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第一章 空间几何体(2010)_图文

 第一章  空间几何体 

第一章   空间几何体
1 . 1   空间几何体的结构  1 . 1 . 1   柱、 锥、 台、 球的结构特征( 1 )
             所成的封闭几何体— — —旋转体.


1 . 了解空间几何体、 多面体、 旋转体的概念. 2 . 具体直观地了解棱柱、 棱锥、 棱台的有关概念. 3 . 会用语言概述棱柱、 棱锥、 棱台的结构特征.

然后得出多面体、 旋转体的有关概念.    反思小结: 1 ° 什么叫空间几何体?

而不考虑其它 如果我们只考虑物体的   形状和大小  , 4 . 会表示有关于几何体, 会对棱柱、 棱锥、 棱台进行分类. 因素, 那么由这些物体抽象出来的   空间图形   就叫做 空间


一层练习】   【
1 . 在我们生活周围中有不少有特色的建筑物, 你能举出 一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?   分析: 教师引导学生回忆、 举例和相互交流( 也可通过计 算机软件给出大量的有特色的建筑物等) . 教师对学生的活动 及时给予评价.   并指出如果我们只考虑这些物体的形状和大小, 而不考 獉獉獉獉獉 虑其他因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做 空 间几何体. 本节我们主要是从结构特征方面认识几种基本的 空间几何体.   2 . 观察图 1 . 1- 1的图片, 你能根据某种标准对这些空间 几何体进行分类吗?

几何体. 2 ° 什么叫多面体?什么叫旋转体? 一般地, 我们把由若干个   平面多边形   围成的几何几 围成多面体的各个   多边形   叫做多面体的 何叫做多面体. 面; 相邻两个面的 公共边 叫做多面体的 棱; 棱与棱的   公 共点 叫做多面体的顶点. 我们把由一个 平面图形 绕它所在平面内的   一条直 线 旋转所形成的 封闭   几何体叫做 旋转体. 这条   定直 线 叫做旋转体的轴.

二层练习】   【
  3 . 观察如图 1 . 1- 2所示的几何体:
    

  


   

         





 



 



 

图1 . 1- 2

  ( 1 ) 它们有什么共同特点?   ( 2 ) 怎样对它们进行分类?如何进行表示?    分 析: ( 1 ) 所示的三个几何 体, 都满足: ① 有两个面平行; ② 其余各面都是四边形; ③ 并且每 相邻两个四边形的公共边都互相 平行— — —这样的几何体叫棱柱.
侧面


底面


侧棱


顶点

 
底面

其中两个互相平行的面叫做 棱柱的底面, 简称 底; 其余各面叫 做棱柱的侧面; 相邻侧面的公共 点叫做棱柱的 侧棱; 侧面与底面 的公共顶点叫做棱柱的顶点.



图1 . 1- 3

图1 . 1- 1

  分析: 引导学生观察, 寻找共同特征. 根据几何体每个面 的特点, 以及面与面之间的关系, 得出: 一类是由若干个平面多边形围成的几何体— — —多面体; 一类是由一个平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转

( 2 ) 棱柱的分类: 按底面多边形的边数可分为: 三棱柱、 四 棱柱、 五棱柱, …; 按侧棱与底面是否垂直可分为: 直棱柱、 斜 棱柱的表示方法: 以上、 下底面多边形的顶点来表示, 如 棱柱. 三棱柱 A B C- A B C , 四棱柱 A B C D- A B C D 1 1 1 1 1 1 1 等.

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  4 . 观察下列各组几何体:   ( 1 ) 如图 1 . 1- 4的几何体有什么共同特点?仿到棱柱的 研究, 给出相应的概念、 分类及表示.


有两个面 互相平行 , 其余各面都是   四边形  , 并且 每相邻两个面的公共边都   互相平行  , 由这些面围成的几 何体叫做棱柱.




2 ° 棱锥的结构成特征有哪些? ①均由 平面图形 围成; ②其中一个面为   多边形  ; ③其他各面都是 三角形  ; ④ 这些三角形有一个   公共顶







 



   

 







点 . 3 ° 棱台有哪些性质? 棱台具有下列性质: 下底面是 平行且相似 ① 棱台的上、

 



 

图1 . 1- 4

②所有侧棱延长后 相交于一点 .   ( 2 ) 如何描述如图 1 . 1- 5的几何体的特征, 它与图 1 . 1 的多边形; - 4中的几何体有什么关系?
     

      




三层练习】   【
  5 . 判断:
   



 

  

( 1 ) 有两个面互 相 平 行, 其余各 面都是平行四边形的几何体是不是棱 柱, 为什么? ( 2 ) 如图 1 . 1- 8所示的物体是不 是锥体, 为什么?   解: ( 1 ) 不正确. 棱柱有三个本质 特征: ①有两个面互相平行; ② 其余各 面都是平行四边形; ③ 每相邻两个四 边形的公共边都互相平行, 三者缺一 不可. 如图 1 . 1- 9所示的几何体, 有两
顶点

 

 







 



 



图1 . 1- 5

  分析: ( 1 ) 所示的三个几何体, 都满足: ①有一个面是多边 形; — —这样的几 ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形— 何体叫棱锥. 一般地, 有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶 点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥. 其中( 如图 1 . 1- 6 ) , 这个多边形叫 做棱锥的底面或底; 有公共顶点的各个 三角形叫做棱锥的侧面; 各侧面的公共 顶点叫做棱锥的顶点; 相邻侧面的公共 边叫做棱锥的侧棱. 棱锥的分 类: 底 面 是 三 角 形、 四边 形、 五边形 … 的棱锥分别叫做三棱锥、 四棱锥、 五棱锥…, 其中, 三棱锥又叫做 四面体. 如三棱锥 S - A B C , 四棱锥 S - A B C D等. ( 2 ) 所示的三个几何体, 都是 用一个平行棱锥的底面的平面去 截棱锥, 底面和截面之间的部分 组成— — —这样的几何体叫棱台.   一般地, 用一个平面于棱锥 的底面的平面去截棱锥, 底面与 截面之间的部分, 这样的几何体 如图 1 . 1- 7所示, 原 叫做 棱台, 有侧面、 侧棱、 顶点. 棱台的分类: 由三棱锥、 四棱锥、 …, 截得的棱台分别叫做 三棱台、 四棱台、 …. 棱台的表示: 一般以棱台的上、 下底面多边形对应的顶点 来表 示. 如图 1 . 1-7中 的 棱 台 可 表 示 为 棱 台 A B C D- A B C D . 1 1 1 1    反思小结: 1 ° 怎样判断一个几何体为棱柱?
图1 . 1- 7

侧面 侧棱

 
图1 . 1- 8





个面互相平行, 其余各面都是平行四边 形, 但这个几何体不是棱柱, 而是两个 棱柱的组合体, 原因是它不满足第③ 个 特征.

 
底面



( 2 ) 不 正 确. 因为棱锥定义中要   6 . 下列三个命题:

图1 . 1- 9

求: 各侧面有两个公共点, 故该物体不是锥体.
图1 . 1- 6

棱锥底面和截面之间的部分是 ① 用一个平面去截棱锥, 其余各面都是梯形的多面体是 ② 两个底面平行且相似,

棱锥的表示: 用表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥. 棱台;




棱台;

 

 



其余各面都是等腰梯形的六面体 ③ 有两个面互相平行, 是棱台. 其中正确命题的个数是 A . 0个 C . 2个 错. 如图 1 . 1- 1 0 ( 2 ) . ②③可用反例图去检验, B . 1个 D . 3个 (A)



 





  解: 如图 1 . 1- 1 0 , 故① ① 中的平面不一定平行于底面,

棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面 和 上底面, 棱台也

      
故选 A .

 

   
  
图1 . 1- 1 0

  







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 第一章  空间几何体 
   反思小结: 判断几何体的类型, 要注意: 紧扣定义; ①抓住特征, ②要 学会观察、 分析, 善于利用反例; ③ 记住一些特殊的物体或图 形的特征; ④空间想象能力 ? 一、 选择题 1 . 面数最少的多面体的面数是 ( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分       . 如图 1 . 1- 1 1所示的几何体中是棱柱的有 1 A . 3 C . 5 (B) 2 . 下列命题正确的是 B . 4 D . 6 (C) (B) 基础训练





A . 有两个面平行, 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B . 有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱 柱 C . 有两个面平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D . 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几
图1 . 1- 1 1

何体叫棱台 3 . 一个棱锥的各条侧棱都相等, 那么这个棱锥一定不是 (D) A . 三棱锥 C . 五棱锥 B . 四棱锥 D . 六棱锥

A . 1个 C . 3个

B . 2个 D . 4个

  解: 图中的几何体从左至右从上至下依次为三棱柱、 三棱 锥、 圆柱、 四棱台、 五棱柱, 故选 B . 2 . 棱台不具有的性质是 A . 两底面相似 B . 侧面都是梯形 C . 侧棱都相等 D . 侧棱延长后相交于一点 3 . 如图 1 . 1- 1 2 , 正方形 A B C D中, E 、 F  分别 是 B C 、 C D 的 中 点, 沿A E 、 A F 、 E F将其折成一个多面体, 则此多面 体是 三棱锥 .
图1 . 1- 1 2

4 . 某棱台上、 下底面对应边之比为 1 ∶2 , 则上下底面面积之比

(C) 





是 A . 1 ∶2 C . 2 ∶1 B . 1 ∶4 D . 4 ∶1

(B)



∵棱台上面底面相似, ∴ 棱台上、 下底面面积之比为   解: 对应边的平方比, 故选 B .



二、 填空题 5 . 一个棱柱至少有 5   个面, 面数最小的棱柱有  6   个顶  条棱. 点, 有 9 6 . 三棱柱 A B C- A B C 试写出这 1 1 1 可以看成三个三棱锥组成, 样一组三棱锥:  棱锥 B A B C , 棱锥 A A B C , 棱锥 C 1- 1- 1 1- A B C  . ( 只要写出一组即可) 1 1 三、 解答题 7 . 如图 1 . 1- 1 3 , 长方体 A B C D-A B C D 1 1 1 1 中被截去一部分, 其中 E H D , 则剩下的几何体是什么?截去的几何体是 ∥A 1 1 什么?你能说出它们的名称吗?


1 . 简单几何体是我们研究立体几何的载体, 很多立体几 何的问题都是在简单几何体中建立和提出来的, 因此, 要熟悉 简单几何体的有关概念, 认清有关几何体使用的前提, 从这些 几何体中培养空间想象能力. 2 . 根据几何体的结构特征判断几何体的类型, 首先要熟 练掌握各类几何体的概念, 把握好各类几何体的性质. 其次要 有一定的空间想象能力. 3 . 判断一个几何体是否为台体, 第一看它的各侧棱延长 后是否相交于一点, 第二看截面是否与底面平行. 只有各侧棱 延长后交于一点, 且截面平行于底面的几何体才是台体, 否则 就不是. 由于台体与锥体的联系, 有关台体问题常常转化为锥 体的问题来解决. 4 . 三棱锥又叫四面体, 是最简单的空间几何体之一. 它有 四个面, 每个面都是三角形, 因此, 每个面都可以作为底面, 每 个三角形的顶点都可以作为三棱锥的顶点, 所以三棱锥共有 四种可能的表示方法. 熟练把握三棱锥的特征, 是学习立体几 何的重要准备.





 

 

 



 


1 . 1- 1 3

  答: 剩下的几何体为五棱柱 A B F E A D C G H D , 截去的几 1- 1 F B H G C . 何体为三棱柱 E 1- 1 8 . 根据如图 1 . 1- 1 4所给的平面图形, 试折一折能形成什么 空间图形, 并画出相应的立体图.

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∶2两部分, 求截面三角形的面积 ? 面将侧棱分成 1


            

    

  

 

   

 







 



 
图1 . 1- 1 4





  


图1 . 1- 1 6

  


图1 . 1- 1 7

  解: ( 1 ) 是四棱锥; ( 2 ) 是正方体. 其图形如图 1 . 1- 1 5所示:
    
图1 . 1- 1 5

  解: 如图 1 . 1- 1 7 , 延长 A A ′ 、 B B ′ 、 C C ′ , 它们相交于点 S ? 设截面为 A ″ B ″ C ″ ?由题意知 A ′ A ″ ∶A ″ A= 1 ∶2 ?
 



根据棱锥的截面性质得 ∴S A= 2 S A ′ = 2 A A ′ ?

