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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念、方程与性质课件 文_图文

第2讲 圆锥曲线的概念、方程与性质

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年份 2011 考点 2012 Ⅰ 2013 Ⅱ Ⅰ 2014 Ⅱ Ⅰ 2015 Ⅱ

圆锥曲 线的定 义及标 准方程 圆锥曲 线的几 何性质
4、9 4、10

8、 21(1)

20(1)

10

16

15、 20(1)

4

5

4

20(1)

5

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x2 y 2 1.(2014 新课标全国卷Ⅰ,文 4)已知双曲线 2 =1(a>0)的离心率为 a 3

2,则 a 等于( (A)2 (B)
6 2

D )

5 (D)1 2 c 2 2 2 解析:已知 b =3,因为 =2,所以 c=2a,所以 a +3=4a , a

(C)

所以 a2=1,所以 a=1,故选 D.

x2 y 2 2.(2013 新课标全国卷Ⅱ,文 5)设椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右 a b

焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率 为( D (A) )

3 3 1 1 (B) (C) (D) 6 3 3 2 解析:Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c(c 为半焦距),

因为∠PF1F2=30°, 所以|PF2|=
2c 4c ,|PF1|= , 3 3

由椭圆的定义知 2a=|PF1|+|PF2|=

6c c 3 ,所以 e= = .故选 D. a 3 3

3.(2014 新课标全国卷Ⅰ,文 10)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0) 是 C 上一点,|AF|=
5 x0,则 x0 等于( A 4

)

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

解析:作 AM⊥准线 l, 根据抛物线定义|AF|=|AM|, 因为抛物线方程为 y =x,则 2p=1,p= 所以准线 l 方程为 x=所以 x0=1.故选 A.
2

1 , 2

1 5 1 ,则有 x0=x0+ , 4 4 4

4.(2015 新课标全国卷Ⅱ,文 15)已知双曲线过点(4, 3 ),且渐近线方 程为 y=±
1 x,则该双曲线的标准方程为 2

.

1 x2 2 解析:因为双曲线的渐近线方程为 y=± x,故可设双曲线为 -y =λ 2 4
42 (λ>0),又双曲线过点(4, 3 ),所以 -( 3 )2=λ,所以λ=1,故双曲 4 x2 2 线方程为 -y =1. 4

x2 2 答案: -y =1 4

y2 5.(2015 新课标全国卷Ⅰ,文 16)已知 F 是双曲线 C:x - =1 的右焦 8
2

点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6 ).当△APF 周长最小时,该三角形的 面积为 . y2 2 解析:依题意,双曲线 C:x =1 的右焦点为 F(3,0),实半轴长 a=1,左焦 8
点为 M(-3,0),因为 P 在 C 的左支上,所以△APF 的周长 l=|AP|+|PF|+|AF| =|AF|+|AP|+|PM|+2a≥|AF|+|AM|+2a=15+15+2=32,当且仅当 A,P,M 三点
y x 共线且 P 在 A,M 中间时取等号,此时直线 AM 的方程为 + =1,与双曲 ?3 6 6

线的方程联立得 P 的坐标为(-2,2 6 ),此时,△APF 的面积为
1 ?6 6 - ?6?2 6 =12 6 . 2

1 ?6 2

答案:12 6

备考指要
1.怎么考 (1)椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点,常以选择题、填空题 的形式考查,有时也在解答题中出现. (2)双曲线的定义、标准方程及几何性质是命题的热点.题型多为客观题, 着重考查渐近线与离心率问题,难度中等偏下. (3)抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点 .题 型既有小巧灵活选择、填空题,又有综合性较强的解答题. 2.怎么办 (1)求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法,一是待定系数法,其步骤是: ①定位,确定曲线的焦点在哪个坐标轴上; ②设方程,根据焦点的位置设出相应的曲线的方程; ③定值,根据题目条件确定相关的系数.另一种方法是定义法,根据题目的 条件,判断是否满足圆锥曲线的定义,若满足,求出相应的a,b,c,p即可求得 方程.

(2)求解与圆锥曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画 出图形,思考时也要联想到图形.当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的

基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.
(3)求圆锥曲线离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中 的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围.

