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高中数学专练——坐标系与参数方程(A)

数学选修 4-4
[基础训练 A 组] 一、选择题 1
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坐标系与参数方程

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若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
C
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A

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2 3

B

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?

2 3

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3 2

D

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?

3 2


2

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下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
2) B
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A

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(

1 ,? 2

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3 1 (? , ) 4 2

C

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(2, 3 ) D

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(1, 3 )


3

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? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 将参数方程 ? 2 ? y ? sin ? ?
A
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y ? x?2

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y ? x?2

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y ? x ?2 ( 2 ? x ? 3 ) D


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y ? x ?2 ( 0 ? y ? 1 )

4

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化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A
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x2 ? y 2 ? 0或y ? 1

B

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x ?1

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x2 ? y 2 ? 0或x ? 1


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y ?1

5

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点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A
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(2, ) B 3

?

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( 2? ,

?
3

) C

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2? (2, ) D 3

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( 2 , k? ? 2


?
3

)k? Z ,(

)

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极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A
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一条射线和一个圆

B

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两条直线

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一条直线和一个圆

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一个圆

二、填空题 1
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直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________ ? y ? 4 ? 5t

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? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________ 参数方程 ? t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?
已知直线 l1 : ?

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? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t
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则 AB ? _______________

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-1-

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1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________ 直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________
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三、解答题 1
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已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点,

(1)求 2x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围

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求直线 l1 : ?

?x ? 1? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y ? ?5 ? 3t ?
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与 Q(1, ?5) 的距离

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在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值 16 12

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坐标系与参数方程 参考答案

[基础训练 A 组] 一、选择题 1 2 3 4 5 6
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D B C C C C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

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转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

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转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

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? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

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? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1
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?

5 4
2 2

k?

y?4 ? 5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

2

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x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? (x ? ) x ? ? ( ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3

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5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

4

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14

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (
5
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2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2

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??

?
2

??

? c o s c o? ? s i?n s? n ? s ? ? i
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

0 ,?c o ?(,取 ?)? ?0? ? s?

?
2

三、解答题 1
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解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1
-3-

?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? a ? ? 2 ?1
2
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?

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解:将 ?

?x ? 1? t ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? y ? ?5 ? 3t ?
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 解:设椭圆的参数方程为 ?

3

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4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4 cos ? ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 5

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