S A ′A ′ B ′ 3 1 = = = , S A A B 6 2

  

  



1 ∴由 A ′ A ″ ∶A ″ A= 1 ∶2 ?得 A ′ A ″ = A ′ A , 3 ∴S A ′ ∶S A ″ = 3 ∶4 ? ∴ A ′ B ′ 3 4 = , 即A ″ B ″ = A ′ B ′ = 4 ( c m ) , A ″ B ″ 4 3

拓展提升 . 1- 1 6 , 三棱台 A B C-A ′ B ′ C ′ 的上、 下底面多边形都 ?如图 1 是等边三角形, 边长分别为 3c m和 6c m , 平行于底面的截

3 3 2 2 槡 2 槡 ∴S ( A ″ B ″ ) = × 4= 4 3 ( c m ) ? ″ B ″ C ″= 槡 △A 4 4
2 因此, 截面三角形的面积为 4 3 c m ? 槡

 1 . 1 . 1   柱、 锥、 台、 球的结构特征( 2 ) 1 . 1 . 2   简单的组合体
              2 . 如图 1 . 1- 1 8的下面几何体中, 它们的共同特点是什


1 . 进一步了解柱、 锥、 台、 球的结构特征, 并能熟练运用底 面、 高、 侧棱、 顶点、 侧面、 母线、 轴等术语. 2 . 了解柱、 锥、 台、 球构成的简单组合体, 能说出简单组合 体的结构特征.

么?各自特点是什么?

    
   
 

 


一层练习】   【
1 . 回顾棱柱、 棱锥、 棱台等概念, 并填写下面各空: ( 1 ) 有两个面  互相平行  , 其余各面都是   四边形  , 并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行  , 这些面围 成的几何体叫做棱柱. ( 2 ) 有一个面是 多边形 , 其余各面都是 有一个公共顶 点的三角形 , 这此面围成的几何体叫做棱锥. ( 3 ) 用一个 平行于棱锥的底面 的平面去截棱锥,   底面 和截面之间 的部分是棱台.    



  
   
 

    
 



     
图1 . 1- 1 8



  解: 所示的四个几何体, 共同特点都是由一个平面图形绕

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 第一章  空间几何体 
平面内的一条直线旋转所形成的几何体. 其中 ( 1 ) 是由以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三条边旋 转形成的面所围成的几何体, 这样的几何体叫做圆柱. ( 2 ) 是直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余 两边旋转形成的面所围成的几何体, 这样的几何体叫做圆锥. ( 3 ) 可以看作是由一个平行于圆锥底面的平面截得, 也可 看成是一个直角梯形绕垂直于底面的腰所在的直线旋转得 到. 这样的几何体叫做圆台. ( 4 ) 以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形 成的几何体, 这样的几何体叫做球.   下面再引出轴、 母线、 底面、 侧面等概念 ?   反思小结: 1 ° 圆柱的截面有怎样特征? 圆柱中平行于底面的截面都是 圆 ; 过轴的截面( 轴截 面) 是 全等的矩形 . 2 ° 圆锥的截面有何特点? 在圆锥中, 平面于底面的截面都是  圆  ; 过轴的截面是  全等的等腰三角形 . 3 ° 圆台有怎样的性质? 圆台具有下列性质: ( 1 ) 平行于底面的截面都是 圆 ; ( 2 ) 过轴的截面是 全等的等腰梯形 ; ( 3 ) 圆台的母线长都 相等 , 每条母线延长后都与轴交 于 同一点 .   4 ° 什么叫做球?球有什么特征? 以半圆的直径所在的直线为   旋转轴  , 半圆面旋转   一周 形成的旋转体叫做球体 ?球面上任一点到   球心   的 距离为定值 ?
图1 . 1- 2 0









  分析: 认真观察, 紧扣各基本几何体的结构特征来作答.   解: ( 1 ) 该组合体是由一个半球和一个圆柱组成的; ( 2 ) 该组合体是由一个四棱锥和一个长方体组合而成的.   ( 3 ) 是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体. ( 4 ) 是一个圆锥与一个四棱柱的组合体.   反思小结: 1 ° 什么是简单组合体? ( 1 ) 现实世界中, 除了柱、 锥、 台、 球等基本几何体之外, 还 有大量的几何体是由柱、 锥、 台、 球等基本几何体   组合   而 成, 这样的几何体叫做简单组合体. ( 2 ) 对于给定的几何体, 我们可以借助柱、 锥、 台、 球等几 何体的结构特征, 将几何体 分解 成基本几何体. 2 ° 简单组合体有哪几类? 大致可分为三类: ( 1 ) 多面体与多面体的组合体; ( 2 ) 多面体与旋转体的组合体; ( 3 ) 旋转体与旋转体的组合体.

二层练习】   【
3 . 如图 1 . 1- 1 9中, 图( 1 ) 是由哪个平面图形旋转得到的 (C)

三层练习】   【
5 . 从一个底面半径和高都是 R的圆柱中, 挖去一个以圆 柱上底面为底, 下底面中心为顶点的圆锥, 得到如图 1 . 1- 2 1
图  




图1 . 1- 1 9





所示的几何体. 如果用一个与圆柱下底面等于 l 并且平行于 底面的平面去截它, 求所得截面的面积.

  解: 图( 1 ) 表示是几何体是一个组合体, 是由一个圆台和 一个圆锥组成的, 平面图形应为一个直角三角形和一个直角 梯形构成的. 可排除 A 、 D , 再由图形知台体上大、 下小可排除 B , 故选 C .   4 . 观察图 1 . 1- 2 0中几何体, 试说出它们分别由哪些几 何体组合而成?

 


图1 . 1- 2 1

  分析: 圆柱中挖去圆锥后的几何体被平行于底面的平面 所截得的截面是一个圆环面, 它是由圆柱被截得的圆面去掉 一个圆锥截得的同心圆面而得, 作出轴截面图求解.

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  解: 轴截面如图 1 . 1- 2 2 .

      
图1 . 1- 2 2


 
1 . 圆柱、 圆锥、 圆台和球统称为旋转体, 它们分别是矩形、 直角三角形、 直角梯形、 半圆绕着一边、 一直角边、 垂直于底边 的腰、 直径所在的直线旋转得到的. 2 . 对于不规则的平面图形绕轴旋转的问题, 要对原平面 图形作适当的分割, 使其出现矩形、 直角三角形、 直角梯形或 半圆, 然后再根据圆柱、 圆锥、 圆台、 球的结构特征进行判断. 3 . 经过轴的截面叫做轴截面. 圆柱、 圆锥、 圆台、 球的轴截 面分别是矩形、 等腰三角形、 等腰梯形、 圆, 这些轴截面中集中 反映了旋转体的各主要元素, 因此, 处理旋转体的有关问题 时, 一般要作出轴截面. 4 . 简单组合体的结构特征是柱、 锥、 台、 球的结构特征的 继续和延伸, 现实世界中的大多数几何体是由柱、 锥、 台、 球组 合而成的, 但并不是全部, 因此, 任何一个几何体都可以分解 成柱、 锥、 台、 球的说法是错误的.

  被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆半径 O C= 1 R , 圆锥的截面圆的半径 O D设为 x . 1 ∵O A= A B= R , ∴△O A B是等腰直角三角形. 又C D A , 则C D= B C . ∥O 故x = l ,
2 2 2 2 ∴截面面积 S = R - l = ( R - l ) . π π π

  反思小结:   处理与旋转体有关有组合体问题, 其一要分清该组合体 是由哪些基本旋转体构成的; 其二是一般要过轴作出其轴截 面, 在轴截面中寻找各元素的关系.


基础训练 一、 选择题 1 . 一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转 1 8 0 ° 所得几何体是 (B) ( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分       A . 圆柱 C . 圆锥 B . 圆台 D . 以上都不对



. 下列命题中不正确的是 1

. 下列命题: (B) 2 ①以直角三角形的一边为旋转轴旋转一周所得的旋转体是 A . 用平行于圆锥的底面的平面截圆锥, 截面和底面之间的 圆锥; 部分是圆台 B . 以直角梯形的一腰为旋转轴, 另一腰为母线的旋转面是 圆台的侧面 C . 圆柱、 圆锥、 圆台的底面都是圆面 D . 圆台的母线延长后与轴交于同一点 ②以直角梯形的一腰为轴旋轴旋转一周所得的旋转体是圆 台; 圆锥、 圆台的底面都是圆; ③圆柱、 得到一个圆锥和一个圆台. ④一个平面截圆锥, 其中, 正确命题的个数为 A . 0 C . 2   解: 只有③正确, 故选 B . 3 . 在R t B C中, 9 0 ° , a = 3 , b = 4 , 则以斜边 c 所在直线 △A ∠C= 为轴可得旋转体, 当用一个平面垂直于斜边截这个几何体 B . 1 D . 3 (B)

2 . 说出下列几何体的主要结构特征:





时, 所得截面圆的直径的最大值是 1 2 A . 5 C . 5 2 4 B . 5 D . 1 0

(B)

  解: 截面圆的最大半径为 R t B C斜边上的高 △A B .

1 2 , 故选 5


图1 . 1- 2 3



4 . 以正方体各面中心为顶点的多面体结构特征, 下列说法不 正确的是 A . 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B . 该几何体有 1 2条棱, 6个顶点 C . 该几何体有 8个面, 并且各面均为正三角形 D . 该几何体有 9个面, 其中一个为四边形, 另外 8个为三角 形 (D)

  解: ( 1 ) 由一个三棱柱和一个三棱台组合而成. ( 2 ) 由一个圆台和一个圆锥组合而成. ( 3 ) 由一个圆台和一个圆柱及一个圆锥组合而成. ( 4 ) 由一个球和三棱锥组合而成.

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 第一章  空间几何体 
  解: 其中的一个四边形不是多面体的表面, 故选 D . 二、 填空题 5 . 圆柱、 圆锥、 圆台、 球的轴截面分别是   矩形、 等腰三角形、   ( 2 ) 如图 1 . 1- 2 6 , 如直角梯形 A B C D的顶点 D作 D O ⊥ 等腰梯形、 圆 . 6 . 如图 1 . 1- 2 4所示是由等腰梯形、 矩形、 半圆、 圆、 等腰三角 旋转 1 8 0 ° 后 形对接形成的轴对称平面图形, 若将它绕轴 l 形成一个组合体, 则该组合体可分割成   圆台  、   圆柱  、  半球 、  球 、  圆锥 五个部分.


A B于点 O , 将直角梯形补成一个矩形 O B C D , 同时多出一个直 角三角形 A O D , 绕A B旋转一周形成一个组合体, 该组合体为 一个圆柱, 挖去一个底面与圆柱的上底面重合的小圆锥.

   







 

图1 . 1- 2 6 图1 . 1- 2 4

拓展提升 棱长都相等, 问它们的一个侧 ?有一个三棱锥和一个四棱锥, 面重叠后, 还有几个暴露面.   解: 如图 1 . 1- 2 7 ( 1 ) , 三棱锥 S-A ′ B ′ C ′ 有四个暴露面; . 1- 2 7 ( 2 ) , 四棱锥 V-A B C D有五个暴露面, 且它们的 如图 1 侧面是完全相同的三角形.

三、 解答题 7 . R t B C中, A B= 3 , B C= 4 , A C= 5 . 分别以 A B 、 B C 、 A C所在 △A 直线为轴旋转一周, 分析所形成的几何体的结构特征.   解: 以A B边所在直线为轴旋转一周所得的几何体为圆 锥, 底面圆的半径为 4 , 母线长为 5 ; 以B C边所在直线为轴旋转一周所得的几何体也为圆锥, 底面圆的半径为 3 , 母线长为 5 ; C边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是由两个 以A 同底的圆锥构成的几何体, 同底的底面圆的半径为 分别为 3和 4 . 8 . 根据下列对几何体结构特征的描述, 说出几何体的名称: ( 1 ) 一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成 的曲面围成的几何体; ( 2 ) 一个直角梯形绕较短的底边所在的直线旋转一周形成 的曲面所围成的几何体.   分析: 判断一个几何体的类型, 须熟练掌握基本几何体的 结构特征. ( 1 ) 如图 1 . 1- 2 5 , 由直角梯形 A B C D的顶点 A作 A O ⊥ C D于点 O , 将直角梯形分为一个直角三角形 A O D和 矩 形 A O C B , 绕C D旋转一周形成一个组合体, 该组合体由一个圆锥 和一个圆柱组成. 1 2 , 母线长 5









    



   

     



图1 . 1- 2 7

如图 1 . 1- 2 9 ( 3 ) , 当三棱锥 S-A ′ B ′ C ′ 的侧面 A ′ B ′ C ′ 与 四棱锥 V- A B C D的侧面 A V D完全重合后, 四点 S 、 A 、 B 、 V共 、 D 、 C 、 V也共面, 新几何体共有 5个面. 面, 同样四点 S

    









图1 . 1- 2 5

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 人教版·高中数学 A版必修②教案

1 . 2   空间几何的三视图和直观图 1 . 2 . 1   中心投影与平行投影 1 . 2 . 2   空间几何的三视图
              A . 1个 B . 2个 D . 4个


1 . 掌握投影的有关概念. 2 . 掌握画三视图的基本技能, 会画柱、 锥、 台、 球及简单组 合体的三视图. 3 . 能识别上述的三视图所表示的立体模型, 会用材料制 作模型.

