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2014年陕西省中考数学试卷(word)


2014 年陕西省中考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)(2014 年陕西省)4 的算术平方根是( ) A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 16 2 解答: 解:∵ 2 =4,∴ 4 的算术平方根是 2.故选 B. 2. (3 分)(2014 年陕西省)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体,则该几何体的左 视图是( )

C. 解答: 解: 解得 ,

D.

故选:D. 6. (3 分)(2014 年陕西省)某区 10 名学生参加市级汉字听写大赛,他们得分情况如下表: 人数 3 4 2 1 分数 80 85 90 95 那么这 10 名学生所得分数的平均数和众数分别是( ) A. 85 和 82.5 B.85.5 和 85 C. 85 和 85 D. 85.5 和 80
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解答: 解: 这组数据中 85 出现的次数最多, 故众数是 85; 平均数=

(80×3+085×4+90×2+95×1)

A.

B.

C.

D.

=85. 故选 B. 7. (3 分)(2014 年陕西省)如图,AB∥ CD,∠ A=45°,∠ C=28°,则∠ AEC 的大小为(
w w w .x k b 1.c o m



解答: 解:左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条实线, 故选:A. 3. (3 分)(2014 年陕西省)若点 A(﹣2,m)在正比例函数 y=﹣ x 的图象上,则 m 的值是( A. B. ﹣ C. 1 D. ﹣1 ) A. 17° B. 62° C. 63° D. 73°

解答: 解:∵ 点 A(﹣2,m)在正比例函数 y=﹣ x 的图象上,∴ m=﹣ ×(﹣2)=1, 故选:C. 4. (3 分)(2014 年陕西省)小军旅行箱的密码是一个六位数,由于他忘记了密码的末位数字,则小 军能一次打开该旅行箱的概率是( ) A. B. C. D.

解答: 解:∵ AB∥ CD,∴ ∠ ABC=∠ C=28°, ∵ ∠ A=45°, ∴ ∠ AEC=∠ A+∠ ABC=28°+45°=73°, 故选:D. 8. (3 分)(2014 年陕西省)若 x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ ax+a =0 的一个根,则 a 的值 为( ) A.
2 2

解答: 解:∵ 一共有 10 种等可能的结果,小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况,∴ 小军能一 次打开该旅行箱的概率是: 故选 A. 5. (3 分)(2014 年陕西省)把不等式组 的解集表示在数轴上,正确的是( ) .

1或4

B.﹣1 或﹣4
2 2

C. ﹣1 或 4
2

D. 1 或﹣4

解答: 解:∵ x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ ax+a =0 的一个根,∴ 4+5a+a =0, ∴ (a+1) (a+4)=0, 解得 a1=﹣1,a2=﹣4, 故选 B. 9. (3 分)(2014 年陕西省)如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,对角线 AC=6.若过点 A 作 AE⊥ BC , 垂足为 E,则 AE 的长为( )

A.

B.

∵ 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧, ∴ x=﹣ >0,

∴ b<0; ∵ 抛物线过点(﹣2,0) 、 (4,0) , A. 4 B. C. D. 5 ∴ 抛物线对称轴为直线 x=﹣ =1,

解答: 解:连接 BD, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥ BD,AO= AC,BD=2BO, ∴ ∠ AOB=90°, ∵ AC=6, ∴ AO=3, ∴ B0= ∴ DB=8 , ∴ 菱形 ABCD 的面积是 ×AC?DB= ×6×8=24, ∴ BC?AE=24, AE= ,故选:C. =4,

∴ 2a+b=0; ∵ 当 x=﹣3 时,y<0, ∴ 9a﹣3b+c>0, 即 9a+c>3b. 故选 D. 二、填空题(共 2 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. (3 分)(2014 年陕西省)计算: 解答: 解:原式= = =9. = 9 .

