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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第五章 第二节 等差数列及其前n项和

第五章 第二节 等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1.设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 S3 =9,S5 =20,则 a7 +a8 +a9 =( A.63 C.36 B.45 D.27 ) )
[来源: *科*网] 学

2.设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 a2 +a8 =15-a5 ,则 S9 等于( A.18 C.45 B.36 D.60
2 2

3.在等差数列{an }中,an <0,a3+a8 +2a3 a8 =9,那么 S10 等于( A.-9 C.-13 B.-11 D.-15

)

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数, 则它的公差为( A.-2 C.-4 ) B.-3 D.-6 )

5.设 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和,若 a1 =1,公差 d=2,Sk+2 -Sk=24, k=( 则 A.8 C.6 B.7 D.5

6.数列{an }的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn =an +1 -an (n∈N* ).若 b3 =-2,b10 =12, 则 a8 =( A.0 C.8 二、填空题
[来源:Z k.C m] xx o

) B.3 D.11

7.在等差数列{an }中,a3 +a7 =37,则 a2 +a4 +a6 +a8 =________. 8.等差数列{an }前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 =1,ak+a4 =0,则 k=________. 9.在等差数列{an }中,a1 =2,a2 +a5 =13,则 a5 +a6 +a7 =________. 三、解答题 10.已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且满足:a2 +a4 =14,S7 =70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn +48 (2)设 bn = ,则数列{bn }的最小项是第几项?并求出该项的值. n
[来源:学 网] .科.

11.设 a1 ,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an }的前n 项和为 Sn ,满足 S5 S6 +15=0. (1)若 S5 =5,求 S6 及 a1 ; (2)求 d 的取值范围.

[来源:学 科 网] _ _

1 12.已知 Sn 是数列{an }的前 n 项和,Sn 满足关系式 2Sn =Sn -1 -( )n -1 +2(n≥2,n 为正 2 1 整数),a1 = . 2 (1)令 bn =2 an ,求证数列{bn }是等差数列,并求数列{an }的通项公式; (2)在(1)的条件下,求 Sn 的取值范围.
n

详解答案
一、选择题

[ 来源: Z|x x|k .Co m]

1.解析:由 S3 = 9,S5 =20,得 d=1,a1 =2,∴a7 +a8 +a9 =3a8 =3(a1 +7d)=3×9= 27. 答案:D 2.解析:∵{an }为等差数列,a2 +a8 =15-a5 ∴3a5 =15,即 a5 =5. ∴S9 = 9?a1 +a9 ? =9a 5 =45. 2

答案:C 3.解析:由 a2 +a2 +2a3 a8 =9,得(a3 +a8 )2 =9,∵an <0, 3 8

10?a1 +a10? ∴a3 +a8 =-3,∴S10 = =5(a3 +a8)=5×(-3)=-15. 2 答案:D 4.解析:an =23+(n-1)d,由题意知,?
?23+5d>0 ? ?23+6d<0 ? ? ?a6 >0 ? ?a7 <0



即?

23 23 ,解得- <d<- , 5 6

又 d 为整数,所以 d=-4. 答案:C 5.解析:依题意得 Sk+ 2 -Sk=ak+ 1 +ak+2 =2a1 +(2k+1)d=2(2k+1)+2=24,解得 k= 5. 答案:D 6. 解析:因为{bn }是等差数列,且 b3 =-2,b10 =12, 故公差 d= 12-?-2? =2.于是 b1 =-6, 10-3

且 bn =2n-8(n∈N*),即 an+ 1 -an =2n-8, 所以 a8 =a7 +6=a6 +4+6=a5 +2+4+6=…=a1 +(- 6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6 =3. 答案:B 二、填空题 7.解析: 依题意得 a2 +a4 +a6 +a8 =(a2 +a8 )+(a4 +a6 )=2(a3 +a7)=74. 答案:74 8.解析:设{an }的公差为 d,由 S9 =S4 及 a1 =1, 得 9×1+ 9×8 4×3 d=4×1+ d, 2 2

1 所以 d=- .又 ak+a4 =0, 6 1 1 所以[1+(k-1)×(- )]+[1+(4-1)×(- )]=0. 6 6 即 k=10. 答案:10 9.解析:由 a1 +a6 =a2 +a5 得 a6 =11. 则 a5 +a6 +a7 =3a6 =33. 答案:33 三、解答题

10.解:(1)设公差为 d,则有?
?a1 +2d=7, ? ? ?a1 +3d=10. ?a1 =1, ? ? ?d=3.

?2a1 +4d=14 ? ? ? 7a1 +21d=70



即?

解得?

.

所以 an =3n-2. 3n -n n (2)Sn = [1+(3n-2)]= 2 2 3n2 -n+48 48 所以 bn = =3n+ -1≥2 n n 当且仅当 3n= 48 ,即 n=4 时取等号, n 48 3n· -1=23. n
2

故数列{bn }的最小项是第 4 项,该项的值为 23. -15 11.解:(1)由题意知 S6 = =-3,a6 =S6 -S5. S5 所以 a6 =-3-5=-8, 所以?
?5a1 +10d=5 ? ? ?a1 +5d=-8



解得 a1 =7,所以 S6 =-3,a1 =7. (2)因为 S5 S6 +15=0,所以(5a1 +10d)(6a1 +15d)+15=0,即 2a2 +9a1 d+10d2 +1=0. 1 两边同乘以 8,得 16a2 +72a1 d+80d2 +8=0, 1 化简得(4a1 +9d)2 =d2 -8. 所以 d2 ≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 1 1 1 12. (1)由 2Sn =Sn -1 -( )n -1 +2, 2Sn+ 1 =Sn -( )n +2, 解: 得 两式相减得 2an +1 =an +( )n , 2 2 2 上式两边同乘以 2n 得 2n+ 1 an +1 =2n an +1, bn+ 1 =bn +1, 即 所以 bn+ 1 -bn =1, 故数列{bn } 是等差数列, 1 且公差为 1, 又因为 b1 =2a1 =1, 所以 bn =1+(n-1)×1=n, 因此 2n an =n, 从而 an =n· )n . ( 2 1 n -1 1 n- 1 1 n- 1 (2)由于 2S n =Sn -1 -( ) +2,所以 2Sn -Sn - 1 =2-( ) ,即 Sn +an =2-( ) ,Sn =2 2 2 2 1 1 1 1 1 -( )n- 1 -an ,而 an =n· )n ,所以 Sn =2-( )n - 1 -n· )n =2-(n+2)· )n. ( ( ( 2 2 2 2 2 n+1 1 1 所以 Sn + 1 =2-(n+3)· )n+ 1 ,且 Sn +1 -Sn = n + 1 >0,所以 Sn ≥S1 = ,又因为在 Sn =2 ( 2 2 2 1 1 -(n+2)· )n 中,(n+2)· )n >0,故 Sn <2, ( ( 2 2

1 即 Sn 的取值范围是[ ,2). 2


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