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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何第5节直线平面垂直的判定及其性质课件_图文


备 高 考

启 智 慧

理 教 材

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
分 层 限 时 跟 踪 练

研 考 点

备高考| 3 个任务 1.学会运用线面垂直的判定与性质定理解决线面垂直问题. 2.学会运用面面垂直的判定与性质定理解决面面垂直问题. 3.知道线面角、二面角的概念、会求简单的线面角与二面角.

理教材| 回扣自测 要点梳理 一、直线与平面垂直 1.定义 直线 l 与平面 α 内的 任意 一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直.

2.判定定理与性质定理 文字语言 判定 定理 一条直线与一个平面内
两条相交直线 的 都垂直,

图形语言

符号语言 a,b?α ? ? a∩b=O? ??l⊥α l ⊥a ? l ⊥b ? ? a⊥α? ? ??a∥b b⊥α? ?

则该直线与此平面垂直

性质 垂直于同一个平面的两 定理 条直线 平行

[ 必记结论] 与垂直相关的几个重要结论 ?1?a⊥α,b?α?a⊥b. ?2?若两平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面. ?3?垂直于同一条直线的两个平面平行. ?4?过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. ?5?过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定 定理 一个平面过另一个平面 的 垂线 ,则这两个平面 垂直 两个平面垂直,则一个平 面内垂直于它们交线 的 直线与另一个平面垂直 l⊥α? ?
??α⊥β l?β? ?

图形语言

符号语言

性质 定理

α⊥β ? ? l?β ? ??l⊥α α∩β=a? l⊥a ? ?

三、线面角与二面角 1.直线和平面所成的角 (1) 平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角叫做这条直线和这个 平面所成的角. (2)当直线与平面垂直或平行(或直线在平面内)时, 规定直线和平面所成的角 分别为90°或0°. 2.二面角的有关概念
两个半平面 所组成的图形叫做二面角. (1)二面角:从一条直线出发的

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别 作 垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

基础自测 1.判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)直线 l 与平面 α 内两条直线都垂直,则 l⊥α.( (2)直线 a⊥平面 α,直线 b⊥平面 α,则 a∥b.( ) ) ) )

(3)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线,则 α⊥β.( (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任一条直线垂直于另一平面.(
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角, 可能为钝角的有( A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个

【解析】 异面直线所成角 θ 的范围是 0° <θ≤90° ;直线和平面所成角 θ 范围是 0° ≤θ≤90° ;二面角的平面角 θ 的范围是 0° ~180° .故可能为钝角的只有 二面角的平面角.
【答案】 B

3.如图 751,已知 ABCD 是矩形,且 PA⊥平面 ABCD,则下列结论中不 正确的是( )

A.平面 PAB⊥平面 PAD B.平面 PCD⊥平面 PAD C.平面 PAB⊥平面 PBC D.平面 PCD⊥平面 PBC
图751

【解析】 由 PA⊥AB,AD⊥AB 得 AB⊥面 PAD,故面 PAB⊥面 PAD,A 正 确;由 PA⊥CD,AD⊥CD 得 CD⊥面 PAD,故面 PCD⊥面 PAD,B 正确;由 PA ⊥BC,BC⊥AB 得 BC⊥面 PAB,故面 PAB⊥面 PBC,C 正确;D 不正确.
【答案】 D

4.如图 752,四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,则 PD 与平面 ABCD 所成的角为图中的( A.∠PAD B.∠PDA C.∠PDB D.∠PDC
图752

)

【解析】 ∵PA⊥平面 ABCD, ∴AD 是 PD 在平面 ABCD 上的射影,故∠PDA 是 PD 与平面 ABCD 所成的 角.
【答案】 B

5.如图 753,O 为正方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心,则下列 直线中与 B1O 垂直的是( )

图 753 A.A1D C.A1D1 B.AA1 D.A1C1

【解析】 由图知,A1C1⊥平面 BB1D1D,又 OB1?平面 BB1D1D,故 A1C1 ⊥B1O.
【答案】 D

研考点| 梯度提升 考向 1 直线与平面垂直的判定与性质 题型:解答题 基础考点

难度:低 命题指数:★★★

命题热点:(1)证明线面垂直. (2)证明线线垂直. (3)求几何体的体积.

[自主突破] (2014· 全国卷Ⅰ)如图 754,三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C.

图 754 (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,BC=1,求三棱柱 ABCA1B1C1 的高.

【解】 (1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO,故 B1C⊥平面 ABO.

由于 AB?平面 ABO,故 B1C⊥AB.

(2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,故 BC⊥平面 AOD, 所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60° ,所以△CBB1 为等边三角形. 3 又 BC=1,可得 OD= . 4 1 1 由于 AC⊥AB1,所以 OA=2B1C=2.