C . 3个   反思小结: 1 ° 什么叫中心投影?

我们把光由   一点   向外散射形成的   投影  , 叫做 中 中心投影的投影线 交于一点 . 心投影. 2 ° 怎样叫平行投影? 我们把在一束   平行   光线照射下形成的   投影  , 叫 做平行投影. 平行投影的投影线是 平行 的. 按投影方向与投影面的相对位置关系的不同, 平行投影 又分为正投影和斜投影两种. 投影方向   垂直于   投影面的 否则叫做 斜投影 . 叫做正投影, 3 ° 如果一个平面图形所在的平面与投影面平行, 那么中 心投影后的图形与原图形有什么关系?平行投影后得到的图 形与原图形有什么关系? 由中心投影的定义知, 中心投影后的图形与原图形   相 似 . 由平行投影的定义知, 平行投影后的图形与原图形   全
       


一层练习】   【
( 阅读课本第 1 1页至 1 2页, 解答下列问题) 1 . 如图 1 . 2- 1所示, 根据下列条件分别画出水平放置的 正三角形 A B C在地面上的投影. ( 1 ) 光源 S 在正三角形的正上方; ( 2 ) 平行光线与地面垂直; 3 ) 平行光线与地面不垂直. (
         

等 .

二层练习】   【
  3 . 阅读课本第 1 2页后, 试画出如图 1 . 2- 3所示的长方 体、 球、 圆柱、 圆锥的三视图:







 

 

 

图1 . 2- 1

  分析: 引导学生作出△A B C的投影如下图 1 . 2- 2 .
   
 



 



   

  




   





 
 

 
 

 

图1 . 2- 2

   然后得到投影、 投影线、 投影面、 中心投影、 平行投影、 正 投影和斜投影等概念.   2 . 下列命题: ①中心投影的投影线相交于一点; ②平行投影的投影线是互相平行的; 物体距离点光源越 ③在点光源和投影面确定的情况下, 近, 物体的投影越大; 物体影子的大小与物体离投影面的距 ④在平行投影中, 离无关 ? 其中正确的命题个数为

图1 . 2- 3



  分析: 初中已学过三视图, 因此, 要让学生根据初中所学 知识先自己画出一些简单几何体的三视图 ?讲台上放置长方 体、 球、 圆柱、 圆锥等实物模型, 要求学生画出它们的三视图, 教师巡视, 学生画完后可交流结果并讨论, 师生总结三视图的

(D) 概念及画法.

·8 ·

 第一章  空间几何体 
  4 . 如图 1 . 2- 4 , 螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体, 画出它 的三视图.
俯视

( 1 ) 正方体的三视图都是 全等的正方形 . ( 2 ) 长方体的三视图都是 矩形 . ( 3 ) 圆柱的正视图、 侧视图都是   全等的矩形  , 俯视图 是 圆 . ( 4 ) 圆锥的正视图、 侧视图都是   全等的等腰三角形  , 俯视图是 圆及其圆心 . ( 5 ) 圆台的正视图、 侧视图都是全等的   等腰梯形  , 俯

侧视

视图是 两个同心圆 . ( 6 ) 球的三视图都是 全等的圆 .
主视
图1 . 2- 4

对于简单组合体, 首先要分清它是由哪些基本几何体组 成的, 然后再画出它的三视图.

  解: 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的, 主 视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面, 侧视图反映正六 棱柱的两个侧面和圆柱侧面, 俯视图反映该物体投影后是一 个正六边形和一个圆( 中心重合) . 它们的三视图如图 1 . 2- 5 所示:

三层练习】   【
  5 . 如图 1 . 2- 7 , 根据图中所给出的一个物体的三视图, 试 画出它的形状.



 



正视图
主视图 侧视图
图1 . 2- 5

侧视图  

俯视图

俯视图

  反思小结: 1 ° 什么叫三视图? “ 视图” 是将物体按 正投影法 向投影面投影时所得到 光线自物体的   前面向后面   投影所得的投影图 的投影图. 称为“ 正视 图” , 自 左向右 投影所得的投影图叫 “ 侧视 图” , 自 上向下 投影所得的投影图称为 “ 俯视图” . 用这三 种视图即可刻画空间物体的几何结构, 这种图称之为 “ 三视 图” . 2 ° 观察长方体的三视图如图 1 . 2- 6 , 你能得到同一几何 体的三视图在形状、 大小方面的关系吗?你能得到三视图的 画法规则吗?
 
图1 . 2- 7

正视图

侧视图  

俯视图

  分析: 由三视图的特征, 结合柱、 锥、 台、 球的三视图逆推.   解: ( 1 ) 该立体图为正六棱柱, 如图 1 . 2- 8 ( 1 ) 所示. ( 2 ) 该立体图为正四棱锥, 如图 1 . 2- 8 ( 2 ) 表示.

  

 


 


 


  正六棱柱
图1 . 2- 8

  正四棱锥

 



图1 . 2- 6

  ( 1 ) 一个几何体的侧视图和正视图 高度 一样, 俯视图 与正视图 长度 一样, 侧视图与俯视图 宽度 一样.

  反思小结: 1 ° 由三视图想象几何体时也要根据“ 长对正、 宽相等, 高 平齐” 的基本特征, 想象视图中每部分对应的实物部分的形 2 ° 想象力的培养与多观察实物相结合是解决此类问题的 关键.

( 2 ) 画法规则: 正视图与侧视图的   高度   保持平齐( 简 特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置. 称高平齐) ; 正视图与俯视图的   长   应对正( 简称长对正) , 象. 俯视图与侧视图的 宽 应相等( 简称宽相等) .   3 ° 你能得到常见基本几何体与简单组合体的三视图吗?

·9 ·

 人教版·高中数学 A版必修②教案
直观能力和空间想象能力, 在这过程中, 要多动手作图, 要充



( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分      

分借助模型帮助想象.

1 . 如图 1 . 2- 9 , 画出下列简单空间几何体的组合体的三 视图.


基础训练 一、 选择题 1 . 下列命题中正确的是 A . 矩形的平行投影一定是矩形 B . 梯形的平行投影一定是梯形 C . 两条相交直线的投影可能平行 (D)




图1 . 2- 9

D . 一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2 . 已知△A B C , 选定的投影面与 △A B C所在平面平行, 则经过 中心投影后所得的三角形与△A B C A . 全等 C . 不相似 描述正确的是 B . 相似 D . 以上都不对 (B) (B)

  解: 图( 1 ) 是由圆柱、 圆锥、 圆柱组合而成的, 其三视图如 下图 1 . 2- 1 0 ( 1 ) 所示. 图( 2 ) 是由三个长方体组合而成的, 其三视图如图 1 . 2- 1 0 ( 2 ) 所示.

3 . 如图 1 . 2- 1 2是一立体图的三视图, 则对这一立体图形的

正视图

侧视图

俯视图


正视图 侧视图
图1 . 2- 1 2

俯视图

正视图

侧视图

A . 一个正立的圆锥 C . 一个倾倒的圆锥
俯视图

B . 一个倒立的圆锥 D . 不一定是圆锥 (D)

4 . 下列说法中不正确的是


图1 . 2- 1 0

A . 有些简单的几何体, 用主视图和俯视图就能确定其形状 和大小 B . 三视图能真实地反映各种几何体的形状和大小 C . 只要确定了实物的位置和观察方向, 就能画出其三视图 D . 对于复杂的几何体, 三视图不足以反映其大小和形状 二、 填空题


2 . 如图 1 . 2- 1 1 , 是一个几何体的三视图, 想象它的几何结构 特征, 并说出它的名称.



5 . 投影线交于一点的投影称为   中心投影  , 投射线相互平 行的投影称为  平行投影  , 平行投影按投射的方向是否 正对着投影面, 可分为 正投影 和 斜投影 两种. 6 . 由小正方体木块搭成的几何体三视图如下图, 则该几何体


图1 . 2- 1 1

由 7  块小正方体搭成.

  答: 三棱柱.


1 . 画出简单几何体及其组合体的三视图, 是立体几何中 要求在全面、 正确理解投影的概念及视图的基本 的基本技能. 知识的基础上, 熟练掌握常见基本几何体的三视图, 能将简单 另外, 要注意的是, 在画空间几何 组合体分解成基本几何体. 体的三视图时, 可见轮廓线要画成实线, 否则应画成虚线.

正视图

侧视图
图1 . 2- 1 3

俯视图

    解: 利用俯视图, 标注木块数   , 共记 7块.
三、 解答题

. 画出如图正六棱锥的三视图. 2 . 几何体与其三视图之间可以相互转化, 可以培养几何 7

·1 0 ·

 第一章  空间几何体 

它是由棱锥体、 正方体、 长方体拼成的图形. 拓展提升 . 2- 1 8所示的三视图, 想象物体的原形, 并画出 ?根据如图 1
图1 . 2- 1 4

物体的实物草图.

  解: 正六棱锥的三视图如图 1 . 2- 1 5所示:

正视图

侧视图
图1 . 2- 1 8

俯视图

正视图

侧视图
图1 . 2- 1 5

俯视图

  解: 如图 1 . 2- 1 9所示:

8 . 根据下图, 把主视图、 左视图、 俯视图画出来, 并回答它是几 种几何体拼成的.

图1 . 2- 1 9

图1 . 2- 1 6

  解: 主视图、 左视图、 俯视图如图 1 . 2- 1 7所示:

正视图

侧视图

俯视图

图1 . 2- 1 7

1 . 2 . 2   空间几何体的直观图
                [ 画法] ( 1 ) 如图 1 . 2- 2 0取 O A所在直线为 x 轴, O C所


1 . 掌握斜二测画水平放置的平面图形的直观图. 2 . 会画简单的空间图形的直观图. 3 ?已知三视图, 能画出该几何体的直观图 ?

在的直线为 y 轴, O为坐标原点建立直角坐标系, 画对应的坐 ′ O ′ y ′ , 使∠x ′ O ′ y ′ = 4 5 ° 标x

 

    
 
图1 . 2- 2 0


一层练习】   【
1 . 如何画出水平放置的边长为 2c m的正方形的直观图?   分析: 为了使画出的图形既富有立体感, 又能表达出图形 各主要部分的位置关系和度量关系, 这就要求按一定规则来 画. 这一规则叫做斜二测法.


 

 





( 2 ) 在x ′ 轴取 O ′ A ′ = O A= 2 c m , 取y ′ 轴上取 O ′ C ′ =

1 O C 2

·1 1 ·

 人教版·高中数学 A版必修②教案
= 1 c m , 过C ′ 作C ′ B ′ ′ 轴, 并且 C ′ B ′ = C B . ∥x ( 3 ) 连结 B ′ A ′ , 则所得四边形 O ′ A ′ B ′ C ′ 就是水平放置的正 A B C的直观图. 方形 O 2 . 画出正五边形的直观图.   解: . 2- 2 1 ( 1 ) 所示的直角坐标系 x O y , 再建 ①建立如图 1 . 2- 2 1 ( 2 ) 所示的坐标系 x ′ O ′ y ′ , 使∠x ′ O ′ y ′ = 4 5 ° ; 立如图 1 分别过 O ′ 、 A ′ 、 B ′ 、 C ′ , 沿z ′ 轴的正方向取 O ′ O ″ ③画侧棱: = A ′ A ″ = B ′ B ″ = C ′ C ″ = 2 c m . 顺次连结 O ″ A ″ 、 A ″ B ″ 、 B ″ C ″ 、 C ″ O ″ , 并加以整理( 去 ④成图: 掉辅助线, 并将被遮住的部分改为虚线) , 就得到正方体的直 观图.

