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湖南师大附中2015届高三理科数学月考试卷(1)及详细解答


湖南师大附中 2015 届高三月考试卷(一) 数学(理科)
命题:湖南师大附中高三数学备课组
一.选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1. 已 知 集 合 M ? { x x ? 2 x ? 0}, N ? {x x? a}, 若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是



A ) B. (2, ??) C. (??, 0] D. (??, 0]

A. [2, ??) 2.下列四个命题:

开始

1 1 p1 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ( ) x 2 3

p2 : ?x ? (0,1),log 1 x ? log 1x
2 3

输入 n
s = 1 ,k = 1

1 p3 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? log 1 x 2 2
其中的真命题是( D A. )

1 1 p4 : ?x ? (0, ),( ) x ? log 1 x 3 2 3

p1 , p3

B. p1 , p4

C. p2 , p3

D. p2 , p4 )

k≤n 是 s = s ×2 k=k+1



3.在如右图所示的程序框图中输入 10,结果会输出( D A. 10 B. 11 C. 512 D. 1024

4.将函数 f (x) ? sin x ? cos x 的图像向左平移 ? ( ? >0)个单位长度, 所得图像关于原点对称,则 ? 的最小值为( C ) A. ?

输出 s
5? 4

?
4

B.

? 4

C.

3? 4

D.

结束

5.若实数 x, y 满足条件 ? í A.9

ì ? y? 2 x 1 ,则 z = x + 3 y 的最大值为( ? ? ? y? x 1
B.11 C.12

B

) D.16

6.不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下:a、b、c 成等比数列,a、m、b 和 b、 n、c 都成等差数列,则 A. - 2

a c ? ? m n
B.0 C.2

( C ) D.不能确定

7.已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴上(含

1

原点)滑动,则 OB ? OC 的最大值是( C

??? ? ??? ?



A.1

B.

2 2

C.2

D. 5

8.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为( D )

3 A. 4
C.

B.

3 2

1 1
正视图 侧视图

3

D. 2 3

【解析】如图所示,四面体为正四面体.

俯视图

9. 若曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有 4 个不同的交点,则实 数 m 的取值范围是( B A. (? ) B. (?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3 3 3 ) ? ( ,??) 3 3

C.

[?

D. (??,?

2 2 【解析】 曲线 C1 :( x ? 1) ? y ? 1, 图像为圆心为 (1,0) , 半径为 1 的圆; 曲线 C2 :y ? 0 ,

或者 y ? mx ? m ? 0 ,直线 y ? mx ? m ? 0 恒过定点 (?1,0) ,即曲线 C2 图像为 x 轴与恒过 定点 (?1,0) 的两条直线。作图分析: y

3 3 k1 ? tan30? ? , k 2 ? ? tan30? ? ? , 3 3
又直线 l1 (或直线 l 2 ) 、 x 轴与圆共有四个不同 的交点,结合图形可知 m ? k ? (?

l1

?1

O

1

x

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3
2

l2

2 3 10.已知集合 A ? x x ? a 0 ? a1 ? 3 ? a 2 ? 3 ? a3 ? 3 ,其中 ai ? ?0,1,2?

?

?