故答案为:9. 12. (3 分)(2014 年陕西省)因式分解:m(x﹣y)+n(x﹣y)= (x﹣y) (m+n) . 解答: 解:m(x﹣y)+n(x﹣y)=(x﹣y) (m+n) . 故答案为: (x﹣y) (m+n) . 请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分. 13. (3 分)(2014 年陕西省)一个正五边形的对称轴共有 5 条. 正五边形的对称轴共有 5 条.故答案为:5.

10. (3 分) (2014 年陕西省)二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的图象如图, 则下列结论中正确的是 (

2



A. c>﹣1 B.b>0 解答: 解:∵ 抛物线与 y 轴的交点在点(0,﹣1)的下方. ∴ c<﹣1; ∵ 抛物线开口向上, ∴ a>0,

C. 2a+b≠0

D. 9a+c>3b

14.(2014 年陕西省)用科学计算器计算: +3tan56°≈ 10.02 (结果精确到 0.01) 解答: 解: ≈5.5678,tan56°≈1.4826,则 +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02 故答案是:10.02. 15. (3 分)(2014 年陕西省)如图,在正方形 ABCD 中,AD=1,将△ ABD 绕点 B 顺时针旋转 45°得 到△ A′ BD′ ,此时 A′ D′ 与 CD 交于点 E,则 DE 的长度为 2﹣ .

∴ k=4, ∴ 这个反比例函数的表达式为 y= . 故答案为 y= . 17. (3 分)(2014 年陕西省)如图,⊙ O 的半径是 2,直线 l 与⊙ O 相交于 A、B 两点,M、N 是⊙ O上 的两个动点,且在直线 l 的异侧,若∠ AMB=45°,则四边形 MANB 面积的最大值是 4 . 解答: 解:由题意可得出:∠ BDC=45°,∠ DA′ E=90°, ∴ ∠ DEA′ =45°, ∴ A′ D=A′ E, ∵ 在正方形 ABCD 中,AD=1, ∴ AB=A′ B=1, ∴ BD= , ∴ A′ D= ﹣1, ∴ 在 Rt△ DA′ E 中, DE= =2﹣ .

故答案为:2﹣ . 16. (3 分)(2014 年陕西省)已知 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两点, 若 x2=x1+2,且 = + ,则这个反比例函数的表达式为 y= .

解答: 解:过点 O 作 OC⊥ AB 于 C,交⊙ O 于 D、E 两点,连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB, 如图, ∵ ∠ AMB=45°, ∴ ∠ AOB=2∠ AMB=90°, ∴ △ OAB 为等腰直角三角形, ∴ AB= OA=2 ,w W w .X k b 1.c O m ∵ S 四边形 MANB=S△MAB+S△NAB, ∴ 当 M 点到 AB 的距离最大, △ MAB 的面积最大; 当 N 点到 AB 的距离最大时, △ NAB 的面积最大, 即 M 点运动到 D 点,N 点运动到 E 点, 此时四边形 MANB 面积的最大值=S 四边形 DAEB=S△DAB+S△EAB= AB?CD+ AB?CE= AB(CD+CE) = AB?DE= ×2 故答案为 4 . ×4=4 .

解答: 解:设这个反比例函数的表达式为 y= , ∵ P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两点, ∴ x1?y1=x2?y2=k, ∴ = , = ,

∵ =

+ ,

∴ =

+ , 四、解答题(共 9 小题,计 72 分) 18. (5 分)(2014 年陕西省)先化简,再求值: ﹣ ,其中 x=﹣ .

∴ (x2﹣x1)= , ∵ x2=x1+2, ∴ ×2= ,

解答: 解:原式=



= = ,

当 x=﹣ 时,原式=

= . 根据以上统计图提供的信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图 和扇形统计图; (2)国务院总理李克强在十二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调,建设美好家园,加大 节能减排力度,今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上都要减少 2%,按此指示精神, 求出陕西省 2014 年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约多少万吨?(结果精确到 0.1) 解答: 解: (1)2013 年总排放量为:80.6÷37.6%≈214.4 万吨, C 的排放量为:214.4×24.2%≈51.9 万吨, D 的百分比为 1﹣37.6%﹣35.4%﹣24.2%=2.8%, 排放量为 214.4×2.8%≈6.0 万吨; (2)由题意得, (80.6+51.9)×2%≈2.7 万吨, 答:陕西省 2014 年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约 2.7 万吨.

