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重庆市五区2014届高三数学学生学业调研抽测第一次试题 文 新人教A版


高 2014 级学生学业调研抽测(第一次)数学试题卷(文科)
数学试题卷(文科)共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 A.

U ? ?1, 2,3, 4,5,6? A ? ?2,4,5?, B ? ?1,3,5?
, B.

,则

A ? UB ?

?5?

?2,4?

C.

?1,3?

D.

?2,4,5,6?

2.命题“存在 A.不存在

x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0 ”的否定是
B.存在

x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0
x

x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0

C.对任意 x ? R ,都有 2 ? 0

x D.对任意 x ? R ,使得 2 ? 0

3.函数 f ( x) ? lg( x ?1) ? 3 ? x 的定义域是 A. (1,3) B. [1,3] C. (1,3] D. [1,3)
2 2

4.过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 所截得的弦长为 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 1

5.下图是某人在 5 天中每天加工零件个数的茎叶图,则该组数据的方差为 A. 2 C. 10 B. 2 D. 10 开始
1 8 9

2 0 1 2

5 题图

6.执行如右图所示的程序框图,输出的 k 值为 A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

k ? 1, s ? 0

s ? s ? 3k ?1 ? k
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是

k ? k ?1

s ? 100 ?




1

A. (2 ? 5)? C. 4?

B. (4 ? 5)?

D. 6?
?x

8.若函数 f ( x) ? 2

? x2 ? a 有两个不同的零点,则
B. (1, ??) D. (?1, ??)

实数 a 的取值范围是 A. [1, ??) C. [?1, ??)

9.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,并满足

f ( x) f ( x ? 2) ? ?1, 当 1 ? x ? 2 时,
f ( x) ? x 3 ? sin 23 A. 8 31 C. 8

?

x 9 ,则 f (5.5) ? 23 B. 8 ?
2 2 2 1 正视图 侧视图

31 D. 8 ?

1

x2 y 2 a2 ? 2 ?1 x? 2 b c 10. 设双曲线 a 的两条渐近线与直线
分别交于 A, B 两点, F 为该双曲线的右焦点. 若 60 ? ?AFB ? 90 , 则该双曲线的离心率的取值 范围是 A. (1, 2) B. ( 2, 2) C. (1, 2) D. ( 2, ??)

俯视图 7 题图

二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置上.

z ? 11.已知复数 z ? 2 ? i ( i 是虚数单位) ,则



2

12.正项等比数列

?an ? 中, a3 ? 16 , a5 ? 4 ,则 a2 ?



1 13.在 1 个单位长度的线段 AB 上任取一点 P ,则点 P 到 A 、 B 两点的距离都不小于 6 的
概率为 . . .

14.若向量 a ? (?1, k ) , b ? (3,1) ,且 a ? b 与 a 垂直,则实数 k 的值为 15.函数

f (? ) ? sin 2? ? 2 ?sin ? ? cos? ? ? 3 (? ? R)

的值域为

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理 过程,并答在答题卡相应的位置上. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 已知等差数列 (Ⅰ)求

?an ?满足: a5 ? 9, a4 ? 2a2 ? 1 .
?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 b1 ? 2a1, b4 ? a4 ? a5 ,求 Tn .

?an ?的通项公式及前 n 项和 Sn ;

(Ⅱ)若等比数列

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 2 分, (Ⅲ)小问 2 分) 由某种设备的使用年限

xi (年)与所支出的维修费 yi (万元)的数据资料,算得

? xi 2 ? 90
i ?1

5



? xi yi ? 112
i ?1

5



? xi ? 20
i ?1

5



?y
i ?1

5

i

? 25


(Ⅰ)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)估计使用年限为 8 年时,支出的维修费约是多少.

b?
附:在线性回归方程 y ? bx ? a 中,

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,其中 x , y 为

样本平均值,线性回归方程也可写为 y ? bx ? a .

