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学科教学论(数学)


作业基本信息 ? 名称 提交某个数学概念的理论分析以及基于 APOS 理论的教学设计 ? 所属章节 专题 7 APOS 理论/作业 ? 分值 0 ? 截止提交时间 2012.10.06 ? 作业类型 必做作业 作业要求 作业:从自己所教的教学内容中,选取某个数学概念进行理论分析,并运用 APOS 理论进 行教学设计。 (注意:不是所有数学概念都能运用 APOS 理论进行教学设计) 要求:提交某个数学概念的理论分析以及基于 APOS 理论的教学设计。

基于“APOS 理论”的“排列”教学设计
下面对 “排列”概念的进行 APOS 理论分析以及基于 APOS 理论的教学设 计
操作阶段—多元表征,体验感悟 教师要结合学生的数学思维特点,通过从生活中帅选排列例子,如排队等,创设合理的 问题情境,指导学生亲自参与操作活动,让学生在活动中体验,在操作中感悟,为真正理解 概念积累经验.教师要善于以旧引新,遵循从具体到抽象、从特殊到一般的原则,有目的、 有计划地提供适当的感性材料,材料既要能反映概念的本质,又要在学生的“最近发展区” 内,找准知识的生长点,保证材料的适度性、典型性、有效性和针对性,尽可能地激发学生 参与活动的意愿,给予学生充分表达自己看法的机会,力求在学生自主思考、自由交流以及 相互之间观点的交锋中,撞击出思维的火花. 过程阶段—问题驱动,抽象概括 教师要设计富有启发性、探索性、层进性的问题驱动学生对“操作”自觉地思考,尝试 抽象、概括、一般化,引导学生的思维不断深入.“过程”中的感悟比“操作”中的体验更 重要, “过程” 中隐性的思维比显性的 “操作” 更重要.教师要留给学生充裕的时间进行思考, 保证学生真正意义上的参与.教师要对学生可能出现的课堂生成或思维障碍有充分的预判, 并及时有效地进行反馈调节.需要特别强调的是,问题串” “ 的设计是否符合学生的思维特点, 是否起到“脚手架”的作用,是“过程阶段”成败的关键.另外,抽象概括出概念关键属性 的过程必须是教师引导下的学生自主行为,教师绝不能包办代替,也不能以“伪探究”的形 式走过场.

对象阶段—总结提炼,适时辨析 教师要引导学生对“过程”阶段得出的概念的各种属性及时进行总结提炼,使概念的本 质属性成为一个整体,从而得到概念的严格定义,并进行符号化表示.教师要启发学生用自 己的语言来表述相关属性,注意自然语言、图形语言、符号语言的有机结合与适时转化.在 对概念下定义以后, 教师应该对概念定义中的关键词进行辨析, 让学生明白无误地理解每一 个关键词的含义,要求学生能正确叙述定义,并能举出符合定义的实例,这两者的结合是防 止学生死记硬背、克服形式主义教学的有效措施. 图式阶段—变式建构,多元联系 教师要充分发挥传统变式教学的优势, 把交织着的概念的本质属性和非本质属性分离开. 同时, 用开放性问题、 实际情境性问题、学生自己举反例、 作概念图表等多种方式, 多渠道、 多角度地丰富学生对“对象”的理解,帮助学生的认识上升到“图式”的层次.要做到“瞻 前顾后” ,注重概念的前后联系,注重在概念体系中学习概念,以促使学生形成良好的认知 结构,正如布鲁纳所说: “获得的知识,如果没有完满的结构把它联在一起,那是一种多半 会被遗忘的知识,一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命.” “多元联系表示”是 理解和掌握概念的金钥匙.