        

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图1 . 2- 2 1

 

 



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图1 . 2- 2 2

  4 . 用斜二测画法画出正五棱锥 P-A B C D E的直观图, 其 1 ) 中作 B G 、 E H垂直于 x 轴, 交点分别为 G 、 H . 在 ②在图( 中底面 A B C D E是正五边形. 点 P在底面的投影是正五边形的 ( 尺寸自定) . 中心 O

1 坐标系 x ′ O ′ y ′ 中作 O ′ H ′ = O H , O ′ G ′ = O G , O ′ A ′ = O A , O ′ F ′ =   解: 画法: 以正五边 2 ① 画轴, 交点,使 ∠x O y=4 5 ° , O z = ∠x 1 0 ° ; ′ O ′ y ′ 中, 过G ′ 作G ′ B ′ ′ 轴, 且G ′ B ′ = B G , 过 9 ③在平面 x ∥y 2 在x O y 平面内先画 ②画底: 1 H ′ 作H ′ E ′ ′ 轴, 且H ′ E ′ = H E , 连结 A ′ B ′ 、 B ′ C ′ 、 D ′ E ′ 、 E ′ A ′ 得五 出正五边形 A ∥y B C D E ; 2 画侧棱: 在 O z 上取点 P , ③ 边形 A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ , 则其为正五边形 A B C D E的平面直观图.    反思小结: 1 ° 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的基本 步骤是怎样的? ( 1 ) 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两相相交于 . 画直观图时, 把它们画出对应的 x ′ 轴与 y ′ 轴, 两轴相交 点O 于点 O , 且使∠x ′ O ′ y ′ =  4 5 ° ( 或1 3 5 ° )  , 它们确定的平面表 示 水平面 . ( 2 ) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分 别画成 平行于 x ′ 轴或 y ′ 轴的线段. ( 3 ) 已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持长度 不变 , 平行于 y 轴的线段, 长度为 原来的一半 .   2 ° 如何画出平面多边形的直观图? 多边形顶点的位置确定, 则多边形就确定了, 因此, 直观 图的画法可以归结为确定点的位置的画法 ?而在平面上确定 点的位置, 可以借助平面直角坐标系, 因此, 画水平位置的平 面直角坐标系应当是首先要掌握的方法 ? P 、 B P 、 C P 、 D P 、 E P ; 连结 A 去 掉 辅 助 线, 将被 ④成图: 1 O F , 过F ′ 作C ′ D ′ ′ 轴, 且C ′ D ′ = C D . ∥x 2 轴、 y 轴、 x 轴的 形的中心 O为 x

      
图 1- 2- 2 3

 

A B C D E的直观图. 遮挡的部分改为虚线, 就得到五棱 P-    反思小结: 用斜二测画法画空间图形的基本步骤是怎样的? ( 1 ) 在已知图形中取水平平面, 取互相垂直的轴 O x 、 O y , 再取 O z 轴, 使∠x O z = 9 0 ° . ( 2 ) 画直观图时, 把它们画成对应的轴 O ′ x ′ 、 O ′ y ′ 、 O ′ z ′ , 使 ′ O ′ y ′ =  4 5 ° ( 或1 3 5 ° )  , ′ O ′ z ′ = 9 0 °  , x ′ O ′ y ′ 所确 ∠x ∠x 定的平面表示 水平 平面. ( 3 ) 已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段, 在直观图 ′ 轴、 y ′ 轴、 z ′ 轴的线段. 中分别画成 平行于 x ( 4 ) 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段, 在直观图中保 持长度 不变 ; 平行于 y 轴的线段, 长度为 原来的一半 .

三层练习】   【
5 . 如图 1 . 2- 2 4 , 已知几何体的三视图, 用斜二测画法画

二层练习】   【
2 . 画棱长为 2c m的正方体的直观图. [ 画法]  根据斜二测画法的画法规则及画直观图的步骤 可得以下步骤: 画x ′ 轴、 y ′ 轴、 z ′ 轴, 记坐标原点为 O ′ . 使 ∠x ′ O ′ y ′ ①画轴: = 4 5 ° , ′ O ′ z ′ = 9 0 ° . ∠x 按x ′ 轴、 y ′ 轴画边长为 2 c m的正方形的直观图 ②画底面: O ′ A ′ B ′ C ′ ( 见第 1题图 1 . 2- 2 0 ) .

出它的直观图.






正视图


侧视图
图1 . 2- 2 4

俯视图

·1 2 ·

 第一章  空间几何体 
③正方形的直观图是正方形. ④菱形的直观图是菱形.   分析: 本题主要考查由三视图得到相应的几何体及画简 单组合体的直观图等基本知识. 这里涉及到圆的直观图的画法, 可引导学生观察, 水平放 时, 常利用椭圆模板. 本题可采用教师组织学生思考, 讨论和交流完成, 教师巡 视, 帮助有困难的学生, 引导学生把握斜二测画法的要领, 注 意画图步骤.   画法: ( 1 ) 画轴. 如图, 画x 轴, z 轴, 使x O z = 9 0 ° . ( 2 ) 画圆柱的下底面, 在x 轴上取 A , B两点, 使A B的长 A=O B . 选择椭圆模板中适当 度等于俯视图中圆的直径, 且O 的椭圆过 A , B两点, 使它为圆柱的下底面. ( 3 ) 在O z 上截取点 O ′ , 使O O ′ 等于正视图中 O O ′ 的长度, 过点 O ′ 作平行于轴 O x 的轴 O ′ x ′ , 类似圆柱下底面的作法作 出圆柱的上底面. ( 4 ) 画圆锥的顶点. 在O z 轴上截取点 P , 使P O ′ 等于正视 图中相应的高度. ( 5 ) 成图. 连接 P A ′ , P B ′ , A A ′ , B B ′ , 整理得到三视图表示 的几何体的直观图. 以上结论, 正确的是 A . ①② C . ③④ B . ① D . ①②③④
 

(A)

. 如图 1 . 2- 2 6 , 是用斜二测画法 置的圆看起来非常象椭圆, 在实际画水平放置的圆的直观图 3 画 出 的 △A O B 的 直 观 图, 则 O B的面积为 3 2  . △A

  











图1 . 2- 2 6

1 . 要画空间几何体的直观图, 首先要学会水平放置的平 面图形的直观图的画法. 在利用斜二测画法画水平放置的平 面图形的直观图时, 要紧紧把握住一斜— — —在已知图形中垂 直于 x轴 的 线 段, 在 直 观 图 中 均 与 x轴 成 4 5 ° 或1 3 5 ° ; 二 测— — —两种度量形式, 即在直观图中, 平行于 x 轴或 x 轴上的 线段长度不变, 平行于 y 轴或在 y 轴上的线段长度变为原来 的一半.   画水平放置的平面多边形的直观图, 关键是利用平行于 x 轴、 y 轴或在其中的线段确定多边形顶点的位置. 若在已知图 轴、 y 轴或在其上的线段, 则须要构造出来. 形中没有平行于 x 画其它水平放置的平面图形的直观图与此类似.

      







2 . 在上述基础上, 画空间几何体的直观图按照如下步骤 进行: 画轴→画底面 → 画侧棱或顶点 → 成图. 其中, 已知图形 中平行于 z 轴或其上的线段, 在直观图中画成平行于 z ′ 轴或在 其上的线段, 长度不变. 3 . 若已知空间几何体的三视图, 则应先想象出相应的空 间几何体, 再画其直观图. 画空间几何体的直观图在要求不太 严格的情况下, 长度和角度可适当选取. 为了增强立体感, 被 档住的部分通常用虚线表示.




 








 



   反思小结:

图1 . 2- 2 5

1 ° 几何体的三视图和直观图有着密切的联系, 由空间几 何体的三视图得到它的直观图, 同时, 也能够由空间几何体的 直观图得到它的三视图. 2 ° 由三视图画直观图, 首先要弄清几何体的形状, 然后根 据三视图和直观图的规则, 画出其直观图.


基础训练 一、 选择题 1 . 用斜二测法画水平放置的平面图形的直观图, 下面结论错



( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分      

误的是 A . 原来相交的仍相交 C . 原来平行的仍平行 B . 原来垂直的仍垂直 D . 原来共点的仍共点

(B)

1 . 下列结论中: ①角的水平放置的直观图一定是角. ②相等的角在直观图中仍然相等. ③相等的线段在直观图中仍然相等. 则在直观图中对应的两条线段仍然平 ④若两条线段平行, 行. 其中正确结论的个数有 A . 1个 C . 3个 2 . 利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形. ②平行四边形的直观图是平行四边形. B . 2个 D . 4个 (B)

  解: 由斜二测画法的规则知与原图相比直观图中的平行、 相交、 共点特征不变, 垂直关系发生变化. 故选 B . 2 . 如图 1 . 2- 2 7 , 直观图所示的平面图形是 A . 任意四边形 B . 直角梯形 C . 任意梯形 D . 等腰梯形   解: ∵C ′ D ′ ′ y ′ , 且D ′ A ′ ∥O ′ x ′ , ∥O ∴∠C D A= 9 0 ° , 又C ′ B ′ ′ A ′ , 且C ′ B ′ ′ A ′ , ∥D ≠D
图1 . 2- 2 7

(B)


     

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 人教版·高中数学 A版必修②教案
∴C B A且 C B A . ∥D ≠D 故四边形为直角梯形. 选B . 3 .如 图 1 .2 - 2 8 ,梯 形 A B C D 1 1 1 1 是 一 平 面 图 形 A B C D的直观图, 若A D 1 1∥ O ′ y ′ , A B D , A B 1 1∥ C 1 1 1 1 = 2 C D =2 , A D , 则 1 1 =1 3 1 1 A B C D的面积是 A . 1 0 (C) B . 5 2 槡 三、 解答题 7 . 如图 1 . 2- 3 1 , B C三个 △A O y 中, 顶点在直角坐标系 x 画出 △A B C水 平 放 置 的 直 观图.   画法: ( 1 ) 作∠x ′ O ′ y ′ = 4 5 ° ;
图1 . 2- 2 8 图1 . 2- 3 1

     



 
  



( 2 ) 与坐标轴平行的线 段关系不变; 3 ) 长变变化: 与x 轴平行不变; 与y 平行变为 ( 直观图如图 1 . 2- 3 2所示. 1 . 2

C . 5 D . 1 0 2 槡 由条件: C D= 3 , A B= 2 , A D= 2 ,   解: 3+ 2 ∴S × 2= 5 . 故选 C . A B C D= 2 4 . 如图 1 . 2- 2 9为一个平面图形水平放 置的直观图, 则这个平面图形可能是 下列图形中的 (C)


 

 

 
图1 . 2- 3 2




图1 . 2- 2 9

8 . 画长、 宽、 高分别为 4 c m , 3 c m , 2 c m的长方体的直观图.    画法: ( 1 ) 在长、 宽分别 为 4 c m , 3 c m 的矩形中选取互相垂 直的轴 O x , O y ( 如图( 1 ) ) . ( 2 ) 画直观图时, 把它们画

  





′ x ′ , O ′ y ′ , 使∠x ′ O ′ 成对应的轴 O y ′ = 4 5 ° ( 或1 3 5 ° ) , 再过 O ′ 作O ′ z ′ 轴, 使 ∠x ′ O ′ z ′ = 9 0 ° , ′ O ′ y ′  ∠x 所确定的平面表示水平面. ( 3 ) 已知图中平行于 x 、 y 轴 ( 或者在 x 、 y 轴上) 的线段在直 观图中分别画成平行 x ′ 、 y ′ 轴的 线段( 在轴上的仍画在相应的轴 上) , 即在 O ′ x ′ 及O ′ y ′ 轴上分别 、 D , 以O ′ 为一端点作 O ′ B 取点 B = 4 c m , 即 A B =4 c m , O ′ D =1 .  5 c m , 即A D= 1 . 5 c m , 过 B作 B C D , 连结 C D , 所得 A B C D即 瓛A O ′ B C D , 即为原矩形的直观图.

  



  


图1 . 2- 3 0



  


  

      

  解: 按斜二测画法的规则, 平行于 x 轴的线段的长度在新 轴上或平行于 y 轴的线段长度在新系中变为 系中不变, 在y 1 原来的 , 并注意到 ∠x O y = 9 0 ° , ′ O ′ y ′ = 4 5 ° , 则图形还原 ∠x 2 知选 C . 二、 填空题 5 . 下列说法中: 其相邻边长之 ①正方形的水平直观图是一个平行四边形, 比为 1 ∶2 , 有一个角为 4 5 ° ; ②不等边三角形的水平直观图是不等边三角形; 轴的线段, 其对应线段平行于 y ′ 轴, 长度 ③原图中平行于 y 不变; 轴的线段, 其对应线段平行于 x ′ 轴, 长度 ④原图中平行于 x 不变; O y 对应的∠x ′ O ′ y ′ , 也可以画成 1 3 5 ° . ⑤画与直角∠x 其中正确的说法的序号是 ①④⑤ .   解: 其中②是错误的, 不等边三角形的水平直观图也可能 是等边三角形; 其长度为原长度的 ③是错误的, 为正确的, 故填①④⑤. 6 . 一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是一个底角为 4 5 ° , 腰和上底长均为 1的等腰梯形, 则这个平面图形的面 积是 2+ 2  . 槡 1 . ①④⑤ 均 2



  

图1 . 2- 3 3

( 4 ) 在O ′ z ′ 上, 取一点 A ′ , 使A A ′ = 2 c m , ( A ′ 在z ′ 轴的正半 轴上) , 再分别过 B 、 C 、 D沿 z ′ 轴的正方向作 B B ′ = C C ′ = D D ′ = 2 c m , ( 5 ) 连结 A ′ B ′ , B ′ C ′ , C ′ D ′ , D ′ A ′ 即得长方体的直观图. ( 如 图( 2 ) ) . ( 6 ) 再将所作辅助线 O ′ x ′ , O ′ y ′ , O ′ z ′ 擦掉, 实、 虚线分明, 即得所作长方体的直观图( 如图( 3 ) ) . 拓展提升 如图 1 . 2- 3 4 , 用斜二测画法画出它 ?已知几何体的三视图, 的直观图.