19. (6 分)(2014 年陕西省)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ ABC=90°,点 D 在边 AB 上,使 DB=BC,过 点 D 作 EF⊥ AC,分别交 AC 于点 E,CB 的延长线于点 F. 求证:AB=BF.

解答: 证明:∵ EF⊥ AC, ∴ ∠ F+∠ C=90°, ∵ ∠ A+∠ C=90°, ∴ ∠ A=∠ F, 在△ FBD 和△ ABC 中, ,

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∴ △ FBD≌ △ ABC(AAS) , ∴ A B=BF. 20. (7 分)(2014 年陕西省)根据《2013 年陕西省国民经济和社会发展统计公报》提供的大气污染 物(A﹣二氧化硫,B﹣氢氧化物,C﹣化学需氧量,D﹣氨氮)排放量的相关数据,我们将这些数 据用条形统计图和扇形统计图统计如下:

21. (8 分)(2014 年陕西省)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大 致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,现在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一 棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸) . ① 小明在 B 点面向树的方向站好, 调整帽檐, 使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处, 如图所示, 这时小亮测的小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米;② 小明站在原地转动 180°后蹲下,并保持原来的 观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变) ,这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处,此时小亮测得 BE=9.6 米,小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2 米. 根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽 BD 是多少米?

解答: 解:由题意得,∠ BAD=∠ BCE, ∵ ∠ A BD=∠ CBE=90°, ∴ △ BAD∽ △ BCE, ∴ = 即 = , ,

② 小英父亲先将袋中球摇匀,让小英从袋中随机摸出一球,父亲记录下其颜色,并将这个球放回袋 中摇匀,然后让小英母亲从袋中随机摸出一球,父亲记录下它的颜色; ③ 若两人所摸出球的颜色相同,则去该球所表示的城市旅游,否则,前面的记录作废,按规则② 重 新摸球,直到两人所摸出求的颜色相同为止. 按照上面的规则,请你解答下列问题: (1)已知小英的理想旅游城市是西安,小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的概率是多少? (2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的 概率是多少? 解答: 解: (1)画树状图得:

解得 BD=13.6 米. 答:河宽 BD 是 13.6 米. 22. (8 分)(2014 年陕西省)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他 了解到这个公司除收取每次 6 元的包装费外,樱桃不超过 1kg 收费 22 元,超过 1kg,则超出部分 按每千克 10 元加收费用.设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为 y(元) ,所寄樱桃为 x(kg) . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知小李给外婆快寄了 2.5kg 樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元? 解答: 解: (1)由题意,得 当 0<x≤1 时, y=22+6=28; 当 x>1 时 y=28+10(x﹣1)=10x+18; ∴ y= ;

∵ 共有 16 种等可能的结果,小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的只有 1 种情况, ∴ 小英和母亲随机各摸球一次,均摸出白球的概率是: ;

(2)由(1)得:共有 16 种等可能的结果,小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的 有 7 种情况, ∴ 小英和母亲随机各摸球一次,至少有一人摸出黄球的概率是: .

24. (8 分)(2014 年陕西省)如图,⊙ O 的半径为 4,B 是⊙ O 外一点,连接 OB,且 OB=6,过点 B 作⊙ O 的切线 BD,切点为 D,延长 BO 交⊙ O 于点 A,过点 A 作切线 BD 的垂线,垂足为 C. (1)求证:AD 平分∠ BAC; (2)求 AC 的长.

