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三角函数的化简、求值与证明


课题:三角函数的化简、求值与证明 教学目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值,能正确地运用三角公 式进行三角函数式的化简与恒等式的证明. 教学重点熟练地运用三角公式进行化简与证明.有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运 用. 知识回顾 1、三角函数式的化简: (1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦, 异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值; ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方 数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类: (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观 察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换消去非特殊角, 转化为求特殊角的三角函数值问 题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关 键在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的 式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题, 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明: (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒 等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同” ; (2)三角条件 等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分 析法进行证明。 主要方法 1.三角函数的求值: 1.寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; 2.正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; 3.一些常规技巧: “1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等. 1.三角函数式的化简: 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为 同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 2.三角恒等式的证明: 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式. ①无条件的等式证明的基本方法是 化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同” ;②有条件的等式 常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等. 基本训练 1、已知 ? 是第三象限角,且 sin ? ? cos ? ?
4 4

A、

2 2 3

B、 ?
2

2 2 3

5 ,那么 sin 2? 等于 9 2 2 C、 D、 ? 3 3

( A )

2、函数 y ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? A、 2? B、 ?

3 的最小正周期 2 C、 3?
C、-1

( B ) D、 4? ( D ) D、-2

3、 tan 70 cos10 ( 3 tan 20 ?1) 等于 A、1 B、2 4、已知 sin ? ? 3 cos ? ?

4m ? 6 7 (m ? 4) ,则实数 m 的取值范围是__[-1, ]___。 4?m 3
1 7 ,则 cos 2? =__ ? ___。 2 4

5、设 0 ? ? ? ? ,sin ? ? cos ? ?

例题分析:

m?3 4 ? 2m ? ? ? ? ? ) , 则 tan ? ? , cos ? ? ( m?5 m?5 2 ( C ) 4 ? 2m m?3 5 3 5 ( A) (B) ? (C ) ? ( D) ? 或 ? m?3 4 ? 2m 4 12 12 m ? 3 2 4 ? 2m 2 5 ) ?( ) ?1 得 m ? 8 或 m ? 0 ( 舍 ) 略解:由 ( , ∴ sin ? ? ,∴ m?5 m?5 13 5 tan ? ?? . 12 1 例 2.已知 cos(75 ? ? ) ? , ? 是第三象限角,求 cos(15 ? ? ) ? sin(? ? 15 ) 的值. 3 解:∵ ? 是第三象限角,∴ k ? 360 ? 255 ? ? ? 75 ? k ? 360 ? 345 ( k ? Z ) , 1 ∵ cos(75 ? ? ) ? , ∴ ? ?7 5 是 第 四 象 限 角 , ∴ 3 1 2 2 , sin(75 ? ? ) ? ? 1 ? ( )2 ? ? 3 3


? 1 . 已 知 s i? n

∴原式 ? cos(15 ? ? ) ? sin(15 ? ? ) ? sin(? ? 75 ) ? cos(? ? 75 ) ? ? 例 3.已知 sin ? ? sin ? ? 1,求 3cos ? ? cos ? ? 2sin ? ? 1 的值.
2 2 4

2 2 ?1 . 3

解:由题意, sin ? ? 1 ? sin ? ? cos ? ,
2 2

∴原式 ? 3sin ? ? sin ? ? 2sin ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 2 ? 2 .
2 2

例 4.已知 8cos(2? ? ? ) ? 5cos ? ? 0 ,求 tan(? ? ? ) ? tan ? 的值. 解:∵ 2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? , ∴ 8cos[(? ? ? ) ? ? ] ? 5cos[(? ? ? ) ? a] ? 0 , 得 13cos(? ? ? ) cos ? ? 3sin(? ? ? )sin ? , 若

c o? s ? (?

? )? c , o 则 s

0

13 , 3 若 cos(? ? ? ) cos ? ? 0 , tan(? ? ? ) ? tan ? 无意义. tan(? ? ? ) ? tan ? ?
说 明 : 角 的 和 、 差 、 倍 、 半 具 有 相 对 性 , 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? 等,解题过程中应充分利用这种变形.
例 5.已知关于 x 的方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? ,cos ? ,? ? (0, 2? ) ,

sin ? cos ? ? 的值; (2) m 的值; (3)方程的两根及此时 ? 的值. 1 ? cot ? 1 ? tan ? ? 3 ?1 sin ? ? cos ? ? ? ① ? 2 , 解: (1)由根与系数的关系,得 ? ?sin ? ? cos ? ? m ② ? ? 2
求: (1)

sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? 3 ?1 ? ? ? sin ? ? cos ? ? . sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? 2 2? 3 3 m 3 (2)由①平方得: 1 ? 2sin ? ? cos ? ? , sin ? ? cos ? ? ,即 ? ,故 2 4 2 4
∴原式 ?

m?

