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高二数学小测(十二)

高二数学小测(十二)理科

19 已知, f ( x) ? ax ? ln x , g ( x ) ?

? f ( x) , a ? R. x

⑴当 a ? 1 时, 讨论 f ( x ) 的单调性、极值; ⑵当 a ? ?1 时,求证: g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x1 ?

1 , ?x1 , x2 ? (0, ??) 成立; 2

⑶是否存在实数 a ,使 x ? (0, e 时, f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在, ] 说明理由. 21.已知函数 f ( x ) ? ax ? (I)用 a 表示出 b,c;

b ? c(a ? 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1. x

1 (II)若 f ( x) ? ln x在? ,??? 上恒成立,求 a 的取值范围;
(III)证明: 1 ?

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? (n ? 1). 2 3 n 2(n ? 1)

19、解: (1)a=1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ?( x) ?

x ?1 ( x ? 0) , x ? 1 时, f ?( x) ? 0, x ? 0 时, x

f ?( x) ? 0 ,
所以 f(x)在(0,1)上单调递减, (1, ??) 上单调递增,f(x)有极小值 f(1) =1 (2)a=-1 时, g ( x) ?

x ? ln x ln x 1 ? ln x 1 ?1? , g ?( x) ? ,设 h(x) ? f (x) ?2 x ? , 2 x x x 2 1 3 则 h( x) ? x ? ln x ? ,由(1)知 h(x)的最小值为 。 2 2
又因为 g(x)在(0,e)上单调递增, (e, ??) 单调递减,

所以 g(x)最大值为 g (e) ? 1 ?

1 3 ? ? h( x) min , e 2

所以 g ( x2 ) ? h( x1 )( x1, x2 ? (0, ??) 从而:

1 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x1 ? , ?x1 , x2 ? (0, ??) 成立 2

/ (3)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, f ( x ) ? a ?

① 当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min (舍去) , 所以,此时 f (x) 无最小值。

1 x 4 ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? e

1 1 1 ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a 1 4 ③ 当 ? e 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? a e
②当 0 ? (舍去) , 所以,此时 f (x) 无最小值.
2 综上所述,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3

(Ⅲ)解法一:由(II)知:当

由(II)知:当

时,有





这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立.

根据(1)和(2),可知不等式对任何

都成立.

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x ? ?1 且 x ? 0 ) ( x ? 1) ln( x ? 1)

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 值域; (3)已知 2 x ?1 ? ( x ? 1)m 对任意 x ? (?1, 0) 恒成立,求实数 m 的取值范围。
1

20. (本小题满分 14 分)
(1)? f '( x) ? ?

ln( x ? 1) ? 1 ( x ? 1)2 ln 2 ( x ? 1)

? 当 f '( x) ? 0 时,即 ln( x ? 1) ? 1 ? 0, ?1 ? x ? e?1 ?1
?1 当 f '( x) ? 0 时,即 ln( x ? 1) ? 1 ? 0,0 ? x ? e ? 1 或 x ? 0

故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, e?1 ?1) 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (e?1 ? 1,0),(0, ??) (2)由 f '( x) ? 0 时,即 ln( x ? 1) ? 1 ? 0, x ? e?1 ?1 ,由(1)可知 f ( x ) 在 (?1, e?1 ?1)
?1 上递增, 在 (e?1 ?1,0) 递减,所以在区间(-1,0)上,当 x ? e ? 1 时, f ( x ) 取得极大值,

即最大值,为 f (e?1 ?1) ? ?w 在区间 (0, ??) 上, f ( x) ? 0

? 函数 f ( x) 的值域为 (??, ?e) ? (0, ??)
(3)? 2
1 x ?1

? ( x ? 1)m ? 0, x ? (?1,0) ,两边取自然对数得,
对 x ? (?1, 0) 恒成立

1 ln 2 ? m ln( x ? 1) x ?1

?m ?

ln 2 ( x ? 1) ln( x ? 1)

则 m 大于

ln 2 的最大值, ( x ?) ln( x ? 1) ln 2 取得最大值 ?e ln 2 ( x ? 1) ln( x ? 1)

?1 由(2)可知,当 x ? e ? 1 时,

所以 m ? ?e ln 2