?i ? 0,1,2,3? 且

a3 ? 0 ,则 A 中所有元素之和等于( D )
A、3240 B、3120 C、2997 D、2889

【解析】由 题 意 可 知 , a 0 , a 1 , a 2 各 有 3 种 取 法 ( 均 可 取 0 , 1 , 2 ) , a3 有 2 种 取 法 , 由 分 步 计 数 原 理 可 得 共 有 3×3×3×2 种 方 法 , ∴ 当 a 0 取 0 , 1 , 2 时 , a 1 , a 2 各 有 3 种 取 法 , a 3 有 2 种 取 法 , 共 有 3×3×2=18 种 方 法 , 即 集 合 A 中 含 有 a 0 项 的 所 有 数 的 和 为 ( 0+1+2 ) ×18 ; 同 理 可 得 集 合 A 中 含 有 a 1 项 的 所 有 数 的 和 为 ( 3×0+3×1+3×2 ) ×18 ; 集 合 A 中 含 有 a 2 项 的 所 有 数 的 和 为 ( 3 2 ×0+3 2 ×1+3 2 ×2 ) ×18 ; 集 合 A 中 含 有 a 3 项 的 所 有 数 的 和 为 ( 3 3 ×1+3 3 ×2 ) ×27 ; 由分类计数原理得集合 A 中所有元素之和: S= ( 0+1+2 ) ×18+ ( 3×0+3×1+3×2 ) ×18+ ( 3 2 ×0+3 2 ×1+3 2 ×2 ) ×18+ ( 3 3 ×1+3 3 ×2 ) ×27 =18 ( 3+9+27 ) +81×27=702+2187=2889 . 故 选 D . 二. 填空题:每小题 5 分,共 25 分.
? 11.在△ABC 中, a =15, b =10, ∠A= 60 ,则 cos B ?

【答案】

6 3

x2 y 2 ? ? 1 的长轴为 A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个二面 12.如图,椭圆 16 12
角,使点 A2 在平面 B1A1B2 上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为 【答案】

? 3

13. 若 f ( x) ?

?

1

0

f ( x)dx ? x, 则 f ( x) ? _________ .
1 . 4

【答案】 f ( x) ? x ? 【解析】因为

?

1

0

f ( x)dx 是个常数,不妨设为m,所以 f ( x) ? x ? m,
1 2 1 1 1 x ? mx, 所以可得方程 m ? ? m, 解得 m ? . 故 f ( x) ? x ? . 2 2 4 4
2

其原函数 F ( x ) ?

14 . 在 函 数 f ( x) ? a l n x 的 图 像 上 任 取 两 个 不 同 的 点 P( x1 , y1 ) 、 ? ( x? 1) ? x? ? 0

Q( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) ,总能使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,则实数 a 的取值范围为

3

【答案】 [ , ??) 【解析】 原式等价为 f ( x1 ) ? 4 x1 ? f ( x2 ) ? 4 x2 , 令 g( x) ?f ( x) 4? x 为不减函数,所以 g ?( x) ? 0 . , 则 g ( x) 在 (0, ??) 上

1 2

15. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数, 按照点或小石子能排列的形状对数进行分类, 图中的实心点的 个数 1、5、12、22、…,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 形数记作 ,第 3 个五角形数记作 ,若 ,第 4 个五角形数记作 ,则 . ,第 2 个五角 ,……,若

按此规律继续下去,则

【答案】35,10 【解析】根据图形变化的规律可归纳得

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 设 f ( x) ? sin(

?

x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1. 4 6 8

?

?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 【解析】 (1) f (x) ? sin

4 3

? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? x cos ? cos x sin ? cos x ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ), 4 6 4 6 4 2 4 2 4 4 3

故 f (x) 的最小正周期为 T ?

2? ? 8. ? 4

…………………..6 分

(2)法一:

4

在 y ? g(x) 的图像上任取一点 (x,g(x)), 它关于 x ? 1 的对称点为 (2 ? x, g(x)). 由题设条件,点 (2 ? x, g(x)) 在 y ? f (x) 的图像上,从而

?? ?? ? ? ?? ?? ? g(x) ? f(2 ? x) ? 3 sin ? (2 ? x) ? ? ? 3 sin ? ? x ? ? ? 3 cos( x ? ) , 3? 3? 4 3 ?4 ?2 4
当0 ? x ?

4 ? ? ? 2? ? 4? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g(x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 3 3 4 3 3 ? 3?

ymax ? 3 cos
法二:

? 3 ? . 3 2

…………………..12 分

因区间 ?0, ? 关于 x ? 1 的对称区间为 ? , 2 ? 3 3

? 4? ? ?

?2 ?

? 且y ? g(x)与 y ? f (x) 的图像关于直 ?,
?2 ? ? ?

线 x ? 1 对称,故 y ? g(x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 y ? f (x) 在区间 ? , 2 ? 上的最大值. 3 3 由(1)知 f (x) ? 3 sin( x ? ). 当

? 4? ? ?

