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安徽省望江中学2014届高三第二次月考数学(文)试题


望江中学 2013-2014 高三第二次月考数学(文)试题
命题人王洪根 审题人余晓燕 一选择题(本题共 10 小题,每小题只有一个正确答案,每小题 5 分, 共 50 分) 1.函数 y ? sin 的周期是 A.
? 2
x 2

B. ?

C. 2? ) C
? 3 2

D. 4?

2. cos 42? cos 78? ? sin 42? cos168? ? ( A
? 1 2

B

1 2

D ( D. ?

3 2

3.若函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x, x ? R 则 f ( x) 的值域是 A.
?1,3? ? ?1, 2 B. ? ?

)

C. ?
?
3

? ? 10, 10 ? ?

?0, 10 ? ?

4. 函 数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ( A.
? 6

? ? ), ? ? (0, ? ) 满 足 f ( x ) ? f ( x) , 则 ? 的 值 为

) B.
? 3
4 5

C.

? 12

D.

2? 3

5.在 ? ABC 中, sin A ? , cos B ? A、
63 33 或 65 65

B、

33 65

12 , 则 sin c 的值为( 13 33 13 63 C、 D、 或 65 65 65



6.使函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 是奇函数,且在 [0, ] 上是减函
4

?

数的 ? 一个值是( A、
? 3

) C、
4? 3

B、

2? 3

D、

5? 3

7.在 ? ABC 中, sin Asin B ? cos Acos B ,则 ? ABC 一定是( A、正三角形 B、等腰三角形 C、锐角三角形



D、钝角三角形

第 1 页 共 8 页

? ? ? 8. 若函数 f ( x) ? sin ? x (ω >0)在区间 ?0, ? 上单调递增, 在区间 ? , ? ? ? ? ?
? 3? ?3 2?

上单调递减,则 ? ? A.
2 3

( B.
3 2

) D.3

C. 2

9.直线 y=a(a 为常数)与正切曲线 y=tanωx(ω 是常数且 ω>0)相交, 则相邻两交点间的距离是( A.π B.
2?

) D.与 a 的值有关

?

C.

? ?

10. 设 ? ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c .若 b+c=2a, 3sinA=5sinB, 则角 C= A.
? 3

( C、
4? 3

)

B、

2? 3

D、

5? 3

二.填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
f ( x) ? 3sin(? x ? ) 4 (? ? 0) ,y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 3 的 11 . 已知函数 f (x ? ) ? 0 8 两个相邻交点的距离等于 ? ,则满足不等式 的 x 取值范围

?

?

是___ __ 12.设 0≤a≤ ? ,不等式 8x2-(8sina)x +cos2a≥0 对于 x 属于一切实 数恒成立,则 a 的取值范围是 13. 设 函 数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 。 若 f ( x) ? f ?( x) 是 奇 函 数 , 则
? ? _________.

14.若 f ( x) ? 2cos(wx ? ? ) ? m(m ? 0) ,对任意实数 都有 f (t ? ) ? f (?t ) , 且 f ( ) ? ?1 ,则实数 m 的值等于
8

?

?

4

15.下面有五个命题:
第 2 页 共 8 页

①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? ②终边在 y 轴上的角的集合是{ ? | ? ? k? , k ? Z }
2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公 共点 ④把函数 y ? 3 sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x 的图象
3

? 6

⑤函数 y ? sin(x ?

?
2

)在[0, ? ] 上是减函数

其中, 真命题的编号是 三.解答题(本题共 6 小题,共 75 分)

(写出所有真命题的编号)

16. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sinx+sin(x+ ) (1)求 f(x)的最小值,并求出使 f(x)取得最小值的 x 的集合 (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sinx 的图像经过怎样的变 化得到。

? 3

17. (本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中, A,B,C 的对边分别为 a ,b ,c 且 a2 =b2+c2+ 3 bc (1) 求 A (2) 设 a= 3 ,S 为三角形 ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值, 并指出此时 B 的最值。

第 3 页 共 8 页

18.(本小题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中的内角 A 、 B 、 C 的对边 分别为 a 、 b 、 c ,定义向量 m ? (2sin B, 3) , n ? (2cos2
?? ? m?n.
??

?

B ? 1, cos 2 B) ,且 2

(1)求 f ( x) ? sin 2 x cos B ? cos 2 xsin B 的单调减区间; (2)如果 b ? 4 ,求 ?ABC 的面积的最大值. 19. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) ,在同一个
2

?

周期内,当 x ? 时 y 取最大值 1,当 x ?
4

?

7? 时, y 取最小值-1 12

(1)求函数的解析式 f ? x ? ; (2)若函数 f ? x ? 满足方程 f ? x ? ? ;求在 ? 0, 2? ? 内的所有实数根之和. 20. (本小题满分 13 分)已知 f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2sin 2 正周期为 3? . (Ⅰ)当 x ? [ ,
2

1 2

?x
2

(? ? 0) 的最小

? 3?
4

] 时,求函数 f ( x) 的最小值;

(Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ) ,求 sin A 的值.

21.(本题 14 分)已知向量 a ? ( 3 sin ?x, cos?x), b ? (cos?x,? cos?x), (? ? 0) , 函数 f ( x) ? a ? b ? 的图象的两相邻对称轴间的距离为 . (1)求 ? 的值;
7? 5? 3 , ) , f ( x) ? ? ,求 cos4x 的值; 24 12 5 1 (3)若 cos x ? , x ?(0, ?) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的 2 1 2 ? 4

(2)若 x ? (



第 4 页 共 8 页

答案 18 答案.(1) ; (2) 4 3 【解析】 试题分析:(1)利用向量垂直,向的数量积为 0 得到 sin(2 B ? ) ? 0 , 根据锐角三角形的内角 0 ? B ?
? ?
2 2

? 3

?

