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高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件7北师大版选修22_图文

1

复习巩固

曲边 梯形面积 变速 物体走过的路程

变力 做功

思路:

先求近似值

再提高精确度

步骤:

分割---近似代替----求和

----取极限

一.定积分的定义
一般地,给定在区间[a, b]的函数y = f (x),将区 间[a, b]分成 n 份,分点为:

y

y?f (x)

个小区间上取一点 ? i ,使 f (?i ) 在区间 ?xi ?1 , xi ? 上的 值最大,设
S ? f (?1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? ? ? f (? i )?xi ? ? ? f (? n )?xn

第 i 个小区间为 ?xi ?1 , xi ?,设其长度为 ?xi ,在这

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b

O

a

xi1

xi

b x

再取一点 ? i ,使 f (? i ) 在 ?xi ?1 , xi ?的值最小,设
s ? f (? 1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? ? ? f (? i )?xi ? ? ? f (? n )?xn

若每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0 ,S 与

s 的差也趋于 0 ,此时,S 与 s 同时趋于某个固定的常
数 A,则称 A 是函数y = f (x)在区间[a,b]上的定积分, 记作
b c
b

f (x)dx ? f (x= )A dx。 ?a f (x)dx ? ?即 ? f ( x ) dx ? f ( a c ? ?
c a a

b

积分号 x a 积分变量 积分下限 f (x) 被积函数 积分上限

b

二、定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分 ? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a

b

x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f ( x)

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O

b

c

b

f (x)dx。

a

b x

5

例1 说明下列定积分所表示的意义,并根据其 意义求出定积分的值:

(1)

?

1

0

2dx ; ( 2)

?

2

1

xdx ; ( 3)

?

1

?1

1 ? x 2 dx

例1 说明下列定积分所表示的意义,并根据其

意义求出定积分的值:

(1)
解:
1 0

?

1

0

2dx ; ( 2)

?

2

1

xdx ; ( 3)

?

1

?1

1 ? x 2 dx

2dx ? ( 1) 表示
y=2

y 成的图形的面积
2 1

直线 y=2 与 x=0 、x=1 及 x 轴 所围

容易知道,长方形的面积是2,所以 x o
1

? 2dx ? 2
0

1

例1 说明下列定积分所表示的意义,并根据其

意义求出定积分的值:

(1)
解: y

? 2dx ;
0
2 1

1

( 2)

?

2

1

xdx ; ( 3)

?

1

?1

1 ? x dx
2

直线 y=x、x=1、x=2及 x 轴 所围 (2)? xdx 表示由___________________
成的图形的面积,

3 容易知道,梯形的面积是 2 ,所以
x o
1
2

?

2

1

3 xdx ? 2

例1 说明下列定积分所表示的意义,并根据其 意义求出定积分的值:

(1)

?

1

0

2dx ; ( 2)

?

2

1

xdx ; ( 3)

?

1

?1

1 ? x 2 dx

?
y
1

1

?1

2 1 ? x 2 dx 表示由_曲线________________, y ? 1? x

x =-1,x=1及x轴

半径为1的半圆 的面积。 所围成的图形的面积,即_______________
y ? 1 ? x2

y?

1 ? x 2 表示的是单位圆在 x 轴上方的半圆。

?
-1

1

-1

1 ? x dx ?
2

?
2

o

1

x

练习 用图形表示下列定积分: (1)

? x dx
2 0
2

1

ln xdx (2) ?1
(3)

? e dx
x -1

0

三、定积分的基本性质

性质1. 性质2.
b

? 1dx
a

b

=b-a
? k ? f ( x)dx
a
b b a a

? kf ( x)dx
a

b

性质3.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
b

性质4.

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

(定积分关于积分区间具有可加性)
11

思考交流 性质1.

1.利用图像解释定积分性质1和性质4

?

b

a

1dx = b - a

12

思考交流

1.利用图像解释定积分性质1和性质4

性质4.

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

c

b

y

y=f ( x)

ff ( )dx dx ? ? () x )dx ?? f )( x)。 dx。 (x x) dx ?? f (x dx ?? ??af f(x a c
b a a c

b b

cc

b

O

a

c

b

x

13

思考交流 2.利用定积分的定义求 0 以及y=-2,x轴所围成平面图形的面积的关系 y x 1

( - 2)dx ,考虑它与x=0,x=1 ?

1

y=-2
14

练习
用图形表示下列定积分: (1)

? x dx
2 0
2

1

ln xdx (2) ?1
(3)

? e dx
x -1

0

小结
1.定积分的实质:
f (x)dx的 ? ?极限值 f (x)dx。 . ?a f (x)dx ? ?a 和式 c f( x)dx? ? f (x)dx。 ?a f (x)dx ? ? = 曲边梯形的面积 a c f(x) ? 0
b c b b c b

2.定积分的几何意义: 3.定积分的求法:

布置作业:课本P81页
习题4-1A组4、5
16

再 见
17


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