·1 4 ·

 第一章  空间几何体 
O ′ 为正视图的高度. ③取 O 如图 1 . 2- 3 5 , 整理得到三视图表示的几何体的 ④成图, 直观观.

 
正视图 侧视图
图1 . 2- 3 4

    

俯视图

  解: 由几何体的三视图知, 这个几何体是一个圆台. 画法: 画x 轴、 y 轴、 z 轴, 使 ∠x O y = 4 5 ° , O z = ①画轴. ∠x 9 0 ° . 取底面 ⊙O 和上底面 ⊙O ′ 的长为俯 ②画圆台的两底面. 视图中的大圆和小圆的直径, 画出⊙O与⊙O ′ .

图1 . 2- 3 5

1 . 3   空间几何体的表面积与体积  1 . 3 . 1   柱体、 锥体、 台体的表面积与体积( 1 )
             


1 . 了解柱、 锥、 台的表面积的计算方法. 2 . 能用柱、 锥、 台的表面积公式解决有关问题.

 


 

图1 . 3- 2

  



一层练习】   【
1 . 在初中, 我们已经学习过正方体、 长方体的表面积, 以 . 3- 1 ) , 正方体、 长方体的表面积与 及它们的展开图( 如图 1 其展开图有什么关系呢?   试根据其展开图, 考察它们的表面分别是由哪些平面图 形构成的, 如何求出它们的表面积?由此你能得到求一般多 面体的表面积的方法吗?   分析: 让学生动手画出这些几何体的展开图, 然后考察展 开图的构成, 引导得出多面体的表面积, 可利用平面图形求面 积的方法得到. ( 1 ) 正三棱柱:

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图1 . 3- 3

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图1 . 3- 1

  ( 2 ) 正三棱锥:

 

 

  分析: 所谓空间几何的表面积是指几何体表面的面积, 它 表示几何体表面的大小. 由于正方体、 长方体是由多个平面图形围成的多面体, 因 此它的表面积就是各个面的面积的和, 也就是展开图的面积.   2 . 试画出下列几何体的展开图:

图1 . 3- 4

  ( 3 ) 正三棱台:

·1 5 ·

 人教版·高中数学 A版必修②教案
计算出它的侧面积及全面积吗?探索后将结论填入下面的空 格中: S        , S       . 侧 = 全 =   分析: 可引导学生得到扇环的面积等于两个扇形面积之 差, 通过自己的推证得到相应的公式.
图1 . 3- 5
2 2 ( r ′ + r ) l , S ( r ′ + r + r ′ l + r l ) . S π π 侧 = 全 =

   反思小结:    反思小结: 1 ° 什么叫表面积? 几何体表面积是指几何体表面的   面积  , 是各个面的 它表示几何体表面的 大小 . 面积的 和 , 2 ° 如何求多面体的表面积? 一般地, 可以把多面体展开成平面图形, 利用平面图形求 面积的方法, 求多面体的表面积.  . 2 ° 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积公式是怎样的? S  2 r l  , π 圆柱侧 = S  π r l  , 圆锥侧 = S  π ( r + r ′ ) l  . 圆台侧 = 3 ° 圆柱、 圆锥、 圆台的全面积公式是怎样的? S  2 r ( r + l )  , π 圆柱全 = 3 . 如何根据圆柱、 圆锥的几何特征, 求它们的表面积? 试根据圆柱展开图( 如图 1 . 3- 6 ) 和圆锥的侧面展开图 ( 如图 1 . 3- 7 ) 的特点, 探索其侧面积公式 S 侧 和全面积公式 S 并填入相应的的空格中: 全,   ( 1 ) 圆柱: S  π r ( r + l )  , 圆锥全 =
2 2 S  π ( r ′ + r + r ′ l + r l )  . 圆台全 =

1 ° 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图有什么特点? 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图分别是   矩形、 扇形、 扇环

二层练习】   【

三层练习】   【
5 . 已知棱长为 a , 各面均为等边三角形的四面体 S-A B C

 
  

( 如图 1 . 3- 9 ) , 求它的表面积.    分析: 由于四面体 S-A B C 的四个面都是 全 等 的 等 边 三 角 形, 所以四面体的表面积等于其



 


图1 . 3- 6

因 中任何一个面的面积的 4倍, 此, 只要求出一个面的面积即 可.    解: 先 求 出 △S B C的 面 积, 过点 S作 S D⊥ B C , 交 B C于 点 D . 如图 3 . 1- 1 0 ) ∵B C= a ,
2 2 S D =槡 S B - B D 2 = a -

 
图3 . 1- 9



S        , S       . 侧 = 全 =   ( 2 ) 圆锥:



  
图1 . 3- 7



  

a 槡 ( 2)



  
图3 . 1- 1 0

3 槡 = a , 2 ∴S B C= △A 1 1 B C ·S D= a 2 2



S        , S       . 侧 = 全 =
2   分析: ( 1 ) 圆柱: S 2 r l , S 2 r l + 2 r = 2 r ( r + l ) . π π π π 侧 = 全 =

( 2 ) 圆锥: S r l , S r l + r= r ( r + l ) . π π π π 侧 = 全 =   4 . 圆台的侧面展开图是一个扇环( 如图 1 . 3- 8 ) :



3 槡 32 槡 × a = a . 2 4 32 2 槡 因此, 四面体 S - A B C的表面积 S = 4× a= 3 a . 槡 4   6 . 如图 1 . 3- 1 1 , 一个圆台花盆


 

0c m , 盆底直径为 1 5 盆口 直 径 为 2

     
图1 . 3- 8

 

c m , 底部渗水圆孔直径为 1 . 5c m , 盆 壁长 1 5c m . 为了美化花盆的外观, 需 要涂油漆. 已知每平方米用 1 0 0毫升 0 0个这样的花盆需要多少 油漆, 涂1 油漆( . 1 4 , 结果精确到 1毫升, π取 3 可用计算器) ?
图3 . 1- 1 1



如果圆台的上、 下底面半径分别为 r ′ , r , 母线长为 l , 你能

·1 6 ·

 第一章  空间几何体 
  分析: 只要求出每一个花盆外壁的表面积, 就可求出油漆 的用量. 而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积, 再减去底面圆孔的面积.   解: 如图 1 . 3- 1 1 , 由圆台的侧面积公式得一个花盆外壁 的表面积 S= π× 5 [(1 2)


  解: 设正方体的棱长为 x , 则槡 x = a , 3
2 2 ∴S 6 x = 2 a , 故选 B . 正方体表 =

2 . 棱长都为 1的正三棱锥的全面积是 33 A .槡 4 . 2 C S 4×   解: 全 = . B 3 槡 D . 3 1 槡 3 × × 1= 3 , 选B . 槡 2 2

(B)

1 . 52 2 0 1 5 1 5+ × + × 1 5- π× 2 2 2

]

( )

2 2 0 0 0 ( c m )= 0 . 1 ( m ) . ≈1

涂1 0 0个花盆需油漆: 0 . 1× 1 0 0× 1 0 0= 1 0 0 0 ( 毫升) . 答: 涂1 0 0个花盆约需 1 0 0 0毫升油漆.    反思小结: 1 ° 求多面体的表面积转化为求每一个面的面积, 因此关 键是分清每一个面的形状. 2 ° 求旋转体的表面积, 关键是求出 r , r ′ , l 等量, 再代入公 式计算即可.

3 . 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 这个圆柱的全面体 与侧面积之比为 1+ 2 π A . 2 π 1+ 2 π C . π 1+ 4 π B . 4 π 1+ 4 π D . 2 π (A)

  解: 设圆柱的底面半径为 r , 则母线长为 2 r , ∴
2 S r l + 2 r r 2 1 1+ 2 π π π 全 = = 1+ = 1+ = , 故选 A . S 2 r l l 2 π π 2 π 侧



( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分      

4 . 若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为槡 , 则这个圆 3 锥的全面积为 A . 3 π C . 6 π B . 3 3 π 槡 D . 9 π (A)

. 正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面边长为 a , 则它的侧 1 面积为  3 2 a . 4

  解: 易求得圆锥的底面直径与母线长都为 2 , 故S r l π 全 =

2 2 2 . 已知圆锥的表面积为 am , 且它的侧面展开图是一个半圆, + r = 3 , 选A . π π 1 二、 填空题  . 则这个圆锥的底面半径为  槡 3 a πm 3 π 3 . 圆锥的侧面展开图是半径为 R的半圆, 则圆锥的高为   槡   解: 设圆锥的底面半径为 r , 母线长为 l , 则2 r = l , ∴l = 5 π π 2 2 r , R  . 2 2 ∴π r l + r = a , 即3 r = a , π π

1 ∴r = 槡 ? 3 a π 3 π

R   解: 设圆锥的底面半径为 r , 则2 r = R , ∴r = , 故高为 π π 2 3 槡 R . 2 6 . 在正三棱柱 A B C- A ′ B ′ C ′ 中, A B=B B ′ , 且S 7 , 则正 B C ′= 槡 △A 三棱柱的全面积为 1 2+ 2 3  . 槡   解: 由题意, 知底面边长与高相等, 不妨设为 a , 在 △A B C ′ 中, A C ′ = B C ′ = 2 a , A B= a , 槡 由S 7 , 求得 a = 2 , B C ′= 槡 △A 3 2 槡 ∴S 3× 2 + 2× × 4= 1 2+ 2 3 . 全 = 槡 4


1 . 多面体的表面积的求法 多面体是由平面围成的几何体, 沿着若干条棱剪开后, 几 何体的各面就可展开在一个平面内, 得到一个平面多边形, 这 个平面多边形叫做这个几何体的表面展开图. 多面体表面展 开图的面积就是多面体的表面积, 即多面体的表面积就是各 个面的面积之和. 2 . 旋转体的表面积的求法

三、 解答题 旋转体的表面积, 等于它的侧面积与底面面积之和. 圆 7 . 已知正四棱台的高为 1 2c m , 两底边长差为 1 0c m , 全面积为 2 柱、 圆锥、 圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积, 因 5 1 2c m, 求两底面边长 此, 弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转 体的关系, 是掌握它们的侧面积公式、 表面积公式及解决问题 的关键.   解: 如图所示, 设正四棱台 A C B ac m , 1 的边长 A 1 1=



     

    


基础训练 一、 选择题 1 . 正方体的一条对角线长为 a , 则它的表面积为
2 A . a 2 B . 2 a



图1 . 3- 1 2

(B) 则A B= ( a + 1 0 )c m , 高O O 1 2c m , 斜高 1=
2 2 2 2 E E =槡 1 2 O O ( O E- O E ) + 5 1 =槡 1+ 1 1

C . 3 a



D . 4 a



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= 1 3( c m ) . 1 2 2 ∴S a + ( a + 1 0 ) + 4× ( 2 a + 1 0 )× 1 3 全 = 2 , 解得 a = 2 , a =- 3 8 ( 舍) . = 5 1 2 故两底面边长分别为 2c m 、 1 2c m . 8 . 圆锥的高和底面半径相等, 它的一个内接圆柱的高和圆柱 的底面半径也相等, 求圆柱的表面和圆锥的表面积之比.   分析: 这是一个圆锥和圆柱的组合体, 画出其轴截面, 利 用相似三角形求各元素之间的关系, 再由公式可得.   解: 如图 1 . 3- 1 3所示,
图1 . 3- 1 4

= b , B B c , 且a > b > c > 0 , 有一个小虫沿长方体表面从 A 1= 爬到 C 1 的最短路线长是多少?



   















  解: 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能, 如图所 示.


图1 . 3- 1 3











 
设圆柱和圆锥的底面半径分别是 r 、 R , 则有 r R- r r 1 = , 即 = . R R R 2 ∴R= 2 r , l = 2 R . 槡 ∴
2 2 S 2 r + 2 r π π 圆柱表 = 2 S 圆锥表 R ·槡 2 R+ R π π 2 2 4 4 r r π = = 2 2 ( 2+ 1 ) R ( 2+ 1 ) 4 r π 槡 槡

 



    

 

     



 



   

图1 . 3- 1 5

三个图形( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 ) 中, A C 1 的长分别为: , ( a + b )+ c =槡 a+ b+ c+ 2 a b 槡 , a+ ( b + c ) =槡 a+ b+ c+ 2 b c 槡 a + c )+ b =槡 a+ b+ c+ 2 a c . ( 槡 ∵a > b > c > 0 , a b > a c > b c > 0 ,
2 2 2 故最短线路长为 槡 a + b + c + 2 b c . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 = = 2- 1 . 槡 2+ 1 槡 故圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为( ) ∶1 . 2- 1 槡 拓展提升 . 3- 1 4所示, 长方体 A B C D- A B C D A B= a , B C ?如图 1 1 1 1 1 中,

 1 . 3 . 1   柱体、 锥体、 台体的表面积与体积( 2 )
               ;


1 ?了解柱、 锥、 台的体积公式. 2 ?能利用柱、 锥、 台体积公式解决某些问题.

