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对,∠2 对,∠3 也对,故∠1=

∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
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图(1)
图(2)
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2.圆心角定理 文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数
图形语言

符号语言 A,B 是☉O 上两点,则AB的度数等于∠AOB 的度数

作用

确定圆弧或圆心角的度数

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3.圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角
所对的弧也相等. 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是
直径.

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思考 2 在圆中,直径所对的圆周角等于 90°,解决问题时,应怎
样利用这一条件? 提示:只要在已知中给出了直径这一条件,不仅要想到它和半径的关系,
还要想到它所对的圆周角,得到直角三角形,这样有关直角三角形的性质便 可应用了.如图(1),以 CD 为直径的☉O 交△ACD 的两边于 B,E,连接 BE,求 证:ADcos A=AB.
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直 径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
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又如图(2),在☉O 中,直径 AB⊥CD,弦 AE⊥CF,要证△ABE≌△CDF,在 已知∠A=∠C,AB=CD 时,缺少一个条件,由 AB,CD 为直径,想到连接 BE,DF, 便可知∠E=∠F=90°,这就为证三角形全等提供了条件.

图(1)

图(2)

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温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
劣弧. (4)在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等
关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦相等.

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探究一

探究二

探究三

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探究一 求线段的长
求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而 得到成比例线段,再列方程求得线段长.

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探究一

探究二

探究三

【典型例题 1】 如图,△ABC 的三个顶点都在☉O 上,∠BAC 的平分线

与 BC 边和☉O 分别交于点 D,E.

(1)指出图中相似的三角形,并说明理由; (2)若 EC=4,DE=2,求 AD 的长.
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探究一

探究二

探究三

解:(1)∵AE 平分∠BAC,

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∴∠BAD=∠EAC.

又∵∠B=∠E,

∴△ABD∽△AEC.

∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,

∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.
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探究一

探究二

探究三

(2)∵△CED∽△AEC,




=

.

∴CE2=ED·AE,

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∴16=2AE,∴AE=8.

∴AD=AE-DE=6.

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探究一

探究二

探究三

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点评(1)本题证三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中
角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似 得线段成比例,然后再求其长度.

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探究一

探究二

探究三

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探究二 证明线段相等
有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆周角相 等,可转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略.

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探究一

探究二

探究三

【典型例题 2】 如图,BC 为圆 O 的直径,AD⊥BC, = ,BF 和 AD

相交于 E,求证:AE=BE.

思路分析:要证 AE=BE,只需在△ABE 中证明∠ABE=∠EAB,而要证这 两个角相等,只需借助∠ACB 即可.
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探究一

探究二

探究三

证明:∵BC 是☉O 的直径,

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∴∠BAC 为直角.

又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.

∴∠BAD=∠ACB. ∵ = ,∴∠FBA=∠ACB.

∴∠BAD=∠FBA.

∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE.
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探究一

探究二

探究三

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点评若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直
角”这一性质解决问题.

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探究一

探究二

探究三

探究三 易错辨析

易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等

【典型例题 3】 如图所示,∠BAD=75°,则∠BCD=

.

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探究一

探究二

探究三

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错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD. ∴∠BCD=75°.
错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等, 导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.

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探究一

探究二

探究三

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正解:∠BAD 是所对的圆周角,∠BCD 是所对的圆周角,则
所对的圆心角为 2×75°=150°.又 和 所对圆心角的和是周角 360°, ∴所对圆心角是 360°-150°=210°,
∴ 所对圆周角∠BCD=12×210°=105°.

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1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )

A.25°

B.50°

C.30°

D.12.5°

解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.

答案:B

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2.如图,D 是的中点,与∠ABD 相等的角有( )

A.7 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

解析:与∠ABD 相等的角分别为∠CBD,∠ACD,∠CAD.

答案:B

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3.如图所示,弦 AC 与 BD 相交于圆内一点 P,且 AB=10,CD=5,BP=8,则

PC=

.

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解析:∵∠A=∠D,∠C=∠B,

∴△ABP∽△DCP.




=

.∴150

=

8,解得

PC=4.

答案:4

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4.如图,AC 是☉O 的直径,B 是圆上一点,∠ABC 的平分线与☉O 相交于点

D,已知 BC=1,AB= 3,则 AD=

.

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解析:如图所示,连接 OD,由于 AC 是☉O 的直径,

则∠ABC=90°.又 BC=1,AB= 3, 则 AC= 2 + B2 = ( 3)2 + 12=2,
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所以 OA=OD=12AC=1. 又∠AOD=2∠ABD=∠ABC=90°, 故△AOD 是等腰直角三角形,则 AD= 2OA= 2×1= 2. 答案: 2

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5.已知 AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的外接圆的直径,AD 的延长线交外 接圆于 F,求证:BE=FC.

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证明:∵AE 是直径,

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∴∠ABE=90°.

又∠ADC=90°,∴∠ADC=∠ABE.

又∠AEB=∠DCA,

∴△ABE∽△ADC.

∴∠BAE=∠FAC.∴ = .∴BE=FC.

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