3 . 2
2

3 3 1 ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? , 2 2 2 ? 3 ?sin ? ? 1 sin ? ? ? ? 2 ? 2 或? ∴? , ? ?cos ? ? 1 ?cos ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ∵ x ? (0, 2? ) ,∴ ? ? 或 . 3 6
(3)当 2 x ? ( 3 ? 1) x ? 例 1.化简:

3 tan12 ? 3 ; sin12 (4cos2 12 ? 2) ? ? ? (2) (cot ? tan )(1 ? tan ? ? tan ) ; 2 2 2 ? ? (1 ? sin ? ? cos ? )(sin ? cos ) 2 2 (0 ? ? ? ? ) . (3) 2 ? 2 cos ? 1 3 2 3( sin12 ? cos12 ) 3 sin12 ? 3cos12 2 2 ? 解: (1)原式 ? 2sin12 cos12 (2 cos 2 12 ? 1) sin 24 cos 24
(1)

2 3 sin(12 ? 60 ) ? ?4 3 . 1 sin 48 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? )(1 ? ? ) (2)原式 ? ( sin ? sin ? cos ? sin ? 2 cos ? 1 ? cos ? 1 ? (1 ? ) ? 2 cot ? (1 ? ? 1) ? 2 csc ? . sin ? cos ? cos ? ?
(3)原式 ?

(2 cos 2

?

? 2 cos sin )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 2(1 ? cos ? )

?

?

?

?

2cos (cos ? sin )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2cos 2

?

?

?

?

?

?

2cos (sin ? cos ) cos (? cos ? ) 2 2 2 ? 2 ? ? ? 2 | cos | | cos | 2 2 ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ 0 ? ? ,∴ | cos |? cos , 2 2 2 2 ∴原式 ? ? cos ? .

?

2?

2?

2

?

例 3. 证明: (1)tan x ? cot x ?
2 2

2(3 ? cos 4 x) sin(2 A ? B) sin B ? 2 cos( A ? B) ? ; (2) . 1 ? cos 4 x sin A sin A sin 2 x cos 2 x sin 4 x ? cos 4 x (sin 2 x ? cos 2 x) 2 ? 2sin 2 x cos 2 x ? ? ? 证: (1)左边 ? 1 2 cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 4 1 1 1 ? sin 2 2 x 1 ? sin 2 2 x 8 ? 4sin 2 2 x 4 ? 4cos 2 2 x 2 2 ? ? ? ? 1 2 1 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x sin 2 x (1 ? cos 4 x) 4 8 4 ? 2(1 ? cos 4 x) 2(3 ? cos 4 x) ? ? ? 右边,∴得证. 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x
说明:由等式两边的差异知:若选择“从左证到右” ,必定要“切化弦” ;若“从右证到 左” ,必定要用倍角公式. sin[( A ? B) ? B] ? 2 cos( A ? B) sin A sin( A ? B) cos A ? cos( A ? B) sin A (2)左边 ? ? sin A sin A

?

sin[( A ? B) ? A] sin B ? ? 右边,∴得证. sin A sin A

课堂练习 1.若 cos130 ? a ,则 tan 50 ? ( D )

1 ? a2 2. (1 ? tan 20 )(1 ? tan 21 )(1 ? tan 24 )(1 ? tan 25 ) ? ( B ) ( A) 2 (B) 4 (C ) 8

1 ? a2 ( A) a

1 ? a2 (B) ? a

(C ) ?

a

1 ? a2 ( D) ?a

( D) 16

1 2 . 答案: 1 cos 2 x 3.化简: ? ? 2 2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4 ? 3 17? 7? 28 sin 2 x ? 2sin 2 x ?x? 4.设 cos( x ? ) ? , ,求 的值。答案: ? 4 5 12 4 75 1 ? tan x 1 1 ? 6.已知 sin(? ? ? ) cos ? ? [sin(2? ? ? ) ? cos ? ] ? , 0 ? ? ? ? ,求 ? 的值。答案: 2 2 2 ? ? 6 sin ? ? cos ? 7. (北京卷)已知 tan =2,求(I) tan(? ? ) 的值; (II) 的值. 2 4 3sin ? ? 2 cos ? 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解: (I)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? tan ? ? 1 1 4 ? 所以 tan(? ? ) ? = 3 ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3

4 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 (II)由(I), tanα=- , 所以 = = 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2

4 6(? ) ? 1 7 3 ? . 4 3(? ) ? 2 6 3

8. (全国卷)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? sin 2 x, x ?[0, 2? ]. 求使 f ( x ) 为正值的 x 的集合. 解:∵ f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ??????????????????2 分

? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ???????????????????4 分 4 ? f ( x) ? 0 ? 1 ? ?? 2 s i nx( 2 ? 4

?