核心整合
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名 称 定 义 标 准 方 程 图 形
|F1F2|)
x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

椭圆
|PF1|+|PF2|=2a(2a>

双曲线
||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|)
x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

抛物线 |PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M
y2=2px(p>0)

范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a 顶点 (±a,0),(0,±b) (±a,0) 对称性 关于 x 轴,y 轴和原点对称 焦点 轴 几何 性质

x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称
p ( ,0) 2

(±c,0)
长轴长 2a, 短轴长 2b
b2 c e= = 1 ? 2 a a

实轴长 2a, 虚轴长 2b
b2 c e= = 1 ? 2 a a

离心率

e=1
p 2

(0<e<1) 准线

(e>1)
x??

渐近线

b y?? x a

温馨提示

(1)椭圆、双曲线的很多问题有相似之处,在学习中要注

意应用类比的方法,但一定要把握好它们的区别和联系.

(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、
两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条对称轴、两渐近线),“两 形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点 构成的三角形)来研究它们之间的关系. (3)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于 抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难 度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关

问题的重要途径.
(4)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若 过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用

一般弦长公式.

热点精讲
热点一
圆锥曲线的定义与标准方程
x2 y 2 【例 1】 (1)(2015 哈尔滨模拟)椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在 9 2

椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2 的大小为( (A)90° (B)120° (C)135° (D)150°

)

解析:(1)由椭圆的定义得|PF2|=2, 因为|F1F2|=2 9 ? 2 =2 7 ,
42 ? 22 ? (2 7) 2 1 由余弦定理得 cos∠F1PF2= =- , 2? 4? 2 2

得∠F1PF2=120°.故选 B.

x2 y 2 (2)(2015 天津卷)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0), a b

且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为(
x2 y 2 x2 y2 (A) - =1 (B) =1 9 13 13 9 x2 2 (C) -y =1 3 y2 (D)x - =1 3
2

)

解析:(2)由于双曲线右焦点 F(2,0)与圆心重合,且双曲线的渐近线与圆 (x-2) +y =3 相切,故右焦点到渐近线的距离等于圆的半径的长,得 b= 3 , 又 a2+b2=c2,所以 a=1,
y2 所以双曲线的方程为 x =1.故选 D. 3
2 2 2

方法技巧

(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:

比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1||PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,画出合理草图.

3 x2 y2 举一反三 1-1:(1)已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 .双曲 2 a b

线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形 的面积为 16,则椭圆 C 的方程为(
x2 y 2 x2 y2 (A) + =1 (B) + =1 8 2 12 6

)

x2 y 2 x2 y2 (C) + =1 (D) + =1 16 4 20 5

3 c a2 ? b2 解析:(1)椭圆的离心率 e= = = ,所以 a=2b. 2 a a

所以椭圆方程为 x2+4y2=4b2. 因为双曲线 x -y =1 的渐近线方程为 x±y=0, 所以渐近线 x±y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为
2 5 2 5 ( b, b), 5 5
2 2

所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为
2 5 2 5 b? b=4, 5 5

所以 b =5,所以 a =4b =20.
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.故选 D. 20 5 答案: (1)D

2

2

2

(2)(2015兰州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛
物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程 是 .

解析:(2)分别过点 A,B 作准线的垂线 AE,BD, 分别交准线于点 E,D,则|BF|=|BD|, 因为|BC|=2|BF|, 所以|BC|=2|BD|, 所以∠BCD=30°, 又因为|AE|=|AF|=3, 所以|AC|=6, 即点 F 是 AC 的中点, 根据题意得 p=
3 , 2
2

答案:(2)y2=3x

所以抛物线的方程是 y =3x.

热点二

圆锥曲线的几何性质

x2 y 2 【例 2】 (1)(2014 重庆卷)设 F1,F2 分别为双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b

的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双 曲线的离心率为( (A) 2 (B) 15 ) (C)3 (D) 17

解析:(1)根据已知条件,知||PF1|-|PF2||=2a, 所以 4a =b -3ab,
c a 2 ? b2 所以 b=4a,双曲线的离心率 e= = = 17 , 2 a a
2 2

故选 D.

x2 y 2 (2)(2015 辽宁五校模拟)已知椭圆 M: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分 a b
???? ???? ? 别为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且| PF1 |?| PF2 |的最大值的取值范围是

[2c2,3c2],其中 c= a 2 ? b 2 ,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是( (A)[
3 2 2 , ] (B)[ ,1) 3 2 2

)

(C)[
2

解析: (2)因为|PF1||PF2|≤(
2 2 2

PF1 ? PF2

3 ,1) 3

1 1 (D)[ , ) 3 2
2a 2 2 ) =a , 2

)2=(

1 1 a2 所以 2c ≤a ≤3c ,所以 2≤ 2 ≤3,所以 ≤e2≤ , 3 2 c

解得

3 2 ≤e≤ .故选 A. 3 2

方法技巧

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是

确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b 得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用

椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

举一反三21:(1)(2015海淀区模拟)若双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得 四边形ABCD是正方形,则双曲线M的离心率的取值范围是 .