(2)当 x=2.5 时, y=10×2.5+18=43. ∴ 这次快寄的费用是 43 元. 23. (8 分)(2014 年陕西省)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游,初步选择了延安、西安、汉中、 安康四个城市,由于时间仓促,他们只能去其中一个城市,到底去哪一个城市三个人意见不统一, 在这种情况下,小英父亲建议,用小英学过的摸球游戏来决定,规则如下: ① 在一个不透明的袋子中装一个红球(延安) 、一个白球(西安) 、一个黄球(汉中)和一个黑球(安 康) ,这四个球除颜色不同外,其余完全相同;

解答: (1)证明:连接 OD, ∵ BD 是⊙ O 的切线, ∴ OD⊥ BD, ∵ AC⊥ BD, ∴ OD∥ AC,

∴ ∠ 2=∠ 3, ∵ OA=OD, ∴ ∠ 1=∠ 3, ∴ ∠ 1=∠ 2, 即 AD 平分∠ BAC; (2)解:∵ OD∥ AC, ∴ △ BOD∽ △ BAC, ∴ ∴ , , .

(3 )由题意,以点 M、N、M′ 、N′ 为顶点的平行四边形的边 MN 的对边只能是 M′ N′ , ∴ MN∥ M′ N′ 且 MN=M′ N′ . ∴ MN?NN′ =16, ∴ NN′ =4. i)当 M、N、M′ 、N′ 为顶点的平行四边形是?MNN′ M′ 时,将抛物线 C 向左或向右平移 4 个单位 可得符合条件的抛物线 C′ ; ii)当 M、N、M′ 、N′ 为顶点的平行四边形是?MNM′ N′ 时,将抛物线 C 先向左或向右平移 4 个单 位,再向下平移 8 个单位,可得符合条件的抛物线 C′ . ∴ 上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线 C′ . 26. (12 分)(2014 年陕西省)问题探究 (1)如图① ,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,如果 BC 边上存在点 P,使△ APD 为等腰三角形, 那么请画出满足条件的一个等腰三角形△ APD,并求出此时 BP 的长; (2)如图② ,在△ ABC 中,∠ ABC=60°,BC=12,AD 是 BC 边上的高,E、F 分别为边 AB、AC 的 中点,当 AD=6 时,BC 边上存在一点 Q,使∠ EQF=90°,求此时 BQ 的长; 问题解决 (3)有一山庄,它的平面图为如图③ 的五边形 ABCDE,山庄保卫人员想在线段 CD 上选一点 M 安 装监控装置,用来监视边 AB,现只要使∠ AMB 大约为 60°,就可以让监控装置的效果达到最佳, 已知∠ A=∠ E=∠ D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段 CD 上是否存在点 M,使∠ AMB=60°?若存在,请求出符合条件的 DM 的长,若不存在,请说明理由.
2

解得:AC=

25. (10 分)(2014 年陕西省)已知抛物线 C:y=﹣x +bx+c 经过 A(﹣3,0)和 B(0,3)两点, 将这条抛物线的顶点记为 M,它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的表达式; (2)求点 M 的坐标; (3)将抛物线 C 平移到 C′ ,抛物线 C′ 的顶点记为 M′ ,它的对称轴与 x 轴的交点记为 N′ .如果 以点 M、N、M′ 、N′ 为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形,那么应将抛物线 C 怎样平移? 为什么?
新 课 标 xk b1. c om

解答: 解: (1)∵ 抛物线 y=﹣x +bx+c 经过 A(﹣3,0)和 B(0,3) 两点, ∴ ,解得
2

2



故此抛物线的解析式为:y=﹣x ﹣2x+3; (2)∵ 由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x ﹣2x+3, ∴ 当 x=﹣ =﹣ =﹣1 时,y=4,xKb 1.C om
2

∴ M(﹣1,4) .