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b cos C ? (2a ? c) cos B . (Ⅰ)求角 B 的大小;
3

(Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如图,四棱锥 P? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 菱 形 , P A? P D, ?BAD ? 60? , P 满足 PF ? 2 FC . AB ? 2 , PE ? 3 , PC ? 10 , E 是 AD 的中点, PC 上的点 F (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PBE ; F (Ⅱ)求三棱锥 F ? BEC 的体积. D E A 20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 经调查统计,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量 19 题图 B C

y (升)关于行驶速度 x

y?
(千米/时)的函数可表示为

1 1 18 x3 ? x ? (0 ? x ? 100) 120000 50 5 .已知甲、乙两

地相距 100 千米,在匀速行驶速度不超过 100 千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地 到乙地的耗油量记为 f ( x ) (升) . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性,当 x 为多少时,耗油量 f ( x ) 为最少?最少为多少升?

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 F (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) , C : a b 已知椭圆 的左、右焦点分别为 1

椭圆上的点 P 满足

?PF1F2 ? 90 ,且 ?PF1F2 的面积

S?PF1F2 ?

3 2 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

4

(Ⅱ)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 恰被直线

x ? ?1 平分?若存在,求出 l 的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.
高 2014 级学生学业调研抽测 (第一次) 数学(文科)参考答案及评分意见 一、选择题: 1—5.BDCAB; 6—10.BADCB. 二、填空题: 11. 5 ; 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)设等差数列

12. 32 ;

2 13. 3 ;

14. ?2 或 1 ;

15. ?

?1, 4 ? 2 2 ? ?.

?an ?的公差为 d ,由题设得:
????????????(2 分)

? ?a1 ? 4d ? 9, ? ? ?a1 ? 3d ? 2 ? a1 ? d ? ? 1,
?a1 ? 4d ? 9, ?a1 ? 1, ? ? ? a1 ? d ? 1 d ?2 ? 即 ,解得 ? .

????????????(4 分) ????????????(5 分)

?an ? 1? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?1
Sn ? n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 2 .



????????????(7 分)

(Ⅱ)设等比数列

?bn ? 的公比为 q ,由(Ⅰ)和题设得:
????????????(9 分) ????????????(10 分) ????????????(11 分)

b1 ? 2a1 ? 2 , b4 ? a4 ? a5 ? 16 .

b4 ? b1q3 ,
? q3 ? 8, q ? 2 .

? 数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 为首项,公比 q ? 2 的等比数列.
?Tn ? 2(1 ? 2n ) ? 2 ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ? 2 1? 2 .
5 5

???????????(13 分)

17.解:

(Ⅰ)

?x
i ?1

i

? 20


?y
i ?1

i

? 25


5

?x ?

1 5 1 5 xi ? 4 y ? ? yi ? 5 ? 5 i ?1 5 i ?1 , .

????????????(4 分)

?b ?

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

?

112 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.2 90 ? 5 ? 42
, ????????????(7 分) ????????????(8 分) ????????????(9 分)

a ? y ? bx ? 5 ? 1.2 ? 4 ? 0.2 .

? 线性回归方程 y ? 1.2 x ? 0.2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b ? 1.2 ? 0 ,

? 变量 x 与 y 之间是正相关.

????????????(11 分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当 x ? 8 时, y ? 1.2 ? 8 ? 0.2 ? 9.8 (万元) ,即估计使用年限为 8 年时, 支出的维修费约是 9.8 万元. 18.解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,∵ b cos C ? (2a ? c) cos B , 由正弦定理,得 sin B cos C ? (2sin A ? sin C ) cos B .?????????(3 分) ????????????(13 分)

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin( B ? C ) ? sin A .????(5 分)
∵ 0 ? A ? ? , ∴ sinA ? 0 , ∴ ∵ 0 ? B ? ? ,∴

cos B ?

1 2.

???????????(6 分) ????????????(7 分)

B?

?
3.

C?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得

2? 2? ? A 0? A? 3 3 , 且

????????????(8 分)

? sin A ? sin C ? sin A ? sin(

2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) 3 2 2 6 .

????????????(11 分)

?
6

? A?

?
6

?

5? ? 1 ? sin( A ? ) ? ( ,1] 6 , 6 2 .

???????????? (12 分)

3 , 3] ? sin A ? sin C 的取值范围是 2 . (

????????????(13 分)
P
6

F D C

19.解: (Ⅰ)证明:

PA ? PD , E 是 AD 的中点,
???????(2 分)

? AD ? PE .

