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【高中数学宝典】解题方法篇:二、换元法


【高中数学宝典】解题方法篇:二、换元法

收藏 7 月 10 日 00:01

Jane19881221 (我是可爱的珏珏班班)

节目介绍: “知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数 学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 本节目将介绍高考中的常用数学基本方法(如配方、换元、待定系数法等),再介绍常用的数 学思想(如数形结合、分类讨论等),希望同学们能认真学习,掌握解题的金钥匙!

解题方法篇:二、换元法

方法点拨: 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫 换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对 象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐 含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证 简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、 不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。 ①局部换元,又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代 替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4^x+2^x -2≥0,先变 形为设 2^x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 ②三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识 中有某点联系进行换元。如求函数 y=√x + √(1-x) 的值域时,易发现 x∈[0,1],设 x= sin^2 α ,α ∈[0,π/2],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应 该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x^2 +y^2 =r^2(r>0)时, 则可作三角代换 x=rcosθ 、y=rsinθ 化为三角问题。 ③均值换元,如遇到 x+y=S 形式时,设 x=S/2+t,y=S/2-t 等等。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的 选取, 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围, 不能缩小也不能扩大。 如上几例中的 t>0 和α ∈[0,π/2]。

例题:

分析: 本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题, 再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在 遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时, 经常使用“三角换元法”。

小练习:

y = (sin x) * (cos x) + sin x +cos x 的最大值是______________。


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