7 21 由 OH· AD=OD· OA,且 AD= OD +OA = ,得 OH= . 4 14
2 2

21 又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 7 . 故三棱柱 21 ABCA1B1C1 的高为 7 .

[规律总结] 证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理; (2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α?b⊥α); (3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β); (4)利用面面垂直的性质. 当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

考向 2 面面垂直的判定与性质 题型:解答题

能力考点 难度:中 命题指数:★★☆

命题热点:(1)判定面面垂直. (2)判定线面垂直.

[师生共研] (2015· 抚宁模拟)如图 755,三棱锥 ABCD 中,∠BCD =90° ,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° ,E,F AE AF 分别是 AC,AD 上的动点,且 = =λ(0<λ<1). AC AD (1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD.
图755

【解】 (1)证明:∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC,且 AB∩BC=B,∴CD⊥平面 ABC. AE AF 又∵ = =λ(0<λ<1), AC AD ∴不论 λ 为何值,恒有 EF∥CD, ∴EF⊥平面 ABC,EF?平面 BEF, ∴不论 λ 为何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC.

(2)由(1)知,BE⊥EF,∵平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90° ,∠ADB=60° , ∴BD= 2,AB= 2tan 60° = 6, ∴AC= AB2+BC2= 7. 6 由 AB =AE· AC,得 AE= , 7
2

AE 6 ∴λ= =7. AC

[规律总结] 1.判定面面垂直的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β). 2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线 的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.

[变式训练] (2015· 北京高考)如图 756,在三棱锥 VABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△ VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 VABC 的体积.
图756

【解】 (1)证明:因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OM∥VB. 又因为 VB?/平面 MOC,所以 VB∥平面 MOC. (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC⊥AB. 又因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC?平面 ABC, 所以 OC⊥平面 VAB. 所以平面 MOC⊥平面 VAB.

(3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= 2, 所以 AB=2,OC=1. 所以等边三角形 VAB 的面积 S△VAB= 3. 又因为 OC⊥平面 VAB, 1 3 所以三棱锥 CVAB 的体积等于 OC· S△VAB= . 3 3 又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等,所以三棱锥 3 VABC 的体积为 3 .

考向 3 直线、平面垂直的综合应用 题型:解答题

交汇考点

难度:中 命题指数:★★★

命题热点:(1)空间线面、面面垂直的相互转化. (2)求与空间几何体体积有关的问题.

[ 研· 真题] (2015· 全国卷Ⅰ)如图 757,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点, BE⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120° ,AE⊥EC,三棱锥 EACD 的体积为 6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

图757

[ 导· 思路] 思路一:只需证明 AC⊥平面 BED 即可; 思路二:设 AB 为 x,利用三棱锥 EACD 的体积建立方程求得 x,然后求出 AE,EC,ED 的长度,从而确定△EAD,△ECD 和△EAC 的面积.

【解】 (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE. 故 AC⊥平面 BED. 又 AC?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED.

3 (2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° ,可得 AG=GC= x,GB 2 x =GD= . 2 3 因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= x. 2 2 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE= 2 x. 1 1 63 6 由已知得,三棱锥 EACD 的体积 V 三棱锥 EGD· BE=24 x = 3 , ACD= × · 3 2 AC· 故 x=2. 从而可得 AE=EC=ED= 6. 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 EACD 的侧面积为 3+2 5.

[ 通· 技法] 垂直关系综合问题的类型及解法: (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行转化,转化示意图如下: 判定 判定 线线垂直 ?? ? ?线面垂直 ?? ? ?面面垂直 性质 性质 (2)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段, 进而求得体积.

[ 巧· 迁移] ● 迁移一 求线面角的问题 (2015· 开封模拟)如图 758,直角三角形 BCD 所在的 平面垂直于正三角形 ABC 所在的平面,其中 DC⊥CB,PA ⊥平面 ABC,DC=BC=2PA,E、F 分别为 DB、CB 的中 点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线 PF 与平面 BCD 所成的角.
图758

【解】 (1)证明:连接 EF,AF.因为 E、F 分别是 BD、 BC 的中点,所以 EF∥DC. 又 DC⊥BC,所以 EF⊥BC. 因为△ABC 为等边三角形,所以 BC⊥AF,EF∩AF =F, 所以 BC⊥平面 AEF,又 AE?平面 AEF,故 BC⊥AE.

(2)连接 PE.因为平面 BCD⊥平面 ABC,DC⊥BC,AF⊥BC, 所以 DC⊥平面 ABC,AF⊥平面 BCD. 1 因为 PA⊥平面 ABC,PA= DC, 2 1 ∥ 所以 PA═ DC. 2 1 ∥ 又因为 EF═2DC,所以 EF∥ ═PA,故四边形 APEF 为矩形. 所以 PE∥ ═AF,所以 PE⊥平面 BCD.