? 4

? 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? x ? ? . 3 6 4 3 6

因此 y ? g(x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 ymax ? 3 sin ? . 6 2 ? 3?

? 4?

?

3

………………..12 分

17. (本题满分 12 分) 某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选, 参加海选的选手可以参加 A、B、C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过 海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进 入正赛. 当某选手三项测试均未通过,则被淘汰.现已知甲选手通过项目 A、B、C 测试的概 率为分别为

1 1 1 、 、 , 且通过各次测试的事件相互独立. 5 3 2

(Ⅰ)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改变 测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由. (Ⅱ)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第二项能通过的概率为 p2,第三项能通过的概率为 p3,设他结束测试时已参加测试的次数记为 ? ,求 ? 的分布列和 期望(用 p1、p2、p3 表示) ;并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.

1 1 1 4 )(1- )( 1- ) = , 5 3 2 15 1 1 1 11 故甲选手能通过海选的概率为 1-(1- )(1- )( 1- ) = . ………………..3 分 5 3 2 15
【解析】(Ⅰ)依题意,甲选手不能通过海选的概率为(1- 若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,

5

因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为(1- 即无论按什么顺序,其能通过海选的概率均为 (Ⅱ)依题意, ? 的所有可能取值为 1、2、3. 故 ? 的分布列为

1 1 1 4 )(1- )( 1- ) = , 5 3 2 15
………………..5 分

11 . 15

p( ? =1)= p1,p( ? =2) = (1-p1) p2,p( ? =3) = (1-p1)(1-p2) .

?
P

1 p1

2 (1-p1) p2

3 (1-p1)(1-p2) ……………….8 分 ………………10 分

E ? = p1+2(1-p1) p2+3(1-p1)(1-p2)

分别计算当甲选手按 C ? B ? A , C ? A ? B , B ? A ? C , B ? C ? A , A ? B ? C , A ? C ? B 的顺序参加测试时,E ? 的值,得甲选手按 C ? B ? A 的顺

序参加测试时,E ? 最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛,故该选手选择将自

己的优势项目放在前面,即按 C ?B? A 的顺序参加测试更有利于进入正 赛. ……………….12 分 18. (本题满分 12 分) 如 图 , ?ABC 的 外 接 圆 ⊙O 的 半 径 为 5 , CE 垂 直 于 ⊙O 所 在 的 平 面 , BD//CE,CE=4,BC=6,且 BD=1, cos ?ADB ?

101 . 101

E M C A
O

(Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面 BCED ; (Ⅱ)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与 平面 ACE 所成角的正弦值为

2 21 ?若存在,确 21

D B

定点 M 的位置;若不存在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)证明:? BD ? 面ABC

? BD ? AB, 又因为 BD=1, cos ?ADB ?
故 AD= 101 ,AB=10=直径长,

101 . 101
………………………….3 分

? AC ? BC .又因为 EC ? 面ABC ,所以 EC ? BC .

? AC ? EC ? C ,? BC ? 面ACE ,又 BC ? 面BCED ,

? 平面 AEC ? 平面 BCED

………………………………….6 分 (Ⅱ)存在,如图,以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,直线 CB 为 y 轴,直线 CE 为 z 轴建立空 间直角坐标系,则有点的坐标,A(8,0,0),B(0,6,0),D(0,6,1),E(0,0,4). 则 AD =(-8,6,1), DE =(0,-6,3),
6

????

????

???? ???? ? 设 DM = ? DE = ? (0,-6,3)= (0, -6? , 3? ),
故 AM ? AD ? DM =(-8, 6-6? , 1+3 ? )

z

E M C A
x
O

???? ?

???? ???? ?

??? ? 由(1)易得面 ACE 的法向量为 CB =(0,6,0),
设直线 AM 与平面 ACE 所成角为 ? ,

D B
y

???? ? ??? ? | AM ? CB | ? ??? ? ? 则 sin ? ? ???? | AM |? | CB |
36 ? 36? 64 ? 36(1 ? ? ) ? (1 ? 3? ) ? 6
2 2

?