一、操作阶段:
教师在简单引入之后,提出如下问题: 问 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别担任班长、学习委员,有多少种不同的方 案? 学生动手操作,然后回答.由于该问题比较简单,学生可能出现利用树形图法、枚举法、 分步计数原理等得出解答, 教师小结每种方法的优点, 有意识地追问利用分步计数原理的思 考过程,并加以提炼,得到: 班长、学习委员分别相当于位置 1、位置 2,∵位置 1 有 3 种选法,相应地,位置 2 有 2 种选法,∴不同方案数为 3 ? 2 ? 6 . 问 2:数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 可以组成多少个无重复数字的三位数? 学生操作这个相对复杂的问题,教师让学生比较不同方法的优劣,发现树形图法、枚举 法由于情况较多,有点困难,而利用分步计数原理相对简单,类似问题 1,得到:

无重复数字的三位数个数为 5 ? 4 ? 3 ? 60 . 问 3:在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同 的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这 样总共可以表示出多少种不同的信号? 学生在解决该问题的过程中,更加体会到利用分步计数原理的优越性,得到: 不同方法数为 3×2×1=6.这里,学生的动手操作,为下个阶段的反思提炼奠定了基础.

二、过程阶段:
问 4:上述 3 个问题,具体的研究对象和任务都是不同的.从问题类型上看,它们有没 有共同之处? 学生反思 3 个问题的类型,将“3 人中选 2 人”“5 个数中选 3 个”“3 旗全选”抽象 、 、 概括为“从 n 个不同元素中取出 m ( m ? n )个” ,将“分别担任两个职务”“组成三位数” 、 、 “排成一队” 抽象概括为“选出的元素要排顺序”.所以,共同之处是“先取(元素)后排 (顺序) ”. 问 5:从问题的解决方法上看,它们有没有共同之处? 学生不难得出,虽然树形图、枚举法都是可行的,但从简便的角度看,利用分步计数原 理更为合理,更具有一般性.至此, “排列”概念的本质属性得以凸显,推导排列数公式的思 想方法得以生根.

三、对象阶段:
问 6:这种“先取后排”的问题就是今天要学习的问题:排列.你能叙述排列的定义吗? 学生尝试给排列下定义,教师适时纠正、补充,板书定义.
排列:一般地说,从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个元素,按着一定的顺序排成

一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 问 7:排列的主要特征有哪些?两个排列相同的条件是什么? 进一步引导学生巩固概念,抓住概念中的关键词. 得出:排列的主要特征是元素的互异性与有序性;两个排列相同的条件是:元素相同, 元素的顺序也相同.

问 8:从 n 个不同元素中取出 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数,记作 A nm ,排列与排列数是“个体”与“数量”的关系.那 么,排列数 A nm 的计算公式是什么呢? 教师引导学生回顾前面三个实例中的求解方法与步骤, 紧扣分步计数原理, 由简单到复 杂,由特殊到一般,层层推进,得出公式.进而分析公式的结构特征,明确公式的作用(即: 对于排列问题,可直接利用公式求出排列的个数).至此,学生对排列的概念有了初步的认 识(明确了定义,会将排列数用符号表示,并推导出计算排列数的公式).

四、图式阶段
问 9:判断下列问题是否为排列问题?若是,求出排列数. (1)从 1 , 2 , 3 , 5 中任取两个不同数相乘,可得到多少个不同的结果? (2)从 1 , 2 , 3 , 5 中任取两个不同数相除,可得到多少个不同的结果? (3)从甲地到乙地共有 12 个车站,共需准备多少种车票? (4) 4 封信投入 5 个信封,有多少种不同的投法? (5) 4 封信投入 5 个信封,每个信封至多投一封,有多少种不同的投法? 师生共同讨论,能将排列问题与其它问题区分开来,深化对排列概念的理解. 问 10:为了简便,以后我们将 n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1 称为 n 的阶乘,记作 n ! .如何将 排列数 A nm 用阶乘表示? 教师引导学生利用配凑因子,将排列数公式化为阶乘的形式,并让学生思考 0! ? 1 的必 要性与合理性. 问 11:利用排列概念解题与利用分步计数原理解题,二者之间有何联系与区别? 此处旨在加强排列概念与已学知识的联系性, 让学生明确: 任何一个排列问题都可以纳 入到分步计数问题中去, 它是分步计数问题的特殊情况, 但分步计数问题不一定是排列问题. 当一个分步计数问题特殊为一个排列问题时,就可以整体考虑,利用排列数公式简化计算. 至此,学生的认知结构得到了充实与优化,形成了一个大的、新的图式,如下


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