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高一数学必修5第2章数列复习提纲 2


专题一
?

等差数列的定义及其应用

定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的________的差等于____________,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的_____,通常用字母____表示.

符号语言: an?1 ? an ? d (常数)或 an ? an?1 ? d (常数) (n≥2) ? 定义的应用: 1.判断一个数列是否为等差数列 定义法: an?1 ? an ? d (常数)或 an ? an?1 ? d (常数) (n≥2)?{an}为等差数列. 例题: 1.已知数列 ?an ?的通项公式为 an ? 3n ? 2 ,求证:数列 ?an ?为等差数列 2.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 4, an ? 4 ?

4 1 (n ? 1), 记 bn ? . an ?1 an ? 2

(1)求证:数列 ?bn ?是等差数列.(2)求数列{an}的通项公式.

? 4, 1 1 * 3.已知数列 ?an ?满足 a1 ? , 且当 n ? 1, n ? N 时,有 an ?1 2an ?1 ? 1 设 bn ? , n ? N *. ? , 5 an an 1 ? 2 an
(1)求证:数列 ?bn ?为等差数列. (2)试问 a1a2 是否是数列 ?an ?中的项?如果是,是第几项; 如果不是,请说明理由. 2.求等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d (1)累加法:由 a2―a1=d(常数) ,a3―a2=d ,? ,an―an―1=d,得(a2―a1)+(a3―a2)+? +(an―an―1)=(n-1) d,? an ? a1 ? (n ?1)d 归 纳 猜 想 法 : 由 a2 ― a1=d ( 常 数 ) 得 ?a2 ? a1 ? d ; a3 ? a2 ? d ? a1 ? d ? d ? a1 ? 2d ; 同 理 可 得

? an ? a1 ? (n ?1)d
(2)等差数列通项公式的应用: ① 已知 an , a1 , n, d 中任何三个量可求出另一个量(知三求其它) ,注意方程思想的运用.当中隐含着一种解

题方法—基本量法:把问题中的 an 全部转化为 a1和d 来表示,然后再解方程或方程组。基本量法可以解决数 列中的所有问题。 ② 已知等差数列的任意两项,可以确定等差数列中的任意一项. ③ 判断一数列是否是等差数列. an ? An ? B ? 数列 ?an ?为等差数列 , A为公差 .(此种方法只适用于小题) 例题: 4.已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n,则它的公差 d 为( A.2 B.3 C.-2 * 5.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N ),则 a101 的值为( ) D.-3 )

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 1

A.49 B.50 C.51 D.52 6.等差数列{an}的公差 d<0,且 a2· a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( ) A.an=2n-2 (n∈N*) B.an=2n+4 (n∈N*) C.an=-2n+12 (n∈N*) D.an=-2n+10 (n∈N*) 7.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________. 8.已知数列{an}为等差数列,且 a10 ? 23, a25 ? ?22. a25=-22.求 an . . 3.求等差中项: A ?

a?b 2

(1)定义:如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,它们之间的关系式是 A ? (利用等差数列定义推导:? a,A,b 成等差数列,? A-a=b-A,? A ?

a?b 2

a?b ) 2

(2)等差中项的应用: 判断一个数列是否为等差数列,如若 an,an+1,an+2 满足 2an+1=an+an+2,则数列{an}为等差数列. (因为 2an+1=an+an+2 等价于 an+1-an=an+2-an+1,由定义知数列{an}为等差数列.) 例题: 9.已知等差数列{an}中, a5 ? a6 ? a7 ? 15, a5 .a6 .a7 ? 45, 求数列{an}的通项公式. 10.△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( ) A.30° B.60° C.90° a 11.一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则 等于( ) b 1 1 1 A. B. C. 4 2 3 1 1 12.已知 a= ,b= ,则 a、b 的等差中项是_____________. 3+ 2 3- 2 D.120° 2 D. 3

专题小结:谈谈你对本专题知识的理解,学会了什么解题方法?