1 2 21 ,解得 ? ? . 3 21
……………….10 分

所以存在点 M,且 DM =

???? ? 1 ???? 2 21 DE 时,直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为 . 3 21
………………………………….12 分

法二: (几何法) 如图,作 MN ? CE 交 CE 于 N,连接 AN,则 MN ? 面AEC ,故直线 AM 与平面 ACE 所成角为 ?MAN ,且 MN ? AN , NC ? AC . 设 MN=2 x , 由直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值 为

E
N

2 21 ,得 AM= 21x ,所以 AN ? 17 x . 21

M C D B

另一方面,作 DK// MN//BC, 得 EN= x , NC ? 4 ? x 而 AC ? 8 ,故 Rt ?ANC 中,由 AN ? AC ? NC
2 2 2

得 17 x ? 64 ? (4 ? x) ,? x ? 2 ,? MN ? 4, EM ? 2 5
2 2

A

O

所以存在点 M,且 EM ? 2 5 时,直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为

2 21 . 21

……………………………………….12 分 19. (本题满分 13 分) 等比数列{ an }中的前三项 a1、a2、a3 分别是下面数阵中第一、 二、 三行中的某三个数, 且三个数任意两个数都不在同一行、同一列

? 5 ? ? 6 ? 20 ?

4 10 12

3? ? 8 ? 1 6? ?

(1)求此数列{ an }的通项公式;
7

(2)若数列{ bn }满足: bn =3 an - ?- 1? lg an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn .
n

【解析】(1)经检验,当 a1 =5 或 4 时,不可能得到符合题中要求的等比数列; 故有 a1 =3, a2 ? 6,a3 ? 12 ,等比数列公比 q=2, 所以 an = 3 ? 2
n ?1

.………………..5 分 得 bn =3 an - ?- 1? lg an = 9 ? 2n?1 ? (?1)n ?lg 3 ? (n ?1) lg 2? .
n

(2)由 an = 3 ? 2

n ?1

所以 Sn = ( 9 1 ? 2 ??? 2n?1 ) ? ??1? ? ??1? ? ?? ??1? (lg3 ? lg 2)
2 n

?

?

? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1) n n lg 2
n 为偶数时, Sn = 9 ?

?

?

.………………..9 分

1 ? 2n n n ? lg 2 ? 9(2 n ? 1) ? lg 2 . 1? 2 2 2 1 ? 2n n ?1 n ?1 ? (lg 3 ? lg 2) ? ( ? n) lg 2 ? 9(2 n ? 1) ? lg 2 ? lg 3 . 1? 2 2 2

n 为奇数时, Sn = 9 ?

n ? n 9(2 ? 1) ? lg 2,n为偶数 ? ? 2 所以, Sn = ? ?9(2 n ? 1) ? n ? 1 lg 2 ? lg 3,n为奇数 ? 2 ?
20. (本题满分 13 分) 已知圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 经过椭圆 ? : (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程;

………………..13 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 和上顶点 B . a 2 b2

(Ⅱ)如图,过原点 O 的射线 l 与椭圆 ? 在第一象限的交点为 Q ,与圆 C 的交点为 P , M

???? ? ???? 为 OP 的中点, 求 OM ? OQ 的最大值.
y B

【解析】 (Ⅰ)在 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 中,
( 2 ,) 令 y ? 0 得 F (2,0) , 即c ? 2, 令x?0, 得 B0
2 2 2

C

b?2, ,
O

M F

P

Q x

x2 y 2 由 a ?b ?c ?8 , ∴ 椭 圆 ? : ? ?1 . 8 4 ------------------4 分 (Ⅱ)法一: 依题意射线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx( x ? 0, k ? 0) ,设
P( x1 , kx1 ), Q( x2 , kx2 )

8

? y ? kx 2 2 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8 ,∴ x2 ? . ?x y2 ?1 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8

---------------6 分

? y ? kx 2 ? 2k 得: (1 ? k 2 ) x2 ? (2 ? 2k ) x ? 0 ,∴ x1 ? , ? 2 2 1? k2 ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

???? ? ???? x kx 1 1? k (k ? 0) . ∴ OM ? OQ ? ( 1 , 1 ) ? ( x2 , kx2 ) ? ( x1 x2 ? k 2 x1 x2 ) ? 2 2 2 2 2 1 ? 2k 2
?2 2 (1 ? k )2 k 2 ? 2k ? 1 ?2 2 . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

-------9 分

?4 k 2 ? 2 k ? 2 k 2 ? 2k ? 1 / ? ( k ) ? , , (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 ?4k 2 ? 2k ? 2 1 ? 0 ,得 ?1 ? k ? . 令 ? / (k ) ? 2 2 (1 ? 2k ) 2

设 ? (k ) ?

