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高一数学下学期半期考试试题理

教育类考试资料

高一理科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

1.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? a7 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S 9 等于 A.4 B.8 C.72 D.36

2.设 M ? 2a(a ? 2) ? 4, N ? (a ? 1)(a ? 3) ,则 M , N 的大小关系为 A. M ? N B. M ? N C. M ? N D.不能确定

3.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c B. (a ? b)c ? 0
2

C. ac ? bc

c2 ?0 D. a ?b

? y?x ? 4.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ? 3 B.

1 2

C. 6

D. 5

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 A.

S3 S2 ? ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差是 3 2
D.3

1 2

B.1

C.2

6.等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0 , a4 ? a7 ? 0 ,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn 中最大的项为 A. S4 B. S5 C. S6 D. S7

7.某工程中要将一长为 100 m ,倾斜角为 75°的斜坡,改造成倾 斜角为 30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长 A. 100 2m C. 50( 2 ? 6 )m 8 . 在 ?ABC B. 100 3m D. 200 m 中 , 已 知 a, b, c 分 别 是 角

A, B, C 的 对 边 , 且

2a c oB ? s c, CA ? CB ? CA ? CB ,则 ?ABC 为
A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.直角或等腰三

1

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角形 9.设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn .且满足

an ? 1 ? ?1 ,则 Sn 的取值范围是 Sn ?1 ? ?2 ?
D. ? ,?? ?

A. (??,1)

B. ?0,???

C. ? ,1?

?1 ?2

? ?

10.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边.且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面积

S ? 3 c .则 ab 的最小值为
A. 28 B. 36 C. 48 D. 56

11.在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长 求三角形的面积. 若三角形的三边长分别为 a, b, c , 则其面积 S ? 这里 p ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,

a?b?c .已知在 ?ABC 中, BC ? 6, AB ? 2 AC ,则当 ?ABC 的面积最大时, 2

AB 边上的中线长为
A. 2 3 B. 2 2 C. 2 5 D. 2 7

12. 已知正项数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn . 若数列 ?an ?和

且公差相等. 则 ? S ?都是等差数列,
n

S3 =
A.

9 4

B.

5 4

C.

3 4

D.

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ? n ?10n ? 2 则 a7 =_______.
2

14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,则

ac =_______. a ? c2 ? b2
2

n 15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? ( ) (n ? 2) , Sn ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ?

1 2

? an ? 2n ,类
2

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比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 3S18 ? a18 ? 219 =_______.

16.已知关于 x 的不等式 loga x ? ln 2 x ? 4 (a ? 0且a ? 1) 对任意的 x ? (1,10) 恒成立,则 实数 a 的取值范围是_______.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 AB 的长;

3 . 4

(Ⅱ)求 sin A 的值.

18. (本小题满分 12 分) 各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 8 ,且 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ? bn ? 满足 bn ?

3 1 ,求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? . 4 n log2 a n

19. (本小题满分 12 分)

?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,向量 m ? (1, 3), n ? (sin 2C, cos(A ? B)) ,

3

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且m?n ? 0. (Ⅰ)若 a ? 4 , c ? 13 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 A ?

?
3

, cos B ? cos C , 求 AB ? BC ? 2 BC ? CA ? 3CA ? AB 的值.

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx . (Ⅰ)若 1 ? f (?1) ? 2, 2 ? f (1) ? 4, 求 f (?2) 的取值范围; (Ⅱ)当 b ? 1 时,解关于 x 的不等式

f ( x) ?0. x?a

21. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ?满足: a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn .

n ?1 n ?1 an ? n . n 2

22. (本题满分 12 分) 已 知 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f ( x) , 存 在 实 数 a , 使 得 对 于 任 意 实 数 m , n , 总 有

f (am ? an) ? f (m) ? f (n) ? f (a) 恒成立.
(Ⅰ)求 a 的值;
4

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(Ⅱ) 已知 f (a) ? 1 , 若不等式 35(

1 1 1 ? ?? ? ) ? 10 ? 4 log1 ( x ? 1) ? f (n ? 1) f (n ? 2) f (2n) 4

log2 (9 x 2 ?17) 对任意 n ? 2(n ? N ? ) 都成立,求实数 x 的取值范围.