( 3 ) 台体的体积公式为 V   台体 = 1 ( S ′ +槡 + S )  , 其中 S ′ 、 S 分别为 上、 下 S ′ S 3

底面积 , h 为台体的 高 .    反思小结: 比较柱体、 锥体、 台体的体积公式, 你能发现三者的关系


一层练习】   【
1 . 阅读课本, 试写出柱体、 锥体及台体的体积公式, 填入 下面的空格中: ( 1 ) 柱体的体积公式为 V  S h  , 其中 S 为 底面积 , h 为柱体的 高 ; 柱体 = ( 2 ) 锥体的体积公式为 V   锥体 = 1 S h  , 其中 S为   底面积  , h为锥体的   高 3

吗?柱体、 锥体是否可以看作“ 特殊” 的台体?其体积公式是 否可以看作台体公式的“ 特殊” 形式? ( 1 ) 柱、 锥、 台的关系:
上底面变小 上底面缩小 到一个点

柱 体
上底面扩大到 与下底面相等

台 体
上底面扩大

锥 体

( 2 ) 柱、 锥、 台体积之间的关系:

·1 8 ·

 第一章  空间几何体 
S = S ′ = 1( S ′ = 0 = 1S V S h S ′ +槡 + S ) h h S ′ S 柱 = 台 锥 ?V ?V 3 3 D D ′ A ′ 面积为 S , 高为 h , 的底面 A 则它的体积 V= S h , 而棱锥 C- A ′ D D ′ 的底面面积为 1 1 1 ∴V · S h = S h , C- A ′ D D ′= 3 2 6 1 5 余下的体积是 S h - S h = S h , 6 6 ∴棱锥 C- A ′ D D ′ 的体积与剩余部分的体积之比为 1 ∶5 .    反思小结: 1 ° 底面为正方形、 侧面为全等的等腰三角形的四棱锥叫 等腰三角形底边上的高叫做正四棱锥的斜高. 正四 正四棱锥. 棱的高、 斜高以及底面边心距组成一个直角三角形. 利用这一 1 S , 高为 h , 2

二层练习】   【
2 . 已知一个四棱锥 P- A B C D的底面是正方形, 其边长为 4 c m , 侧面是四个全等的等腰三角形, 其底面上的高为 4 c m , 求 A B C D的侧面积、 表面积及体积. 四棱锥 P-   分析: 四棱锥 P-A B C D的侧面积, 等于四个全等的等腰 三角形中任何一个的面积的 4倍; 表面积等于侧面积加上底 面正方形的面积; 求体积, 关键在于求四棱锥的高.    解: 如图 1 . 3-1 6所示, 过点 P 作P E C于 E , 则P E= 4 . ⊥B ∵B C= 4 , 4 B C× P E 4× ∴S = = 8 . B C= △P 2 2 ∴ 四 棱 锥 P -A B C D的 侧 面 积
2 S 4 S 4× 8= 3 2 ( c m ) . 侧 = B C= △P



   
图1 . 3- 1 6

 

性质解决正四棱的有关问题较为简便. 2 ° 求不规则几何体的体积常采用间接法或通过分割补形 等技巧转化为规则几何体来计算.

∵S S 正方形A B C D的表面积 S 表 = 侧 + S 3 2+ 1 6= 4 8 ( c m) . 正方形A B C D= 设四棱锥 P-A B C D的顶点 P在底面 A B C D内的射影为 , 则S O即为四棱锥 P- A B C D的高. 连接 O E , 则 △P O E为 点O 直角三角形. ∵点 O是正方形 A B C D的中心, 1 1 ∴O E= A B= ·4= 2 . 2 2


三层练习】   【
3 4 . 有一堆规格相同的铁制( 铁的密度为 7 . 8g / c m ) 六角

螺帽( 如图 1 . 3- 1 8 ) 共重 5 . 8k g , 已知底面是正六边形, 边长 为1 2m m , 内孔直径为 1 0m m , 高为 1 0m m , 问这堆螺帽大约有 多少个( . 1 4 , 可用计算器) ? π取 3   分析: 六角螺帽表示的几何体是一个 组合体, 在一个六棱柱中间挖去一个圆

柱, 因此, 它的体积等于六棱柱的体积减 2 2 2 2 在R t O E中, P O= 槡 =槡 4 =槡 1 2= 2 去圆柱的体积. P E - O E - 2 △P . 3 槡 ∴四棱锥 P- A B C D的体积 V= 3 23 3 1 6 ·2 3= 槡 ( c m) . 槡 3
2 2 故四棱锥 P- A B C D的侧面积为 3 2 c m , 表面积为 4 8 c m ,

图1 . 3- 1 8

  解: 六角螺帽的体积是六棱柱的体积 1 1 S O= · B C D· P 3 四方形A 3 与圆柱体体积的差, 即 1 02 3 2 槡 × 1 2 V= × 6× 1 0- 3 . 1 4× × 1 0 2 4

( )

5 6 ( m m) ≈29 = 2 . 9 5 6 ( c m ) . 所以螺 帽 的 个 数 为 5 . 8×1 0 0 0÷( 7 . 8×2 . 9 5 6 ) 5 2 ≈2 ( 个) . 答: 这堆螺帽大约有 2 5 2个.    反思小结:



3 23 3 m. 体积为 槡 c 3   3 . 如图 1 . 3- 1 7所示, 在长方体 A B C D-A ′ B ′ C ′ D ′ 中, 用 截面截下一个棱锥 C- A ′ D D ′ , 求棱锥 C- A ′ D D ′ 的体积与剩余 部分体积之比.





求组合体的表面积、 体积时, 要注意组合体的结构特征, 避免重叠和交叉等.



   
图1 . 3- 1 7



( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分      



1 . 圆柱的侧面展开图是边长等于 1的正方形, 则圆柱的体积 为 1 A . 4 π 1 C . π 1 B . 2 4 π π D . 4 (A)

  分析: 剩余部分的几何体不是规则几何体, 可利用长方体 和棱锥体积之差来求得剩余部分的体积. 计算多面体的体积, 条件找出底面及相应的高.   解: 设长方体可以看成直四棱柱 A D D ′ A ′ -B C C ′ B ′ , 设它

. 在棱长为 1的正方体中, 分别用过共顶点的三条棱中点的 基础仍是多面体中一些主要线段关系, 要求概念清楚, 能根据 2 平面截该正方体, 则截去 8个三棱锥后, 剩下的凸多面体的 体积是 (D)

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2 A . 3 4 C . 5 每个三棱锥的体积为   解: 7 B . 6 5 D . 6 1 1 3  2 2   解: V= π (3 ) × 2 . 5- π (3 ) × 1= 3 槡 3 槡 2 二、 填空题
 



, 故选 A . π



1 1 1 1 1 1 . 正四棱锥底面面积为 S , 过两相对侧棱的截面 × × × × = , ∴ 5  3 2 2 2 2 4 8 1 面积为 Q , 则棱锥的体积为   Q   . 2 S 1 5 3 槡 剩余部分的体积 V= 1- × 8= , 选D . 4 8 6 图1 . 3- 1 9   解: 设底面边长为 x , 高为 y , 则


1 . 计算柱体、 锥体和台体的体积, 关键是根据条件找出相 应的底面面积和高, 要充分运用多面体的有关截面及旋转体 的轴截面, 将空间几何体转化为平面问题. 2 . 在计算有关几何体的体积时, 还要注意等积变换思想 方法的运用, 或分割、 或补形、 或变换顶点和底面的位置或进 行间接处理等, 其基本原则是: 完全相同的几何体, 它们的体 积相等; 一个几何体的体积等于它的各部分体积的和; 体积相 等的两个几何体叫做等积体. 相同的几何体一定是等积体, 但 两个等积体不一定相同, 等底等高即可.

{

2 x = S ,

解得 1 2 Q 槡 · 2 x ·y = Q , y = . 2 槡 S 槡

{

x = S , 槡

1 槡 2 Q 1 故 V= S · = Q槡 2 S . 3 S 3 槡
3 6 . 若用扇形铁皮做一个底面半径为 6c m , 容积为 9 6 m 的 πc

圆锥筒, 则扇形铁皮半径是 1 0  c m .   解: 设圆锥的高为 hc m , 则由 ∴扇形铁皮的半径为 1 0c m . 三、 解答题 7 . 如图 1 . 3- 2 0所示, 已知: 过三棱台 上底面的一边与一条侧棱平行的一 1 2 6 × h = 9 6 , 得h = 8 . π× π 3


基础训练 一、 选择题 1 . 一个正三棱锥底面边长为 6 , 侧棱长为 槡 , 那么这个三棱 1 5 锥的体积为 A . 9 C . 7 9 B . 2 7 D . 2 (A)

    
图1 . 3- 2 0

  

个截面, 它的两个顶点是下底面两边 的中点, 求棱台被分成的两部分的体 积的比.   解: 设棱台上底面 △A ′ B ′ C ′ 面积为 S ′ , 棱台高为 h . 由题意可知, ′ B ′ C ′ B E . △A ≌△D

∵△D B E B C , D 、 E分别是 A B 、 B C的中点, ∽△A ∴ S 1 B E △D = , ∴S 4 S ′ . B C= △A S 4 B C △A

2 . 一个圆锥的高扩大为原来的 2倍, 底面半径缩小为原来的 1 , 则它的体积是原来的 2 1 A . 倍 2 C . 2倍 B . 不变 D . 4倍 (A)

1 ∴V ·h ·( S ′ +槡 + 4 S ′ ) S ′ ·4 S ′ 台A B C- A ′ B ′ C ′= 3 1 7 = h ·7 S ′ = h ·S ′ . 3 3 V S ′ ·h , 柱D B E- A ′ B ′ C ′= ∴棱台被分成的两部分体积的比为 4 ∶3 . 8 . 如图 1 . 3- 2 1是一个几何体的三视图, 根据图中所示的数 据, 求这个几何体的体积.
     

23 3 . 已知正三棱台上、 下底面边长分别为 2与 4 , 高为 槡 , 则正 3 棱台的体积为 1 4 A . 3 2 8 C . 3 . 1 4 B 23 D .槡 9 (A)

1   解: V h ( S +槡 + S ′ ) S ·S ′ 台 = 3 = 1 2 3 1 4 3 3 3 槡 槡 × 槡× 槡 × 1 6= . × 4+ × 2× 4+ 3 3 3 4 4 4


正视图

侧视图

(

)

4 . 在 △A B C中, A B=2 , B C=1 . 5 , B C=1 2 0 ° ( 如图 1 . 3- ∠A 1 9 ) , 若将△A B C绕直线 B C旋转一周, 则所形成的旋转体的 体积是 3 A . π 2 7 C . π 2 5 B . π 2 9 D . π 2 (A)
俯视图
图1 . 3- 2 1


·2 0 ·

 第一章  空间几何体 
  解: 由三视图可知这个几何体是由一个三角形旋转得到 的一个圆台挖掉一个圆锥形成的几何体, 其体积是圆台的体 积减去圆锥的体积, 而上、 下底面半径分别为 1 、 2 , 高为 3 , 故 V= V V 圆台 - 圆锥 1 2 2 = ·3 ( ·1 + ·1 ·2+ ·2 ) π π π 3 1 2 - π ·2 ·3= 7 4 3 . π- π= π 3   ∴ 所求的几何体的体积为 3 . π 拓展提升 . 3- 2 2所示, 三棱台 A B C- A B C A B 2 A B , 且 ?如图 1 1 1 1 中, 1 1= 其中三棱锥 A A B C的体积为 1 , 求三棱台的体积. 1-
  
图1 . 3- 2 3

棱锥 A A B C , C- A B C - A B B . 1- 1 1 1和 C 1 1
              

  前两个锥体等高, 第一、 三两个锥体又可写成 C- A A B和 1 C- A B B , 也是等高, 它们的体积比等于底面积之比. 1 1 ∴V = 4 V 4 , C- A B C A - A B C= 1 1 1 1 V 2 V V 2 , C- A B B= C- A A B= A A B C= - 1 1 1 1 ∴V= V V + V 1+ 4+ 2= 7 . - A A B C+ C- A B C C- A B B= 1 1 1 1 1 1   解法 3 : 将棱台补成( 复原) 成一个棱锥, 可发现 △A B C是

   
图1 . 3- 2 2





其中截面. 设它的面积为 S , 棱台高为 h , 则 S , 高为 2 h , 小棱锥的高也为 h . 底面积为 4 1 1 故棱台体积 V = ( 2 h ) ( 4 S )- S h 3 3 1 = 7× S h = 7 . 3

1 S h = 1 , 且棱锥的 3

  解法 1 : 设棱台的高为 h , 上底面积为 S , ∵△A B C B C , 且A B ∶A B= 2 , ∽△A 1 1 1 1 1 ∴△A B C S , 1 1 1 的面积为 4 1 ∴三棱锥 A A B C的体积 V S h = 1 , 1- 1= 3 ∴S h = 3 , ∴V= 7 .   解法 2 : 如图 1 . 3- 2 3 , 连结 B C , 则三棱台分割为三个三 1

  [ 点评]   解法 1首先设定相关字母, 从而建立它们之间 的联系, 其中充分利用了锥体体积公式与台体体积公式的相 互联系. 解法 2 、 解法 3采用了割补法. 割补法是研究体积问题的 常用方法.