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 2

例题答案
1.证明:∵ an?1 ? an ? 3(n ? 1) ? 2 ? (3n ? 2) ? 3 ,∴数列 ?an ?为等差数列 2.(1)证明 ∵an=4- ∴bn+1-bn= 1 4 -

an-1

(n≥2),∴an+1=4- 1 = 1 2- 4 -

4

an

(n∈N ).

*

an+1-2 an-2

1 an 1 an-2 1 = - = = . an-2 2?an-2? an-2 2?an-2? 2

an

1 1 1 * ∴bn+1-bn= ,n∈N .∴{bn}是等差数列,首项为 ,公差为 . 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n 2 (2)解 b1= = ,d= .∴bn=b1+(n-1)d= + (n-1)= .∴ = ,∴an=2+ . a1-2 2 2 2 2 2 an-2 2 n an-1 2an-1+1 1-2an 2an-1+1 * 3.(1)证明 当 n>1,n∈N 时, = ? = an 1-2an an an-1 1 1 1 1 1 ? -2=2+ ? - =4?bn-bn-1=4,且 b1= =5.∴{bn}是等差数列,且公差为 4,首项为 5.

an

an-1 an an-1

a1

1 1 (2)解 由(1)知 bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴an= = ,n∈N*. bn 4n+1 1 1 1 1 1 ∴a1= ,a2= ,∴a1a2= .令 an= = ,∴n=11.即 a1a2=a11,∴a1a2 是数列{an}中的项,是第 11 项. 5 9 45 45 4n+1 4.答案 C 5.5.答案 D 6.6.答案 3 1 5 1 n 7.7.∴d= ,an= +(n-1)× = +1. 4 4 4 4 8.设 an=a1+(n-1)d,则 a10=23=a1+9d.①a25=-22=a1+24d.② 解①②得 a1=50,d=-3.∴an=-3n+53. 9.解:由 a5+a6+a7=15,得 3a6=15,∴a6=5. ?a5+a7=10, ?a5=1, ?a5=9, ? ? ? 由已知可得? 解得? 或? ? ? ? ?a5·a7=9. ?a7=9, ?a7=1. 当 a5=1 时,d=4,从而 a1=-15,∴an=-15+(n-1)×4=4n-19. 当 a5=9 时,d=-4,从而 a1=25,∴an=25+(n-1)×(-4)=-4n+29. 综上数列的通项公式为 an=4n-19 或 an=-4n+29. 10.答案 B

11.答案 B 解析 设前三项分别为 a-d,a,a+d,则 a-d+a+a+d=12 且 a(a-d)(a+d)=48,解得 a=4 且 d=±2,又{an}递增,∴d>0,即 d=2,∴a1=2. 12.答案 1 5 5 3 7 an= n+1 解析 ∵a+(3-a)=2(2a-1),∴a= .∴这个等差数列的前三项依次为 , , . 4 4 4 2 4

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 3

专题二
?

等差数列的性质及其应用

推广后的通项公式:已知 am , d , 则 an ? am ? (n ? m)d . am-an =d. m-n 在等差数列{an}中,对于任意的正整数 m、n、p、q,若 m+n=p+q.则 am+an=ap+aq.(该性质是等差 数列中最重要的一个性质,常常考察) 特别地若 p+q=2r,则 a p ? aq ? 2ar .

推导过程: an ? a1 ? (n ? 1)d , am ? a1 ? (m ? 1)d 两式相减得 an ? am ? (n ? m)d . 移项得 an ? am ? (n ? m)d . 变式: ? ?

例题: 1.(辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( ) A.12 B.16 C.20 D.24 2.在等差数列{an}中,已知 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+?+a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 3.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=______. 4.等差数列{an}中:若 a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,且 a4>a2,则 an=______. 1 5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m-n|=________. 4 6.在 3 与 27 之间插入 7 个数,使这 9 个数成等差数列,则插入这 7 个数中的第 4 个数值为( ) A.18 B.9 C.12 D.15 7.在数列{an}中,a3,a10 是方程 x2-3x-5=0 的两根,若{an}是等差数列,则 a5+a8=______. 8.三个数成等差数列,它们的和等于 18,它们的平方和等于 116,则这三个数为________________. 3 9.△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30° ,△ABC 的面积为 ,那么 b=______. 2 21 1 ?1? 10.数列{an}是等差数列,bn= ? ? , 又 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求通项公式 an. 8 8 ?2?
an

专题小结:谈谈你对本专题知识的理解,学会了什么解题方法?