1 1 又 k ? 0 ,∴ ? (k ) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减. 2 2 ???? ? ???? 1 1 3 ∴当 k ? 时, ? (k )max ? ? ( ) ? ,即 OM ? OQ 的最大值为 2 3 . 2 2 2 法二:

-------13 分

依题意射线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx( x ? 0, k ? 0) ,设 P( x1 , kx1 ), Q( x2 , kx2 )
? y ? kx 2 2 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8 ,∴ x2 ? . ?x y2 ?1 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8

---------------6 分

???? ? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? OM ? OQ ? (OC ? CM ) ? OQ ? OC ? OQ
= (1,1) ? ( x2 , kx2 ) ? (1 ? k ) x2 ? 2 2
(1 ? k ) 2 . 1 ? 2k 2
1? k 1 ? 2k 2 (k ? 0)

---------------9 分

?2 2

(1 ? k )2 t2 1 1 3 ? ? ? ? . 1 ? 2k 2 2t 2 ? 4t ? 3 2 ? 4(1) ? 3(1)2 3[(1) ? 2 ]2 ? 2 2 t t t 3 3 ???? ? ???? ? 1 2 当且仅当 ? , 即 [OM ? OQ]max ? 2 3 .………………..13 分 t 3 21、 (本题满分 13 分)

设 t ? 1 ? k (t ? 1) ,则

已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 2x ?1( x ? R) .
x 2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间;

9

(2)求证:对任意实数 a ? 0 ,有 f ( x) ?

a2 ? a ? 1 . a

【解析】 (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 2 x ?1( x ? R) , ∵ f ?( x) ? e x ? 2 ,且 f ?( x ) 的零点为 x ? ln 2 , ∴当 x ? (??,ln 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 即 (??,ln 2) 是 f ( x ) 的单调减区间, (ln 2, ??) 是 f ( x ) 的单调增区间. ……………..5 分 (2)由 f ( x) ? e x ? ax 2 ? 2x ?1( x ? R) 得: f ?( x) ? e x ? 2ax ? 2 , 记 g ( x) ? e x ? 2ax ? 2( x ? R). ∵ a ? 0 ,∴ g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? g ( x) 是 R 上的单调增函数, 又 f ?(0) ? ?1 ? 0, f ?(1) ? e ? 2a ? 2 ? 0 , 故 R 上存在惟一的 x0 ? (0,1) ,使得 f ?( x0 ) ? 0 , 且当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时 f ?( x) ? 0 . 即 f ( x ) 在 (??, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增,
2 则 f ( x)min ? f ( x0 ) ? e 0 ? ax0 ? 2x0 ?1,再由 f ?( x0 ) ? 0 得 e 0 ? 2ax0 ? 2 ,将其代入前式 x x 2 可得 f ( x)min ? ?ax0 ? 2(a ?1) x0 ? 1

………………..8 分

.………………..10 分

a ? 1 2 (a ? 1) 2 ) ? ?1 又令 ? (t ) ? ?at ? 2(a ? 1)t ? 1 ? ?a(t ? a a
2

由于 ? a ? 0 ,对称轴 x = 又 (a ? 1) ?

a- 1 > 1 ,而 x0 ? (0,1) ?? ( x0 ) ? ? (1) ? a ?1 a

a2 ? a ? 1 1 a2 ? a ? 1 ? ? ? 0 ,?? ( x0 ) ? a a a a2 ? a ? 1 . a
………………..13 分

故对任意实数 a ? 0 ,都有 f ( x) ?

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