?
2

3

求角 B ,再由正弦函数 y ? sin x 得单调

减区间为 [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 求解; (2)由余弦定理及三角形的面 积公式求解. 试题解析:∵ m ? n , m?n ? 2sin B cos B ? 3 cos 2B ? sin 2B ? 3 cos 2B
? 2sin(2B ?

??

?

?? ?

?
3

) ? 0,

? k? ? ? (4 ? , k ? Z ,又 0 ? B ? ,∴ B ? , 分) 3 3 2 6 2 ? ? ? 3? (1) f ( x) ? sin(2 x ? ) ,由 2 x ? ? [2k? ? , 2k? ? ] 得: 3 3 2 2 5? 11? 函数 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? (8 分) ], k ? Z . 12 12

∴ 2B ?

?

? ? ,∴ B ?

(2)由余弦定理知, 16 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac , ∴ S?ABC ? ac sin ? 4 3 .
3 1 2

?

?

3

(12 分)

考点:向量的数量积,二倍角公式,余弦定理,三角形的面积公式.

11? ? 19. (1) f ? x ? ? sin ? 3x ? ? (2) ? ?
? 4?

2

【解析】 试题分析: (1)?
3 ?4

2?

? 7? ? ? ? 2?? ? ? ?? ? 3 ? ? 12 4 ?
3 4

又因 sin ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2k? ? ? ?
?

?
2

又? ? ? ,?? ? ?
2

?

?
4

第 5 页 共 8 页

? 所以函数为 f ? x ? ? sin ? 3x ? ? ? ?
? 4?

6分

2 ? (2) f ? x ? ? sin ? 3x ? ? 的周期为 ? ? ?
? 4?

3

?? ? ? f ? x ? ? sin ? 3x ? ? 在 ? 0, 2? ? 内恰有 3 个周期, 4? ?

? ? 1 并且方程 sin ? 3x ? ? ? 在 ? 0, 2? ? 内有 6 个实根且 x1 ? x2 ? ? ?
? 4? 2

2

同理, x3 ? x4 ?

11 19 ? , x5 ? x6 ? ? 6 6

故所有实数之和为 ?

?

11? 19? 11? ? ? 2 6 6 2

14 分

考点:三角函数求解析式及周期性 点评:三角函数式 y ? A sin ?? x ? ? ? 中 A 值由最值求得, ? 值由周期求 得,? 由特殊点坐标代入求得,第二问求方程的根的个数要适当的结 合函数图象及函数的周期性,先求得一个周期内方程的根的个数,进 而得到所有的根 20. (1) f ( x)min ? 2 ? 【解析】 试题分析:解:∵ f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2 ?
?
1 ? cos(? x) 2

5 ?1 3 ? 1 ? 3 ? 1 (2) sin A ? 2 2

2分 ? 3 sin(? x) ? cos(? x) ? 1 ? 2sin(? x ? ) ? 1 , 6 2 ? 2? 2 由 ? 3? 得 ? ? ,∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1. ? 3 3 6 ? 3? ? 2 ? 2? (Ⅰ)由 ? x ? 得 ? x ? ? , 2 4 2 3 6 3 ∴当 sin( x ? ) ?
6 2 3

4分

?

3 2

时, f ( x)min ? 2 ?

3 ?1 ? 3 ?1 . 2

6分

第 6 页 共 8 页

(Ⅱ)由 f (C ) ? 2sin( C ? ) ? 1 及 f (C ) ? 1 ,得 sin( C ? ) ? 1 ,
6 6 2 ? 5? 2 ? ? ? 而 ? C ? ? , 所以 C ? ? ,解得 C ? . 8分 2 6 3 6 6 3 6 2

?

2 3

?

2 3

?

在 Rt?ABC 中,∵ A ? B ? , 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ) ,
2

?

∴ 2cos2 A ? sin A ? sin A ? 0 , ∴ sin 2 A ? sin A ?1 ? 0 ,解得 sin A ? ∵ 0 ? sin A ? 1 ,∴ sin A ?
5 ?1 . 2 ?1 ? 5 . 2

10 分

12 分

考点:三角函数的化简和求解 点评:解决的关键是根据两角和差的公式以及二次方程来求解,属于 中档题。 21. (1) ? ? 2 (2) ?
2 3 3 ? 5 10

(3) m ? 1或m ? ? 【解析】 试 题 分

1 2

















f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x ?

3 1 ? cos 2?x 1 1 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2

?

3 1 ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin(2?x ? ) , 2 2 6

(1)∵两相邻对称轴间的距离为 , ∴T ?
2? ? ? , ∴? ? 2 . 2? 2

? 4

(2)由(1)得, f ( x) ? sin(4 x ? ) ? ? ,
6

?

3 5

第 7 页 共 8 页

∵ x?(

7? 5? , ), 24 12

∴ 4 x ? ? (? , ? ) ,
6

?

4 ∴ cos(4 x ? ) ? ? , 6 5

?

3 2

∴ cos 4 x ? cos(4 x ?

?

6

?

?

) ? cos(4 x ? ) cos ? sin(4 x ? ) sin 6 6 6 6 6

?

?

?

?

4 3 3 1 2 3 3 ? (? ) ? ? (? ) ? ? ? ? . 5 2 5 2 5 10

1 ? 2 3 1 ? 令 f ( x) ? a ? b ? = sin(4 x ? ) , g ( x) ? m ,在同一直角坐标系中作出两个 2 6 1 函数的图象,可知 m ? 1或m ? ? . 2

(3)? cos x ? ,且余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数, ∴ x ? (0, ] ,

考点:三角函数的性质 点评:主要是考查了三角函数的性质以及化简变形的运用,属于中档 题。

第 8 页 共 8 页


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