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 4

例题答案:
1.解析:方法一:设等差数列的公差为 d,则 a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d=16. ∴a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d=16. 方法二:a2+a10=a4+a8=16. 2.∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12.∴a4=4. ∴a1+a2+?+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 3.方法一:因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以

64 ? a1 ? ? ?a1 ?14d ? 8 64 4 ? 15 , 解得? , 故a 75 ?a1 ?74d ? ? 74? ? 24. ? 15 15 ?a1 ?59d ? 20 ?d ? 4 ? 15 ?
方法二:因为{an}为等差数列,所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列. 设其公差为 d,a15 为首项,a60 为其第四项,所以 a60=a15+3d,得 d=4.所以 a75=a60+d=20+4=24. 4.∵a2+a3+a4+a5=34 且 a3+a4=a2+a5,∴2(a2+a5)=34.∴a2+a5=17.又 a2· a5=52, ∴?
?a2=4, ? ? ?a5=13 ?a2=13, ? 或? ? ?a5=4.

1 1 1 1 1 1 1 1 +3d?=2,∴d= , 解析 由题意设这 4 个根为 , +d, +2d, +3d.则 +? ? 2 4 4 4 4 4 ?4 2 1 3 5 7 1 7 7 3 5 15 15 7 1 ∴这 4 个根依次为 , , , ,∴n= × = ,m= × = 或 n= ,m= ,∴|m-n|= . 4 4 4 4 4 4 16 4 4 16 16 16 2 6.答案 D 解析 设这 7 个数分别为 a1,a2,?,a7,公差为 d,则 27=3+8d,d=3.故 a4=3+4×3=15. 7.解析:由条件知 a3+a10=3.又数列{an}为等差数列,∴a5+a8=a3+a10=3.答案:3 5.答案
? ? ??a-d?+a+?a+d?=18, ?a=6, 8.解:设这三个数为 a-d,a,a+d,则? ∴? ∴三数为 4,6,8 或 8,6,4. 2 2 2 ? ? 2. ??a-d? +a +?a+d? =116, ?d=±

1 1 3 9.解:∵S△ABC= acsin B= ac= ,∴ac=6.∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 2 4 2 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-(2+ 3)ac=4b2-6(2+ 3),∴b2=4+2 3.∵b>0,∴b= 3+ 1. 1 ?1? ?1? ?1? ?1? 10.解:∵b1b2b3= ,又 bn= ? ? , ∴ ? ? .? ? .? ? 8 2 2 2 2
an

? ?

1 ?1? 1 ? .∴ ? ? 8 ? 2? ? ? ? ? ? ?

a1

a2

a3

a ? a2 ? a3

1 ? . 8

∴a1+a2+a3=3.又{an}成等差数列,∴a2=1,a1+a3=2.

?b1=2, 1 17 ? ∴b1b3= ,b1+b3= .∴? 1 4 8 ? ?b3=8

1 ? ?a1=-1, ?a1=3, ?b1=8, ? ? 或? ∴? 或? ? ? ?a3=3 ?a3=-1. ? ?b3=2.

设等差数列{an}的公差为 d,当 a1=-1,a3=3 时,d=2,∴an=-1+2(n-1)=2n-3; 当 a1=3,a3=-1 时,d=-2,∴an=3-2(n-1)=-2n+5. 综上 an=2n-3 或 an=-2n+5.