解析:(1)由正方形的对称性可知,其对称中心在原点, 且在第一象限的顶点坐标为(x,x), 所以双曲线的渐近线的斜率 k=
b 离心率 e= 1 ? ( ) 2 > 2 . a
b >1, a

答案:(1)( 2 ,+∞)

x2 y2 2 (2)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0) a b

的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的 面积为 3 ,则 p=
解析:(2)由 e=
c =2,得 c=2a,b= 3 a, a

.

所以双曲线的渐近线为 y=± 3 x. 又抛物线的准线方程为 x=p , 2

联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得 A(在△AOB 中,|AB|= 3 p,O 到 AB 的距离为 所以
1 p ? 3 p? = 3 ,p=2. 2 2

3p 3p p p , ),B(- ,), 2 2 2 2

p ,因为 S△AOB= 3 , 2

答案:(2)2

备选例题
x2 y2 【例 1】 椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其 a b

右焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF=α ,且α ∈[ 范围为( (A)[ (C)[ ) (B)[ (D)[
2 3 , ] 2 2 2 ,1) 2

π π , ],则该椭圆离心率的取值 12 4

2 6 , ] 2 3 6 ,1) 3

解析:设 A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 B(-x0,-y0), 因为 F(c,0),FA⊥FB,所以(x0-c,y0)?(-x0-c,-y0)=0, 2 2 2 2 所以 x0 + y0 =c2,所以 y0 =c2- x0 ,
a 2 (2c 2 ? a 2 ) 代入椭圆方程得 b x +a (c - x )=a b , x = , 2 c
2

2 0

2

2

2 0

2 2

2 0

sin α=

FA AB

=

2 ( x0 ? c) 2 ? y0

2c

=

2c 2 ? 2cx0 2c

,

1 1 a 2 (2c 2 ? a 2 ) π π 所以 sin α= 因为α∈ [ , ], 2 2 2c 12 4 c
2

1 1 a 2 (2c 2 ? a 2 ) 1 2? 3 2 6 所以 ≤ ≤ ,解得 ≤e≤ .故选 A. 2 2c 2 4 c2 2 3

x2 y2 【例 2】 如图所示,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 - 2 =1(a,b>0)的左、右焦 a b

点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

(A)

2 3 3

(B)

6 2

(C) 2

(D) 3

解析:利用双曲线的方程及性质求解. 设双曲线的焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0). 因为 B(0,b),所以 F1B 所在的直线为双曲线渐近线为 y=±
b ? y ? x, ? ? a 由? ?? x ? y ? 1, ? ? c b
b x, a

x y + =1. c b

b ? y ? ? x, ? ac bc ? a 得 Q( , ).由 ? c?a c?a ?? x ? y ? 1, ? ? c b

得 P(-

ac bc , ). a?c a?c

a 2c b 2c 所以 PQ 的中点坐标为( 2 , 2 ). 2 2 c ?a c ?a a 2c c 2 由 a +b =c 得,PQ 的中点坐标可化为( 2 , ). b b
2 2 2

直线 F1B 的斜率为 k=

b , c

c c2 a 2c 所以 PQ 的垂直平分线为 y- =- (x- 2 ). b b b
a 2c 令 y=0,得 x= 2 +c, b a 2c a 2c 所以 M( 2 +c,0),所以|F2M|= 2 . b b a 2c a 2c 由|MF2|=|F1F2|,得 2 = 2 =2c, 2 b c ?a

即 3a =2c ,所以 e =

2

2

2

6 3 ,e= .故选 B. 2 2

x2 y2 【例 3】 若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则该抛 9 5
2

物线方程为

.

x2 y2 解析:椭圆 + =1 的半焦距 c= 9 ? 5 =2, 9 5

所以椭圆的右焦点为(2,0), 抛物线的焦点 F(
p p ,0),所以 =2,所以所求抛物线方程为 y2=8x. 2 2

答案:y2=8x


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