则∠PFE 即为直线 PF 与平面 BCD 所成的角. 3 在 Rt△PEF 中,因为 PE=AF= 2 BC, 1 1 PE EF= DC= BC,所以 tan∠PFE= = 3,故∠PFE=60° , 2 2 EF 即直线 PF 与平面 BCD 所成的角为 60° .

● 迁移二 折叠问题 (2015· 抚顺模拟)如图 759(1)所示,直角梯形 ABCD,∠ADC=90° ,AB∥ 1 CD,AD=CD= AB=2,点 E 为 AC 的中点,将△ACD 沿 AC 折起,使折起后 2 的平面 ACD 与平面 ABC 垂直(如图 759(2)), 在图 759(2)所示的几何体 DABC 中. (1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)点 F 在棱 CD 上,且满足 AD∥平面 BEF,求几何体 FBCE 的体积.

图 759

【解】 (1)证明:在图 1 中,由题意知,AC=BC=2 2, ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,取 AC 中点 E,连接 DE,则 DE⊥AC, 又平面 ADC⊥平面 ABC,且平面 ADC∩平面 ABC=AC,DE?平面 ACD, 从而 ED⊥平面 ABC,∴ED⊥BC. 又 AC⊥BC,AC∩ED=E,∴BC⊥平面 ACD.

(2)取 DC 中点 F,连接 EF,BF,∵E 是 AC 中点,∴EF∥AD, 又 EF?平面 BEF,AD?平面 BEF,∴AD∥平面 BEF, 由(1)知,BC 为三棱锥 BACD 的高, 1 1 1 1 ∵三棱锥 FBCE 的高 h=BC=2 2,S△CEF= S△ACD= × ×2 2× 2= , 4 4 2 2 1 1 1 2 所以三棱锥 FBCE 的体积为 VFh = × × 2 2 = . BCE= S△CEF· 3 3 2 3

启智慧| 解题有招

立体几何类答题规则 通过近几年的高考题看,线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质的应 用及求几何体的体积是考查的热点,主要考查空间想象和推理论证能力以及转 化的思想.题型全面,但以解答题为主,规范解答至关重要.

[案例研析] (2015· 广东高考)如图 7510,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在 的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.

图 7510 (1)求证:BC∥平面 PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离.

【审题策略】 平行四边形 线面平行的 (1) 四边形ABCD为长方形 ――→ BC∥AD ――→ BC∥平面PDA 定义 判定定理 面面垂直的 线面垂直 (2) BC⊥CD,平面PDC⊥平面ABCD ――→ BC⊥平面PDC ――→ 性质定理 的性质 BC⊥PD (3)作辅助线,将点到平面的距离转化为三棱锥的高,由 VCPDA=VPACD 用等 体积法求得.

答题模板

套用模板 (1)证明:∵四边形 ABCD 为长方形,

第一步:审清题意 ∴BC∥AD.又 BC?平面 PDA.AD?平面 分析条件, 挖掘题目 PDA,∴BC∥平面 PDA. 3分

中的平行垂直关系;(2)证明:∵BC⊥CD,平面 PDC⊥平面 分析结论建立条件 ABCD 且平面 PDC∩平面 ABCD=CD, 与结论之间的联系.BC?平面 ABCD,∴BC⊥平面 PDC. ∵PD?平面 PDC,∴BC⊥PD. 6分

第二步:明确方向 确定问题方向,选择证明平行、垂 直的方法及求距离的方法. 第三步:给出解答 利用平行垂直关系的判定或性质 给出问题的证明, 利用求空间角的 步骤或求体积的步骤给出解答.

(3)取 CD 的中点 E,连接 PE,AC. ∵PD=PC,∴PE⊥CD,∵PE= PC2-CE2= 42-32= 7. ∵平面 PDC⊥平面 ABCD 且平面 PDC∩平面 ABCD=CD,PE?平面 PDC,∴PE⊥平面 ABCD. 8分

由(2)知 BC⊥平面 PDC. 第四步:反思回顾 查看关键点、易漏点、 又 AD∥BC, ∴AD⊥平面 PDC.又 PD?平面 PDC, ∴AD⊥PD.设点 C 到平面 PDA 的距离为 h,则

1 1 h=3S△ACD· PE, 10 分 PDA=VPACD,∴ S△PDA· 易误点,检查使用定理 VC3 时条件是否齐全,符号 1 S△ACD· PE 2×3×6× 7 3 7 表达是否准确,计算是 ∴h= = 1 = 2 , 故点 C 到平 S△PDA ×3×4 2 否有误. 3 7 面 PDA 的距离为 2 . 12 分

[抢分训练] (2015· 东城模拟)如图 7511,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底 面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中 点. 求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
图7511

【证明】 (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD.

(3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 又 PA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 PAD,所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF, 又 EF∩BE=E,所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.


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