专题三

等差数列的前 n 项和及其性质

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 5

n?a1+an? 1 ;若首项为 a1,公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d. 2 2 推导过程:倒序求和法: sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ① ? 求和公式:若{an}是等差数列,则 Sn=

sn ? an ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? a1



① +② 得, 2sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an ? a1 ) ? n(a1 ? an ) ? sn ? 1 又 an ? a1 ? (n ? 1)d , 则 Sn=na1+ n(n-1)d. 2

n(a1 ? an ) 2

基本量法:把问题中的 an , sn 全部转化为 a1和d 来表示,然后再解方程或方程组。基本量法可以解决数列中的 所有问题。一般地,对于等差数列{ an }的五个基本量 a1 , d , n, an , sn , 知道其中的任意三个量,通过解方程组的 方法可以求得另外两个量,即“知三求二” .在此类问题中,注意等差数列性质的运用,以简化计算过程. ? 等差数列前 n 项和的性质

?Sn? d (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列? n ?也是等差数列,且公差为 . 2 ? ? (2)Sm,S2m,S3m 分别为{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列. n?a1+an? an S2n-1 (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则 = .(由 Sn= 推导即可) bn T2n-1 2 例题: a1 1 1 1.等差数列{an}中,S10=4S5,则 等于( )A. B.2 C. D.4 d 2 4 2 2 2.已知等差数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( ) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 4.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 2 2 5.已知等差数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( ) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 7.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 8.(辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 9.已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N*,a3=16,S20=20.若 Sn=110,则 n=____________.

10.在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.(1)数列{an}前多少项和最大?(2)求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. a Sn 7n+1 11.已知两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = (n∈N*),求 11 . Tn 4n+27 b
11

S3 1 S6 12.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( S6 3 S12 a5 5 S9 13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( a3 9 S5

3 )A. 10 )A.1

1 B. 3 B.-1

1 C. 8 C.2

1 D. 9 1 D. 2

专题小结:谈谈你对本专题知识的理解,学会了什么解题方法?

例题答案:
1. 1 1 a1 1 答案 A 解析由题意得:10a1+ ×10×9d=4(5a1+ ×5×4d),∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴ = . 2 2 d 2 高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 6

10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×?-3? 2 2 D 由 a2 S10= = = =-15. 3+a8+2a3a8=9 得(a3+a8) =9,∵an<0,∴a3+a8=-3,∴ 2 2 2 3. 答案 B 解析 数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6), ∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45.∴a7+a8+a9=S9-S6=45. 1 4. 答案 B 解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15,∴n=14,S14=14×2+ ×14×13×7=665. 2 65 a5 9?a1+a9? S9 65 5. 答案 解析 = = = . 12 b5 9?b1+b9? T9 12 ?n+1??a1+a2n+1? n?a2+a2n? n+1 165 11 6. 答案 10 解析 S 奇= =165,S 偶= =150.∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ = = ,∴n=10. 2 2 n 150 10 7. 答案 210 方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列.∴30,70,S3m-100 成等差数列. Sm S2m S3m 2S2m Sm S3m ∴2×70=30+(S3m-100), ∴S3m=210.方法二 在等差数列中, , , 成等差数列, ∴ = + . m 2m 3m 2m m 3 m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 11? a1 +a11? 11 8. ∵数列{an}为等差数列,∴a1+a11=a4+a8=16.∴S11= = × 16=88. 2 2 20× 19 9. 设数列{an}的公差为 d,则 a1+2d=16,20a1+ d=20,解得 a1=20,d=-2. 2 n? n -1? ∴Sn=20n+ × (-2)=110.整理,得 n2-21n+110=0,解得 n=10 或 n=11. 2 ?a1+ ?a1= 9d=23, 50, ? ? 53 10. 解:(1)由? 得? ∴an=a1+(n-1)d=-3n+53.令 an>0,得 n< , 3 ?a1+ ?d=-3, 24d=-22, ? ? 2. ∴当 n≤17,n∈N*时,an>0;当 n≥18,n∈N*时,an<0.∴数列{an}的前 17 项和最大. n? n -1? 3 103 (2)当 n≤17,n∈N*时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=na1+ d=- n2+ n, 2 2 2 当 n≥18,n∈N*时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an=2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an)