5

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重庆市第十八中学 2017-2018 下理科数学参考答案 一、选择题 DABDC BABCC 二、填空题 13、3 三、解答题 17、(Ⅰ)由余弦定理得 AB ? c ? a ? b ? 2ab cosC ? 2 ,则 AB ? 2 ;
2 2 2 2

BA

14、1

15、19

? 1 ? 16、 ?0,1? ? ? e 4 ,?? ? ? ? ? ?

(Ⅱ) (2)由 sin C ? 1 ? cos C ?
2

7 a sin C 14 ,由正弦定理 sin A ? 。 ? 4 c 8

18、 (Ⅰ)由 2a3 ? 2a1 ? 3a2 得 q ? 2 ,?an ? a1 ? 2n?1 ? 2n?2 ; (Ⅱ) bn ?

1 1 1 ( ? ) 2 n n?2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 )= ? 2 3 2 4 n n?2 4 n ?1 n ? 2 4

19、 (Ⅰ)由 m ? n ? 0 得 sin 2C ? 3 cos(A ? B) ? 0且A ? B ? C ? ? 有 2 sin C cosC ? 3 cosC ? 0所以, cosC ? 0或 sin C ?

3 2

由 a ? 4, c ? 13, 有c ? a, 所以只能sin C ?
2 2 2 2

3 ? , 则C ? , 2 3

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab ? cosC有b ? 4b ? 3 ? 0, 解得b ? 1或b ? 3 当 b ? 3时, S ?

1 ab ? sin C ? 3 3 2

当b ? 1时, S ?

1 ab ? sin C ? 3. …7 分 2

(Ⅱ)由 cos B ? cos C , 有C ? B又A ? 则C ?

?
3

, 所以应取 cos C ? 0,

?
2

,B ?

?
6



由 a ? 3b, 得AB ? BC ? 2BC ? CA ? 3CA ? AB ? AB ? BC ? 3CA ? AB

? ac ? cos

5? 2? 3 3 ? 3bc ? cos ?? ac ? bc ? 0 6 3 2 2

1 ? a ? ? f (1) ? f (?1)? ? f ( 1 ) ? a ? b ? ? 2 ?? 20、(Ⅰ) ? , ? f (?1) ? a ? b ?b ? 1 ? f (1) ? f (?1)? ? 2 ?
6

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? f (?2) ? 4a ? 2b ? 3 f (?1) ? f (1) ,且 1 ? f (?1) ? 2, 2 ? f (1) ? 4, ? 5 ? f (?2) ? 10
(Ⅱ)当 a ? 0 时,不等式的解集为 ?? ?,0? ? ?0,??? 当 a ? 0 时,不等式的解集为 ? ?

? 1 ? ,0 ? ? ?a,??? ? a ? ? ? 1? ? a?

当 a ? 0 时,不等式的解集为 ?? ?, a ? ? ? 0,?

21、(Ⅰ)由已知

an ?1 an a a a a a 1 a a a ? ? n ,则 n ? 1 ? ( 2 ? 1 ) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n ?1 ) n ?1 n 2 n 1 2 1 3 2 n n ?1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2(1 ? n ) 2 2 2 2
n ?1

?1? ? an ? 2n ? n ? ? ? ? 2?

(Ⅱ) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? n2 ? n ? 4 ? n?2 2 n ?1

1 2 3 n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ) 0 2 2 2 2

22、(Ⅰ)令 m ? n ? 0 ,则 f (a) ? ? f (0) 令 m ? 1, n ? 0 ,则 f (1) ? ? f (0)

? f (1) ? f (1) ,又 f ( x) 是单调函数,? a ? 1
(Ⅱ)由已知 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ,? f (n) ? 2n ? 1 令 F ( n) ?

1 1 1 ? ?? ? ,则 f (n ? 1) f (n ? 2) f ( 2n)

1 1 1 ? ? ? 0, 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 12 ? F (n) ? F (2) ? 35 F (n ? 1) ? F (n) ?

? 2 ? 9 x ? 17 ? 0 17 ? 2 ?2 ? log2 (9x ?17) ? 2 log2 ( x ? 1) ? ? x ? 1 ? 0 ? ? x?3 2 3 9 x ? 17 ? ? ( x ? 1) 2 ? 4 ?
7


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