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例谈圆锥曲线定义在解题中的运用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例谈圆锥曲线定义在解题中的运用 作者:马仙姣 来源:《数理化学习· 高一二版》2012 年第 11 期 圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的“根”与“源”,是建立曲线方程的基础, 定义是 反映数学对象的本质属性和特征的思维形式,巧用定义,可以使学生既快又准的解决某些数学 问题.从而引起学生对定义、概念的高度重视,激发学生对定义、概念的学习兴趣. 一、在探求最值问题上的运用 最值问题是高中数学的重点和难点之一,用定义来解决最值问题是解析几何中较常用的一 种基本方法,它一方面可以加深学生对定义、概念的理解,另一方面还可以简化解题过程,揭 示其中蕴涵的内在规律. 例 为椭圆 的左焦点,P 是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则 最小值? 解:如图 1,连接 连接 因为 ,而 所以 、 、PA. 并延长交椭圆于 P′,P 是椭圆上一动点, , 所以 = 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn - -2. 的最小值为 6-2. 当 P 与 P′重合时取“=”号,所以| 注意:一般情况下,凡涉及到圆锥曲线上的点和两个焦点的问题可考虑用圆锥曲线的第一 定义来解决;凡涉及到焦点、半径、离心率及准线的问题,可考虑用圆锥曲线的第二定义来解 决,还要注意挖掘题中的隐含条件. 二、在求动点轨迹方程中的作用 轨迹问题是解析几何中学习考查的又一重点,它因为有灵活多变,涉及面广,逻辑性强的 特点常成为考试命题的亮点.由于它对学生的要求较高,因而往往是以中档难度以上的题型出 现.其中用定义法求轨迹是一种非常直接有效的方法,但却容易被人忽视,它往往能避重就 轻,化繁为简,化难为易,化抽象为具体. 例 2 方程 (y-2) -y-4|对应点 P(x,y)的轨迹为( ) (A) 椭圆 (B) 抛物线 (C) 双曲线 (D) 两直线 解:把原方程变形为 (y-2) =2 |x-y-4|2 ,它的几何意义是动点 P(x,y)到定点 F(0,2)的距离比上它到直线 L:x-y-4=0 的距离的比值为 2,而 2>1,由曲线的第二定义知,在椭圆,双曲线,抛物线中离心率大于 1 的只有双曲 线.故选(C). 注意:当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系时,常考虑第一定义,当圆锥曲线上的 点与一焦点和相应准线的距离建立关系时,常考虑第二定义.所以要求我们准确理解圆锥曲线 定义,注意画图并利用平面几何的知识解题. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三、在数学建模中的妙用 数学建模是让学生亲身经历将实际问题,抽象成数学模型,并进行分析、判断和应用的过 程,实际生活中的许多问题蕴涵着且传递着数学信息.学生通过建模对各种实际问题获得更深 刻的认识,从而促进了学生应用能力和创造性解决问题能力的提高. 例 3 如图 2 所示,某村在 P 处有一堆肥,今要把此堆肥料沿道路 或 送到成矩形的一块田 ABCD 中去,已知 PA=100 m,PB=150 m, BC=60 m,∠ APB=60° 能否在田中确定一条界线,使得位于界线一侧的点沿道路 PA 送肥 料较近,而另一侧的点沿道路 PB 送较近?如能,请说明这条界线是什么曲线,并求出它的方 程. 解:如图 2 所示,以 所在直线为 x 轴,以线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由|PA|=100 m, |PB|=150 m,∠ APB=60° , 得 -2|PA||PB| cos60° = 1 =17500. 若这样的界线存在,如图设点 M 为此曲线上任一点 则由题意可得: |PA|+|AM|=|PB|+|BM|即|MA||PB|-|PA| =150-100=50 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 为定值,所以点 M 的轨迹(曲线)为双曲线的右支,设双曲线的方程为 - 1,点 A 坐标为(-c,0),由上可得 , 因为 -625=3750 从而曲线的方程为 - (且在矩形内的部分) 又因双曲线与矩形的交点坐标为(25,0),(35,60), 故这条界线为双曲线,方程为 (y≥0,25≤x≤35) 利用定义求圆锥曲线的问题是比较直接的方法,也是常用方法,利用定义求解圆锥曲线的 某些问题能达到快捷,合理的解题效果.巧用定义解题必须对定义有透彻的了解,运用时应举 一反三,触类旁通,以便牢固掌握.

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