? 3 2 103 n ? n, n ? 17, n ? N * ? 17 ?16 3 2 103 3 2 103 ?2 2 ? 2 ? [50 ?17 ? ? (?3)] ? (? n ? n) ? n ? n ? 884 , ? sn ? ? 2 2 2 2 2 ? 3 n 2 ? 103 n ? 884, n ? 18, n ? N * ? 2 ?2
11.法一:设 Sn=kn(7n+1),Tn=kn(4n+27),k≠0,则 a11=S11-S10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=858k a11 4 -710k=148k,b11=T11-T10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=781k-670k=111k,∴ = . b11 3

a ?a 21. 1 21 S21 7×21+1 148 4 a11 2a11 a1 ? a21 21(a1 ? a21 ) 2 方法二: = = = = . ? ? ? ? b11 2b11 b1 ? b21 21(b1 ? b21 ) 21. b1 ? b21 T21 4×21+27 111 3 2
12.答案 A 解析 方法一 S3 3a1+3d 1 S6 6a1+15d 12d+15d 3 = = ?a1=2d, = = = . S6 6a1+15d 3 S12 12a1+66d 24d+66d 10 S3 1 方法二 由 = ,得 S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 仍然是等差数列,公差为(S6-S3)-S3=S3,从 S6 3 S6 3 而 S9-S6=S3+2S3=3S3?S9=6S3,S12-S9=S3+3S3=4S3?S12=10S3,所以 = . S12 10 9 ?a +a ? a5 2a5 a1+a9 5 S9 2 1 9 9 5 13.答案 A 解析 由等差数列的性质, = = = ,∴ = = × =1. a3 2a3 a1+a5 9 S5 5 5 9 ?a1+a5? 2

专题四
?

从函数的角度理解等差数列

等差数列与一次函数的关系:an=kn+b(n∈N*) 定义域为 N*,图象是一系列均匀分布在同一条直线上的孤立的点 高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 7

? ?

?

等差数列与二次函数的关系:若 Sn=an2+bn(注意没有常数项) ,则数列{an}是等差数列.反之亦然. 等差数列前 n 项和的最值 (1)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或 0),所以将这些项相加即得 Sn 的最小值; (2)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或 0),所以将这些项相加即得 Sn 的最大值. 特别地,若 a1>0,d>0,则 a1 是 Sn 的最小值;若 a1<0,d<0,则 a1 是 Sn 的最大值. 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值的方法: (1)配方法

B 2 B2 通过配方得 sn ? A(n ? ) ? , 利用二次函数的性质求最值,但特别注意 n∈N*,所以 n 为最接近- 2A 4A
B 的正整数时,Sn 取得最值. 2A (2)单调性法
? ?an≤0, ①d>0?{an}为递增数列,若 a1>0,则 S1=a1 最小;若 a1<0,则满足? 的 n 对应的 Sn 最小. ?an+1≥0 ? ?an≥0, ? ②d<0?{an}为递减数列,若 a1<0,则 S1=a1 最大;若 a1>0,则满足? 的 n 对应的 Sn 最大. ? ?an+1≤0 (3)图象法:利用二次函数图象的对称性求解.

例题: 1.数列{an}为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn=(n+1)2+λ,则 λ 的值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 3.设{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 4.在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,则前 n 项和 Sn 的最大值是________. 5.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列在 n=k 时,前 n 项和 Sn 取到最小值,则 k 的值是________. 6.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 7.已知等差数列{an}中,记 Sn 是它的前 n 项和,若 S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由.

专题小结:谈谈你对本专题知识的理解,学会了什么解题方法?