解答: 解: (1)① 作 AD 的垂直平分线交 B C 于点 P,如图① , 则 PA=PD. ∴ △ PAD 是等腰三角形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,∠ B=∠ C=90°. ∵ PA=PD,AB=DC, ∴ Rt△ ABP≌ Rt△ DCP(HL) . ∴ BP=CP. ∵ BC=4,

∴ BP=CP=2. ② 以点 D 为圆心,AD 为半径画弧,交 BC 于点 P′ ,如图① , . 则 DA=DP′ . ∴ △ P′ AD 是 等腰三角形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC,AB=DC,∠ C=90°. ∵ AB=3,BC=4, ∴ DC=3,DP′ =4. ∴ CP′ = = .

∵ ∠ B=60°,∠ EGB=90°,EG=3, ∴ BG= . ∴ BQ=GQ+BG=3+ . ∴ 当∠ EQF=90°时,BQ 的长为 3+



∴ BP′ =4﹣ . ③ 点 A 为圆心,AD 为半径画弧,交 BC 于点 P″ ,如图① , 则 AD=AP″ . ∴ △ P″ AD 是等腰三角形. 同理可得:BP″ = . 综上所述:在等腰三角形△ ADP 中, 若 PA=PD,则 BP=2; 若 DP=DA,则 BP=4﹣ ; 若 AP=AD,则 BP= . (2)∵ E、F 分别为边 AB、AC 的中点, ∴ EF∥ BC,EF= BC. ∵ BC=12, ∴ EF=6. 以 EF 为直径作⊙ O,过点 O 作 OQ⊥ BC,垂足为 Q,连接 EQ、FQ,如图② . ∵ AD⊥ BC,AD=6, ∴ EF 与 BC 之间的距离为 3. ∴ OQ=3 ∴ OQ=OE=3. ∴ ⊙ O 与 BC 相切,切点为 Q. ∵ EF 为⊙ O 的直径, ∴ ∠ EQF=90°. 过点 E 作 EG⊥ BC,垂足为 G,如图② . ∵ EG⊥ BC,OQ⊥ BC, ∴ EG∥ OQ. ∵ EO∥ GQ,EG∥ OQ,∠ EGQ=90°,OE=OQ, ∴ 四边形 OEGQ 是正方形. ∴ GQ=EO=3,EG=OQ=3.

(3)在线段 CD 上存在点 M,使∠ AMB=60°. 理由如下: 以 AB 为边,在 AB 的右侧作等边三角形 ABG, 作 GP⊥ AB,垂足为 P,作 AK⊥ BG,垂足为 K. 设 GP 与 AK 交于点 O,以点 O 为圆心,OA 为半径作⊙ O, 过点 O 作 OH⊥ CD,垂足为 H,如图③ . 则⊙ O 是△ ABG 的外接圆, ∵ △ ABG 是等边三角形,GP⊥ AB, ∴ AP=PB= AB. ∵ AB=270, ∴ AP=135. ∵ ED=285, ∴ OH=285﹣135=150. ∵ △ ABG 是等边三角形,AK⊥ BG, ∴ ∠ BAK=∠ GAK=30°. ∴ OP=AP?tan30° =135× =45 . ∴ OA=2OP=90 . ∴ OH<OA. ∴ ⊙ O 与 CD 相交,设交点为 M,连接 MA、MB,如图③ . ∴ ∠ AMB=∠ AGB=60°,OM=OA=90 . . ∵ OH⊥ CD,OH=150,OM=90 , ∴ HM= = =30 . ∵ AE=400,OP=45 , ∴ DH=400﹣45 . 若点 M 在点 H 的左边,则 DM=DH+HM=400﹣45 ∵ 400﹣45 +30 >340,

+ 30



∴ DM>CD. ∴ 点 M 不在线段 CD 上,应舍去. 若点 M 在点 H 的右边,则 DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 ∵ 400﹣45 ﹣30 <340, ∴ DM<CD. ∴ 点 M 在线段 CD 上. 综上所述:在线段 CD 上存在唯一的点 M,使∠ AMB=60°, 此时 DM 的长为(400﹣45 ﹣30 )米.




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