AD ? AB ? 2 , , ?BAD ? 60? , ? ABD 是正三角形, ? AD ? BE .
又 ???????(3 分)

???????(4 分)

PE

BE ? E ,

? AD ? 平面 PBE .

???????(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)和题设知:在 ?EBC 中, ?EBC ? 90 ,

BE ? 3 , BC ? 2 ,

? EC ? BE 2 ? BC 2 ? 7 .
PE ? 3 , PC ? 10 ,满足 PC 2 ? EC 2 ? PE 2 ,
? PE ? EC .


??????????(6 分)

??????????(7 分)

PE ? AD , AD

EC ? E ,
??????????(8 分)

? PE ? 平面 ABCD .

过 F 作 FG ? EC 于 G ,则 FG PE , FG ? 平面 ABCD ,

1 3 ? FG ? PE ? PF ? 2 FC , 3 3 . 1 ?VF ? BEC ? S 3
20.解:

??????????(10 分)

BEC

1 1 3 1 ? FG ? ? ? 2 ? 3 ? ? 3 2 3 3 .??????????(12 分)

100 (Ⅰ)由题意得,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,

??????????(2 分)

1 1 18 100 ? f ( x) ? ( x3 ? x ? ) ? 120000 50 5 x
7

?

1 2 360 x ? ? 2(0 ? x ? 100) 1200 x .

??????????(5 分)

f / ( x) ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)有,
/

1 360 x3 ? 216000 x? 2 ? 600 x 600 x 2 .

????????(8 分)

3 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 216000 ? 0 , x ? 60 .

??????????(9 分) ??????????(10 分)

/ ①当 x ? (0, 60) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 是减函数;

/ ②当 x ? (60,100] 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 是增函数; ??????????(11 分)

? 当 x ? 60 ,即汽车的行驶速度为 60 (千米/时)时,从甲地到乙地的耗油量 f ( x) 为最少,
最少耗油量为 f (60) ? 7 (升) . 21.解: (Ⅰ)由题意知: ??????????(12 分)

F1F2 ? 2c ? 2 3



??????????(1 分)

椭圆上的点 P 满足

?PF1F2 ? 90 ,且

S?PF1F2 ?

3 2 ,

? S?PF1F2 ?
? PF1 ?

1 1 3 F1F2 ? PF1 ? ? 2 3 ? PF1 ? 2 2 2 .
F1 F2 ? PF1 ?
2 2

1 PF2 ? 2,

7 2.
??????????(2 分) ??????????(3 分)

?2a ? PF1 ? PF2 ? 4, a ? 2




c ? 3,?b ? a 2 ? c 2 ? 1 .

x2 ? y2 ? 1 ? 椭圆 C 的方程为 4 .
(Ⅱ)假设这样的直线 l 存在. 设 l 的方程为 y ? kx ? m ,

??????????(4 分)

l 与直线 x ? ?1 相交,? 直线 l 的斜率存在.
??????????(5 分)

? x2 2 ? ? y ? 1, ?4 2 2 2 ? y ? kx ? m 由? 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . (*)??????(6 分)
直线 l 与椭圆 C 有两个交点,
8

2 2 2 2 2 ? (*)的判别式 ? ? (8km) ? 4(1 ? 4k )(4m ? 4) ? 0 ,即 m ? 4k ? 1 .①

??????????(7 分)

M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则 设

x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2 . ??????????(8 分)

MN 被直线 x ? ?1 平分,可知 k ? 0 ,

?

x1 ? x2 ?4km 1 ? 4k 2 ? ? ? 1 m ? 2 1 ? 4k 2 4k . ② ,

??????????(9 分)

1 ? 4k 2 2 ( ) ? 4k 2 ? 1 4 2 4 k 把②代入①,得 ,即 48k ? 8k ? 1 ? 0 .??????(10 分)
k ? 0,
2

?k2 ?

1 12 .

??????????(11 分)

?k ? ?

3 3 k? 6 或 6 .即存在满足题设条件的直线 l ,且 l 的斜率取值范围是 3 3 ) ( , ??) 6 6 .

(??, ?

??????????(12 分)

9


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