例题答案:
等差数列前 n 项和 Sn 的形式为:Sn=an2+bn,∴λ=-1. ? n=1 ?S1, 2.B 解析 由 an=? ,∴an=2n-10.由 5<2k-10<8,得 7.5<k<9,∴k=8. ?Sn-Sn-1, n≥2 ? 3.C 解析 由 S5<S6,得 a6=S6-S5>0.又 S6=S7?a7=0,所以 d<0. 由 S7>S8?a8<0,因此,S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0 即 S9<S5. 17 9 4.方法一 由 S17=S9,得 25×17+ ×(17-1)d=25×9+ ×(9-1)d,解得 d=-2, 2 2 n 所以 Sn=25n+ (n-1)×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数性质可知,当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 2 1.B 解析

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 8

方法二

? ? ?an=25-2?n-1?≥0, ? 先求出 d=-2,因为 a1=25>0,由 ? 得? ? ?an+1=25-2n≤0,

?

1 2 ?n ? 12 1 ? 2 ? n ? 13

13×?13-1? 所以当 n=13 时,Sn 有最大值.S13=25×13+ ×(-2)=169.因此 Sn 的最大值为 169. 2 方法三 由 S17=S9,得 a10+a11+?+a17=0,而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0.由方法一知 d=-2<0,又因为 a1>0,所以 a13>0,a14<0, 13×?13-1? 故当 n=13 时,Sn 有最大值.S13=25×13+ ×(-2)=169.因此 Sn 的最大值为 169. 2 方法四设 sn ? An2 ? Bn.? s9 ? s17 , ∴二次函数对称轴为 x ?

9 ? 17 ? 13 2

且开口方向向下.∴当n= 13 时,Sn 取得最大值 169.

5.答案

10 或 11 解析 方法一

? ?an=a1+?n-1?d≤0 1 由 S9=S12, 得 d=- a1, 由? , 得 10 ?an+1=a1+nd≥0 ?

?1-10?n-1?≥0 ? 1 ?1-10n≤0

1



解得 10≤n≤11.∴当 n 为 10 或 11 时,Sn 取最小值,∴该数列前 10 项或前 11 项的和最小. n?n-1? d 2 ? d 1 方法二 由 S9=S12,得 d=- a1,由 Sn=na1+ d= n +?a1-2? ?n, 10 2 2 1 a1 ? 21?2 441 2 ?21 ? - a1?· a1 · n- 得 Sn=? n + n =- 2 ? + 80 a1 (a1<0), ? 20 ? ?20 ? 20? 21 由二次函数性质可知 n= =10.5 时,Sn 最小.但 n∈N*,故 n=10 或 11 时 Sn 取得最小值. 2 ?a1+2d=5, ?a1=9, ? ? 6.解 (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得? 可解得? 所以 an=11-2n. ?a1+9d=-9, ?d=-2, ? ? n?n-1? (2)由(1)知,Sn=na1+ d=10n-n2.因为 Sn=-(n-5)2+25,所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 2 1 d=16, ?2a +2× 2 由 S =16,S =24,得? 4×3 ?4a + 2 d=24.
1 2 4 1

7.解

?2a1+d=16, ? 即? ?2a1+3d=12. ?

?a1=9, ? 解得? 所以等差数列{an}的通项公 ?d=-2. ?

式为 an=11-2n (n∈N*). (1)当 n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+an=Sn=-n2+10n. (2)当 n≥6 时,Tn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+a5-a6-a7-?-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2 2 ? ?n≤5?, ?-n +10n 2 +10n)=n -10n+50,故 Tn=? 2 ?n -10n+50 ?n≥6?. ?

8.解

?12a + 2 d>0, 13×12 (1)根据题意,有:? 13a + d<0, 2 ?a +2d=12,
12×11
1 1 1

2a1+11d>0, ? ? 整理得:?a1+6d<0, ? ?a1+2d=12.

24 解之得:- <d<-3. 7

13?a1+a13? 12?a1+a12? (2)∵d<0,而 S13= =13a7<0,∴a7<0.又 S12= =6(a1+a12)=6(a6+a7)>0, 2 2 ∴a6>0.∴数列{an}的前 6 项和 S6 最大.

高一数学必修 5 第 2 章《等差数列》复习提纲 9


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