?

?? ) s0i n (x2? ?

?
4

?)?

2 ????6 分 2

?
4

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

? k? ? x ?
又 x ?[0, 2? ].

3? ? k? ????????????????10 分 4 3? 7? ) ? (? , ) ?????????12 分 ∴ x ? (0, 4 4
2

5? ? 2k? ??????????8 分 4

9.(浙江卷)已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx.

(Ⅰ) 求 f( 解:(Ⅰ)

? 25? 1 3 )的值; (Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= - ,求 sin ? 的值. 2 4 6 2
sin 25? 1 25? 3 ? f ( 25? ) ? ? 3 sin 2 25? ? sin 25? cos 25? ? 0 ? ,cos ? 6 6 6 6 6 2 6 2

(Ⅱ) f ( x) ?

3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2

? 3 1 3 1 3 ?f( )? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2
16sin 2 ? ? 4 sin ? ? 11 ? 0
解得 sin ? ?

1? 3 5 8

? ? ? (0, ?) ? sin ? ? 0 ? sin a ?
1.

1? 3 5 8
( B )

1 ? sin 4? ? cos 4? ? 1 ? sin 4? ? cos 4? ( A) cot ? ( B ) cot 2?

(C ) tan ?

( D) tan 2a

2.已知 f ( x) ? 1 ? x ,当 ? ? ( 5? , 3? ) 时,式子 f (sin 2? ) ? f (? sin 2? ) 可化简为( D ) 4 2

( A) 2 sin ?

( B ) ?2 cos ?

(C ) ?2sin ?

( D) 2 cos ?

3.

2 tan( ? ? ) sin 2 ( ? ? ) 4 4

?

2 cos 2 ? ? 1

?

?

1



课后作业 三角函数的化简、求值与证明 一、选择题 1、已知 sin(? ? A、

?
4

)?

2 2 3

1 ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于 3 4 1 2 2 B、 ? C、 3 3
2

( D ) D、 ?

1 3

2、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ?、? ? (? 于 (B)

? ?
?
3

, ) ,则 ? ? ? 等 2 2


2? ? 2? C、 或 ? 3 3 3 3cos x ? x 3、化简 (1 ? sin x)[ ? 2 tan( ? )] 为 x 4 2 2 ? 2cos ( ? ) 4 2 sin x A、 B、 cos x C、 tan x
A、

? 3

B、 ?

D、 ?

2? 3

( B ) D、 cot x

4、 (全国卷Ⅲ) (A) tan ?

2sin 2? cos 2 ? ? ? 1 ? cos 2? cos 2?
(B)

( B )

tan 2?

(C) 1

(D)

1 2

5、 (山东卷)函数 f ( x) ? ? 为( B ) (A)1 二、填空题

2 ? ?sin(?x ),?1 ? x ? 0 ,若 f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的所有可能值 x ?1 ? e , x ? 0 ?

(B) 1,?

2 2

(C) ?

2 2

(D) 1,

2 2

sin 3a 13 3 ? ,则 tan 2a =_____ ? _________. sin a 5 4 ? 4 ? 1 7、 (北京卷)已知 tan =2,则 tanα 的值为- ,tan (? ? ) 的值为 3 4 7 2 4 ? 2 8、已知 tan( ? ? ) ? 3 ,则 sin 2? ? 2cos ? 的值为___ ? ____。 5 4 2 ) =_ ? 9、已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B _. 2
6、 (全国卷Ⅱ)设 a 为第四象限的角,若 三、解答题

10、求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin
2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2.

2

11、已知

sin 2? ? 2sin 2 ? ? ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值。 1 ? tan ? 4 2 答案: 1 ? k

12、求值:

( 3 tan12 ? 3) csc12 . 4 cos 2 12 ? 2 答案: ?4 3
3 ,求 (2 ? cos 2? )(2 ? cos 2? ) 的值。答案:3 3

13、已知 tan ? tan ? ?


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