1 . 3 . 2   球的表面积和体积
              由于球既没有底面, 也无法象柱体、 锥体和台体那样展成


1 . 了解球的表面积和体积公式. 2 . 会用球的表面积和体积公式解决某些简单问题.

平面图形. 因此, 需要用其它方法得到球的体积与表面积的计 算公式. 事实上, 球的体积与球的表面积公式的推导要采用 对公 “ 分割— — —求近似和— — —化为准确和” 这一重要的思想. 式推导感兴趣的同学可参看其它参考资料.
2 球的表面积公式为: S 4 R . π 球 =


一层练习】   【
1 . 试研究球的大小与什么因素有关?球的表面积与什么 因素有关?球的体积呢?试猜想球的表面积与球的体积公式 的特点.   分析: 球的大小与球的半径有关, 球的半径确定了, 则球 的大小就确定了. 因此, 球的表面积与球的体积都应与 R 有 关, 且是 R的函数. 即 R确定了, 则球的表面积和体积就确定 了.
2 3   由此可以猜测球的表面积与 R 成正比, 球的体积应与 R

4 π3 球的体积公式为: V R. 球 = 3    反思小结: 1 ° 球的表面积公式是怎样的? 设球的半径为 R , 则球的表面积为
2 S  4 R  . π 球 =

即球的表面积等于它的大圆面积的 4  倍. 2 ° 球的体积公式是怎样的? 设球的半径为 R , 则球的体积公式为 V   球 = 4 3 R  . π 3

成正比.

·2 1 ·

 人教版·高中数学 A版必修②教案 二层练习】   【
  2 . 一个球的半径扩大为原来的 3倍, 那么这个球的表面 积扩大为原来的几倍?这个球的体积扩大为原来的几倍?   解: 设这个球原来的半径为 r , 则这个球扩大后的半径为 3 r , 设原球的表面积和体积分别为 S , 扩大后的球的表 1和 V 1 , V , 面积和体积分别为 S 2 2 4 3 2 ∵S 4 r , V r , π π 1= 1= 3
2 2 ∴S 4 ( 3 r ) = 9 r , π π 2=

( 1 ) 球的体积等于圆柱体积的

2 ; 3

( 2 ) 球的表面积等于圆柱的侧面积.   分析: 球的体积与球的表面积都是 R的函数, 要得到球的 体积与球的表面积, 关键是确定球的半径, 注意到本题球与圆 柱的关系( 实质上球是圆柱的内切球) , 可得到球半径与圆柱 的底面半径及高之间的关系, 由此不难得到本题的证明.   证明: ( 1 ) 设球的半径为 R , 则圆柱的底面半径为 R , 高为 2 R . 4 3 因为V R, π 球 = 3
2 3 V R ·2 R= 2 R , π π 圆柱 =

4 4 3 2 V ( 3 r ) = 2 7 · π r , π 2= 3 3 ∴ S V 2 2 = 9 , = 2 7 . S V 1 1

2 所以, V V . 球 = 3 圆柱
2 ( 2 ) 因为 S 4 R , π 球 = 2 S 2 R ·2 R= 4 R , π π 圆柱侧 =

因此, 一个球的半径扩大为原来的 3倍, 这个球的表面积 体积扩大为原来的 2 7倍. 扩大为原来的 9倍,   3 . 已知正方体的棱长为 a . ( 1 ) 若一球和正方体各棱相切, 求球的表面积和体积; ( 2 ) 若正方体的顶点都在同一个球面上, 求这个球的表面 积和体积.   解: ( 1 ) 由已知, 球的直径就是正方体的对棱之间的距离, 2 槡 R= 2 a , ∴R= a , 即2 槡 2 4 槡 2 3 2 = 2 2 ∴S 4 R = 2 a , V a. π π π a 槡π 球 = 球 = 3 3 2 ( 2 ) 由已知, 球的直径为正方体的对角线长, 3 槡 ∴2 R= 3 a , ∴R= a , 槡 2 ∴S 4 R= 3 a, π π 球 = 4 3 4 3 3 3 = V R= × 槡 a. π a 槡π 球 = 2 3 3 2    反思小结: 1 ° 球的表面积和体积由球的半径 R唯一确定, 要求球的 表面积和体积关键是确定球的半径. 2 ° 对于棱长为 a的正方体的内切球, 外接球和各棱相切
2 2

所以, S S 球 = 圆柱侧 .    反思小结: 求组合体的表面积和体积的关键是弄清楚组合体由哪几 个简单几何体构成, 并清楚具体的组合结构 ?



( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分      

( )



3 2 1 ?球的体积为 π , 则此球的表面积为 3 A . 1 2 π 1 6 C . π 3 B . 1 6 π 6 4 D . π 3 4 3 3 2 R= π , ∴R= 2 , π 3 3

(B)

( )



  解: 设球的半径为 R , 则

2 ∴S 4 R = 1 6 , 选B ? π π 球 =

2 ?长方体一个顶点上的三条棱的长分别为 3 , 4 , 5 , 且它的八 个顶点都在同一球面上, 这球的体积是 A . 2 0 2 π 槡 C . 5 0 π B . 2 5 2 π 槡 (C)

D . 2 0 0 π a 球的直径为长方体的体对角线长, 的球的半径与棱长的关系要掌握. 它们分别是 r , r =   解: 内 = 2 外 2 2 2 ∴2 R=槡 3 =槡 5 0 , + 4 + 5 3 2 槡 槡 2 2 a , r a ? 棱 = ∴S 4 R= ( 2 R )= 5 0 , 选C ? π π π 球 = 2 2

三层练习】   【
4 . 如图 1 . 2- 2 4 , 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:


1 ?球的体积公式和表面积公式是解决与球有关的问题的 基本工具, 其关键是确定球的半径 ? 一种是内切, 一种是外接 ?解题 2 ?与球有关的组合问题, 时要认真分析图形, 明确切点和接点的位置, 确定有关元素间 的关系, 并作出合适的截面图 ?例如, 球内切于正方体, 切点





为正方体各个面的中心, 正方体的棱长等于球的直径; 球外接 于正方体, 正方体的顶点均在球面上, 正方体的体对角线等于 球的直径, 等等 ? 3 ?球与旋转体的组合, 通常作它们的轴截面图解题; 球与 多面体的组合, 通常过多面体的一条侧棱和球心, 或“ 切点” 、 “ 接点” 作出它们的截面图解题 ?

图1 . 3- 2 4

·2 2 ·

 第一章  空间几何体 



基础训练 一、 选择题 1 . 若两个球的表面积之比为 1 ∶4 , 则它的体积之比为 1 A . 1 6 1 . C 4 1 . B 8 1 . D 2 (B)

 
图1 . 3- 2 5
2   解: 水面高度升高 r , 则圆柱体积增加 π R ·r , 恰好是半



因为两个球的表面积之比为 1 ∶4 , 所以它们的半径之   解: 比为 1 ∶2 , 故两球的体积之比为 1 ∶8 , 选B . 2 . 正方体的内切球与外接球半径之比为 A . 3 ∶1 槡 C . 3 ∶3 槡 . B 3 ∶2 槡 (C)

的实心铁球的体积, 径为 r 因此, 有 4 3 R 23 2 r= R r , 故 = 槡. π π 3 r 3

三、 解答题 . 2 ∶槡 3 D 7 . 球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C , 如果 P A 、 P B 、 P C两两互相垂直, 设正方体的棱长为 a , 内切球的半径为 r , 外接球的半   解: A= P B= P C= a . 求这个球的表面积. 且P 径为 R ,   解: ∵P A 、 P B 、 P C两两互相垂直, 将三棱锥补成一个以 P a 3 a 槡 . 为顶点的正方体, 则a = 2 r , ∴r = , a = 2 R , ∴R= 3 2槡 2 又P A=P B=P C=a . ∴ 正方体的对角线长就是球的直 a 径, r 2 槡 3 故 = = , 故选 C . R 槡 3 a 3 3 槡 ∴2 R= 3 a , ∴R= a , 槡 2 2 3 . 将半径为 a 的半圆绕着它的直径所在的直线旋转 1 2 0 ° , 所 得几何体的体积为 1 3 A . π a 3 2 3 C . π a 3 4 3 B . π a 9 8 3 D . π a 9 (B) 3 2 2 ∴这个球的表面积 S 4 R = 4 3 a . π π 槡a = π 球 = 2 8 ?一个倒立的圆锥形容器, 它的轴截面是正三角形. 在这容器 内注入水并且放入一个半径为 r 的铁球, 这时水面恰好与 球上表面相切, 问将球从圆锥内取出后, 圆锥内水平面的高 是多少?    解: 设 球 未 取 出 时, 水面高 P C= h , 球取出后水面高为 P H=x

( )



1 1 4 3 4 3   解: V= V = × π a= π a, 故选 B . 3 球 3 3 9 4 . 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 , 体积为 1 6 , 则这个球的表面积是 A . 1 6 π C . 2 4 π B . 2 0 π D . 3 2 π

  

   



如图 1 . 3- 2 6 ) . (C) ( ∵A C= 3 r , P C= 3 r . 槡 ∴以 A B为底面直径的圆锥 容积为 V 圆锥 1 2 = π ·A C ·P C= 3


图1 . 3- 2 6

  解: 由题意可知正四棱柱的体对角线长等于球的直径.
2 设正四棱柱的底面边长为 a , 球的直径为 2 R , 则4 a = 1 6 ,

a = 2 . 2 R=槡 , ∴ R= 6 , S 4 R= a+ a+ 1 6=槡 2 4= 2 6 π 表 = 槡 槡 2 4 , 故选 C . π 二、 填空题 5 . 一个正方体的顶点都在球面上, 棱长为 2 , 那么这个球的体 积为 4 3  . π 槡   解: 设球的半径为 R , 则槡 R 3 , 3× 2= 2 ?R= 槡 4 3 ∴V ·( ) = 4 3 . 3 π π 球 = 槡 槡 3 6 . 如图 1 . 3- 2 5 , 一个底面半径为 R的圆柱形量杯中装有适量 的水, 若放入一个半径为 r 的实心铁球, 水面高度恰好上升 r , 则 R 23 =   槡  . r 3
2 2 2

1 2 3 (3 r ) ·3 r = 3 r , π π 3 槡 4 3 V r , π 球 = 3 F . 球取出后水面下降到 E 1 2   水的体积为 V E H ·P H π 水 = 3 1 2 = π ( P H ·t a n 3 0 ° ) ·P H 3 1 3 = π x, 9 而V V V球 , 水 = 圆锥 - 即
3 1 3 4 3 3 x= 3 r - π r , ∴x =槡 ·r . 1 5 π π 9 3 3

∴球取出后水面的高度为 槡 ·r . 1 5

·2 3 ·

 人教版·高中数学 A版必修②教案
拓展提升 , R , 求证: R ?设正四面体的内切球与外接球的半径分别为 r = 3 r .   证明: 设正方体的棱长为 a , 底面面积为 S , 高为 h . 如图 1 - 3- 2 7所示. B C的中心, 则P O B C . 其中 O O O ⊥ 平面 A 1 为底面 A 1 1为 内切球半径 r . O P为外接球半径 R , 球心为 O . ∵ O到四个面的距离都相等, 且为内切球的半径 r , V V V V . 且V P- A B C= O- A B C+ O- P B C+ O- P A C+ O- P A B 1 1 S h = 4 · S ·r , 3 3

      
图1 . 3- 2 7

 



1 3 ∴r = h , 从而 R= h - r = h . 4 4 故 R= 3 r .

 第一章 空间几何体( 小结与复习)

从复杂的几何体中分解出我们熟悉的简单组合体, 而且要画


1            ?通过小结与复习, 构建本章的知识结构 ? 2 ?进一步认识柱、 锥、 台、 球及其简单组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构. 3 ?能画简单空间图形的三视图、 直观图, 根据三视图能画 出它的直观图 ? 4 ?会求简单几何体的表面积和体积 ?

