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重庆市南开中学高三数学一诊模拟考试试卷 文(答案不全)


重庆南开中学高 2015 级一诊模拟考试 数学试题卷(文史类)
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 l50 分, 考试时间 l20 分钟. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚; 选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚; 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿 纸、试题卷上答题无效; 保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是 符合题目要求的。

? x ?1 ? A ? ?x ? 2,x ? Z ? ? x ?1 ? 的子集个数为( ) 1.集合
A.2 B.3 C.4 D.5

m?i 2.已知 m ? R ,复数 1 ? i 的实部和虚部相等,则 m 的值为( ) 1 A. 2

B.0 )

C.1

D. ? 1

3.下列命题的否定为假命题的是( A. ?x ? R,x ? 2 x ? 2 ? 0
2

B.任意一个平面四边形的四个顶点共圆

C.样本的中位数一定在样本中

y D.线性回归直线一定经过样本中心点 x,

? ?

4.某工厂从 2015 件产品中选取 l00 件抽样检查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2015 件产品中剔除 15 件,剩下的 2000 件再按系统抽样的方法进行抽取.则每件产品被抽中的概 率( )

A.均不相等

20 B.都相等,且为 403 1 D.都相等,且为 20

C.不全相等

?? ? ? y ? 2 sin ? x ? ? 3 ? 的图象向左平移 6 个单位,所得函数图象的一条对称轴是( ? 5.将函数

)

-1-

x??
A.

?
3
B.

x??

?
6
C.

x?

?
6
) D.

x?

?
3

6.执行如图所示的程序框图,若输 n ? 10 ,则输出的 S ? (

5 A. 11 36 C. 55

10 B. 11 72 D. 55

6? 上 任 取 整 数 m , 则 直 线 7 . 已 知 圆 C:x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 , 在 区 间 ?? 4,
2 2

l:x ? y ? m ? 0
与圆 C 相交所得 ?ABC 为钝角三角形(其中 A、B 为交点, C 为圆心)的概率为( )

2 A. 5

2 B. 11

3 C. 11

4 D. 11

2 2 2 AB ? 4,O ?ABC ? ABC OA ? OB ? OC 8.已知 满足 是 所在平面内一点,满足 ,且

OA ? OB ? ? AC,? ? R ,则 BO ? BA = (
A. 8 2 B.8

) C. 4 2 D.4

9.已知实数 x,y 满足可行域 域D 的面积,则 a 的值为( ) A. ? 4

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? D: ?x ? y ? 1 ? 0 ?3 x ? y ? 9 ? 0 ?

,曲线

?: x ? y ?5 ?a ? 0

,恰好平分可行

B. ? 4 2

C. ? 6

D. ? 8

-2-

ln a d 2 ? 2d ? ?1 2 2 ? c2 10.已知实数 d,6,c,d 满足 b ,则 ?a ? c ? ? ?b ? d ? 的最小值为(
1?
D.

)

A. 2 ? 1

B. 2 ? 2

C. 3 ? 2 2

2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。

?2 2? ? ?x ? ? 展开式中的第四项的系数为 11.二项式 ? x

5



9 1 ? ?1 12.已知 x,y ? R ,且 x ? 1 2 y ,则 x ? 2 y 的最小值为
?



x2 y2 ? 2 ? 1?a>b>0 ? 2 b 13.设点 P 是椭圆 a 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点, I 为

?PF1 F2 的内
心,若

S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? 2 S ?IF1F2

,则该椭圆的离心率为



考生注意:14、15、16 为选做题。请从中任选两题作答。 若三题全做,则按前两题给分。 14.如图,已知 ?ABC 内接于 O ,点 D 在 OC 的延长线上,

AD 是 O 的切线,若 ?B ? 30? , AC ? 2 ,则 AD 的长为



? x ? 2t, ? y ? 2t 2 ( t 为参数),在以 O 为极点,以 x 15.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
轴正

?? ? p sin ?? ? ? ? 2 2 4? ? 半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 的方程为 , C1 与 C 2 的交点为
A、B ,则
AB
= .

16.设

f ?x ? ? 2 x ? 1

f ?x ? ?
,若不等式

a ? 1 ? 2a ? 1 a
对任意非零实数 a 恒成立,则 x 的取

值集 合是 . 三、解答题:本大题共 6 小蹶。共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

-3-

17.(本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin ?x cos ?x ? 2 cos ?x ? 1??>0 ? ,的周期为 2 .

?

(1)求 ? 的值;

? A? f ? ? ?1 (2)在 ?ABC 中, a 、b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边,若 ? 2 ? ,且 a ? 2 ,b ? c ? 4
求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 13 分) 某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四项中 有两项 不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加 后面的 考试。已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试不合格的概率均为

1 2 ,参 2 加 E 考试不合格的概率为 3 .
(1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望

19.(本小题满分 l3 分) 设数列

?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ?a n ?是等比数列;

? 2a n ? p ,其中 p 是不为零的常数.

(1)证明:数列

?a ? b ? bn ? a n n ? N (2)当 P ? 2 时,数列 n 满足 b1 ? 2 , n ?1
20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x (a 为常数). (1)求函数 f ? x ? 的单调区间;

?

?

? ,求数列 ?nb ?的前项 n 和 T
n

n

-4-

?1 ? 2? ? , (2)当 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值时,若关于 x 的方程 f ? x ? ? 2 x ? x ? b 在 ? 2 ? 上恰有
2

两个不 相等的实数根,求实数 b 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

y2 x2 C : ? ? 1?a>b>0 ? 2 2 a2 b2 已知抛物线 C1:y ? 2 px? p>0 ? 的焦点 F 以及椭圆 的上、 下焦点
及左、 右顶点均在圆 O:x ? y ? 1 上.
2 2

(1)求抛物线 C1 和椭圆 C 2 的标准方程: (2) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 A,B 两 不 同 点 , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

NA ? ?1 AF , NB ? ? 2 BF ,
求 ?1 ? ? 2 的值; (3)设直线 l 交椭圆 C 2 于 P , Q 两不同点, P , Q 在 x 轴的射影分别为 P ,Q ,且
' OP · OQ + OP ' · OQ +1=0,若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,证明:点 S 在椭圆 C 2 上.

'

'

22.(本小题满分 12 分)
3 2 ?1 ? a n?1 ? ? 1 ? a n?1 ?n ? N ? ?; a ? a ? ? a a ? 1 n n n 1 设数列 满足 ,

(1)证明:

a n ?1>a n ;

2 ? an ? 1 n ? bn ? ? 1 ? ? a2 ? a 0 < ? bk <2 n ?1 ? n ? k ?1 (2)若 ,证明: 。

-5-

-6-


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