出三视图和直观图, 定量研究需要计算的面积和体积 ? 2 ° 空间几何体→简单几何体 → 柱、 锥、 台、 球, 体现出转化 的思想 ?计算空间几何体表面积, 通过将其侧面展开, 也体现 了转化的思想 ? 3 ° 由空间几何体, 画出其三视图和直观图, 再由三视图和 直观图想象出空间几何体, 两者之间相到转化, 可以有效培养 我们几何直观能力和空间想象能力 ?


一层练习】   【
  1 ?图 1- 1是本章的知识结构图, 试根据知识结构图回顾 本章的基本知识和基本方法 ?
!"#$ %&'( 2  3  4  56'(78 9:;<%&'=78 >?@ABCD@A ! " # $ % !"#$% &)*+, -.+ !"#$%6)*+ 9:;<%6)*+ !"#$%6-.+ /01 %1 /01 %1 E F G H I

二层练习】   【
2 . 下列结论正确的是 A . 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B . 以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转 形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C . 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, 则该棱锥可 能是六棱锥 D . 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线   解: A错误, 如图 1- 2 , 由两个结 构相同的三棱锥叠放在一起构成的 几何体, 各面都是三角形, 但它不是 棱锥 ? 3 , 若 △A B C不 B错误 ?如图 1- 是直角三角形 ?或是直角三角形但 旋转轴不是直角边, 所得的几何体都 不是圆锥 ?
图 1- 2

(D)

    

!"#$% &/01, %1

2  3  46 J01B%1 5&/01 B%1
图 1- 1





 

  
图 1- 3



反思小结:
1 ° 我们生活中接触到的各样物体, 大多是由柱、 锥、 台、 球 形状的物体组成, 我们研究空间几何体, 不仅要了解其结构,

·2 4 ·

 第一章  空间几何体 
  C错误 ?若六棱锥的所有棱都相等, 则底面多边形是正 六边形 ?由几何图形知, 若以正六边形为底面, 侧棱必然要大 于底面边长 ? ∴ 几何体的全面积 = 2× 1 1 1 × 6× 5+ × 6× 6+ × 6 2 2 2



, 故选 A ? 2× 4= 4 8+ 1 2 2 D正确 ?由顶点、 底面圆周上一点, 及底面圆的圆心可得 槡 槡 . 如图 1- 7 , 已知正三棱   5 到旋转的直角三角形 ?    3 ? ( 2 0 1 0 · 广 东 卷) 如 图 1-4 , B C为 正 三 角 形, A A ′ B ′ C ′ , △A ∥B ∥C C C ′ B C , 且3 A A ′ = ⊥平面 A 3 B B ′ =C C ′ 2

  
图 1- 6



柱A B C-A B C 1 1 1 的底面边长 , 高为 8 , 一质点自 A点出 为1 发, 沿着三棱柱的侧面绕行 两 獉 周到达 A 1 点的最短路线的长 獉 为 1 0  ?



  
图 1- 4

= A B , 则多面体 A B C-A ′ B ′ C ′ 的正视图 ( 也称主视图) 是 (D)

 
 



      


  

 
图 1- 7

           
图 1- 8





  解: 将两个正三棱柱 A A 如图 1- 8 , 则最短路 1 剪开拼接,
2 2 =槡 6 = 1 0 . 线为 l + 8

   反思小结:


图 1- 5



1 ° 对几何体的定义的理解要准确, 要善于举反例否定错 误选项 ? 2 ° 对于三视图, 要求掌握如下几点:   ①能画出简单几何体( 包括组合体) 的三视图;   ②能识别三视图所表示的几何模型, 并运用斜二测画法

  解: 在三视图中, 分界线和可见轮廓线都用实线画出, 不 可见轮廓线, 用虚线画出 ?根据正视图的意义, 可知选 D ?

. ( 2 0 0 9 ·海南 / 宁夏卷) 一个棱锥的三视图如图 1- 6 , 画出其直观图 ?   4 3 ° 几何体的表面积的计算, 关键是弄清各个面的形状, 计 2 则该棱锥的全面积( 单位: c m) 为 (A) 算时, 要做到目标明确 ? 4 ° 几何体表面上两点之间的距离最大、 最小问题常采用 展开图, 将其转化为平面上两点间的距离问题 ?

三层练习】   【
6 . 如图 1- 9 , 是一个奖杯的三视图( 单位: c m ) , 底座是正 四棱台.






图 1- 6



A . 4 8+ 1 2 2 槡 C . 3 6+ 1 2 2 槡

B . 4 8+ 2 4 2 槡 D . 3 6+ 2 4 2 槡




  解: 先由三视图画出其直观图, 直观图如图 1- 7所示: C D= 9 0 ° , B C= C D= 6 , A O= 4 , ∠B A O C D , O E D于 E , 则O E= 3 , ⊥平面 B ⊥C ∴A E= 5 ,

图 1- 9

·2 5 ·

 人教版·高中数学 A版必修②教案

( 1 ) 求这个奖杯的体积( . 1 4 ) ; π取 3 2 ) 求这个奖杯底座的侧面积. ( 4 3   解: ( 1 ) 球的体积是 V r= 3 6 ; π π 球 = 3 圆柱的体积是 V S h 6 4 ; π 圆柱 = 1= 正四棱台的体积是 V 正四棱台 = = 3 3 6 ;


  1 ?对于多面体的结构特征, 要从其反映的几何体的本质 去把握 ?棱柱、 棱锥、 棱台是不同的多面体, 但它们也有联系: 棱柱可以看成上、 下底面全等的棱台; 棱锥可以看成是上底面

它们的侧面积和体积公式可以分别 缩为一点的棱台 ?因此, 1 h ( S S S 2 上 +槡 下 ) 统一为一个公式 ? 上 S 下 + 3 2 ? 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的 ?一 定要弄清圆柱、 圆锥、 圆台、 球分别由哪一种平面图形旋转生 成的, 从而可掌握旋转体中各元素的关系, 进一步掌握它们各

3 此几何体的体积是 V= 1 0 0 3 3 6= 6 5 0 ( c m ) . π+

b a 2 2 ( 2 ) 底座是正四棱台, 它的斜高是 h ′ = ( - ) + h 2 自的性质 ? 2 2 有关柱、 锥、 台、 球的表面积和体积的计算, 应以公式为 3 ? = 5 , 基础, 充分利用几何体中的矩形、 直角三角形、 直角梯形求有 1 2 所以它的侧面积是: S ( c + c ′ ) h ′ = 1 8 0 ( c m ) . 侧 = 2 关的几何元素 ?



   反思小结:   本题考查主要考查三视图、 球、 柱、 台等侧面积、 体积的计 算及空间想象能力.

4 ? 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式 ?三视 图可以使我们很好地把握空间几何体的性质 ?由空间几何体 可以画出它的三视图, 同样由三视图可以想象出空间几何体 的形状, 两者之间可以互相转化 ?



( 时量: 5分钟, 满分 2 0分) 得分      


基础训练 一、 选择题 1 ?圆台的轴截面是 A . 矩形 C . 圆 能是 A . 三棱柱 C . 圆锥 B . 四棱锥 D . 圆柱 B . 等腰梯形 D . 三角形 (D) (B)

1 ?如图 1- 1 0 , 半球内有一个内接正方体, 正方体的一个面在 , 则此半球的半径为 半球的底面圆内, 若正方体的棱长为 a (   ) A . a 3 槡 C . a 2 槡    解法 1 : R=


6 槡 B . a 2 D . a

槡 ( )
6 槡

2 2 槡 6 a = a , 选 a+ 2 2

2 ?如果一个几何体的正视图是三角形, 那么这个几何体不可
图 1- 1 0

B ? : 将其补成一个球, 其相应的正方体补成一个长方   解法 2 体,则 长 方 体 对 角 线 的 长 为 球 的 直 径,即 2 R= ∴R= , 选B ? a+ a+ ( 2 a ), 槡 2 2 . ( 2 0 0 9 ·辽宁卷) 设某几何体的三视图如图 1- 1 1 ( 尺寸的 长度单位为 m ) :
2 2 2

3 ? 在棱长为 1的正方体上分别用过公共顶点的三条棱的中点 的平面截该正方体, 则截去八个三棱锥后, 剩下的凸多面体 的体积是 2 A . 3 4 C . 5 7 . B 6 5 D . 6 1 1 1 × × 2 3 2 (D)

  解: V= V 8 V 1- 8× 正方体 - 三棱锥 = 5 = , 故选 D ? 6

( )



= 1-

1 6

4 ?一个四面体的所有棱长都为槡 , 四个顶点在同一球面上, 则 2 此球的表面积为 A . 3 π C . 3 3 π 槡
图 1- 1 1
3 则该几何体的体积为 4  m .

(A) B . 4 π D . 2 5 6 π

  解: 将其补形成一个棱长为 1的正方体, 四面体的每一条 棱是正方体的面对角线, 其外接球就是正方体的外接球, ∴2 R
2 = 3 , ∴S 4 R2 = ( 2 R ) 3 , 故选 A ? π π= π 球 = 槡 二、 填空题

  解: 还原三视图原几何体为三棱锥 ? 1 1 V= · ·3 ·4 ·2= 4 ? 3 2

5 . 一个正三棱台的两个底面的边长分别等于 8c m和 1 8c m ,
2 3c m , 则它的侧面积等于 4 6 8 c m  ? 侧棱长等于 1

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 第一章  空间几何体 
6 . 将一钢球投入底面半径为 4c m的圆柱形容器中, 水面上升    解: 由条件知, 四棱锥容器的为一个正四棱锥, 如图 1- 2 2 1 5 , 其底面为正方形, 底面边长 a = x , 斜高 h ′ = 5 , c m , 则钢球的全面积为 1 6 m  ? πc 3 2 a2 x 2 4 3 2 ∴高 h = h = 2 5- ? - 2   解: 设钢球的半径为 R , 则 π R= ·4 × , ∴R= 2 , π 2 4 3 3 2 2 1 1 2 x 4 R = 1 6 ? 故S π π 球 = ·h = ·x · 2 0< x < 1 0 ) ? ∴V= S 5- ( 3 3 4 三、 解答题 2 7 ?直角三角形三边长分别为 3c m 、 4c m 、 5c m , 绕斜边旋转一 12 x 即所求的函数关系为 v = x · 2 0< x < 1 0 ) ? 5- ( 3 4 画出 周形成一个几何体 ?想象并说出这个几何体的结构, 它的三视图, 求出它的表面积和体积. 拓展提升   解: 如图 1- 1 2 , 直角三角形绕斜边旋转一周, 所得几何体 为两个圆锥的组合体 ? 2 0 0 7 ·广东卷) 已知某几何体的俯视图是如图 1- 1 6所示 ?(

槡 ( ) 槡 槡



的矩形, 正视图( 或称主视图) 是一个底边长为 8 , 高为 4的 , 高为 等腰三角形, 侧视图( 或称左视图) 是一个底边长为 6
 

4的等腰三角形.



 
图 1- 1 2

其三视图如图 1- 1 3所示:

图 1- 1 6

( 1 ) 求该几何体的体积 V ; ( 2 ) 求该几何体的侧面积 S .   解: 由已知可得该几何体是高为 4 , 其底面长和宽分别为 8和 6的矩形, 顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥 V-
 

A B C D



 

图 1- 1 3

 
图 1- 1 7





1 2 1 它们公共的底面半径 r = , 母线长分别为 l 3 , l 4 ,   ( 1= 2= 1 ) V= ×( 8× 6 4= 6 4 . )× 5 3 高的和为 h h 5 . 1+ 2= 1 2 8 4 2 ∴S r l r l 3+ 4 )= π c m ? π π π× ( 表 = 1+ 2= 5 5 22 1 2 1 1 4 8 3 V= π r ( h h )= π × 5= π c m ? 1+ 2 5 5 3 3 8 ?一块边长为 1 0c m的正方形铁片按如图 1- 1 4所示的阴影 部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一 个正四棱锥( 底面是正方形, 从顶点向底面作垂线, 垂足是 底面中心的四棱锥) 形容器, 试把容器的容积 V表示为 x 的 函数.  ( 2 ) 该四棱锥有两个侧面 V A D 、 V B C是全等的等腰三角 C边上的高为 形, 且B
2 h 4 + 1= 2

( )

槡 ( )

8 2

= 4 2 , 槡

另两个侧面 V A B 、 V C D也是全等的等腰三角形,
2 A B边上的高为 h 4 + 2=

6 槡 ( 2)



= 5 ,

1 1 = 2× ( × 6× 4 2+ × )= 4 0+ 2 4 2 . 因此 S 8× 5 槡 槡 2 2




   
图 1- 1 5


  


图 1- 1 4

 



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