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1.3.1函数单调性课件(二)


(一)复习引入:
1、函数单调性的定义是什么? 一般地,设函数y=f(x)的定义 域为A,区间I ? A。 如果对于区间I上任意两个值x1 和x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) , 则称函数y=f(x)在区间I上是单调增 函数,区间I称为y=f(x)的单调增区 间。

y

f(x1)

f(x2) x2

0 x1

x

一般地,设函数y=f(x)的定义 域为A,区间I ? A。 如果对于区间I上任意两个值x1和x2, 当x1<x2时,都有f(x1) > f(x2) ,则称函数 y=f(x)在区间I上是单调减函数,区间I 称为y=f(x)的单调减区间。

单调性、单调区间 如果函数y=f(x)在区间I是单 调增函数或单调减函数,那么就 说函数y=f(x)在区间I上具有单 调性. 单调增区间和单调减区间 统称为单调区间.

归纳总结: 1.函数的单调性也叫函数的 增减性; 2.函数的单调性是对某个区 间而言的,它是一个局部概念.

在单调区间上,增函数 的图象是上升的,减函数的 图象是下降的.

归纳总结: 1.函数的单调性也叫函数的 增减性 2.函数的单调性是对某个区 间而言的,它是一个局部 概念;

3. x 1, x 2 取值的任意性.

(一)复习引入:
2、证明函数 单调性的步 第一步:取值 骤是什么?
第二步:作差 第三步:变形 证明函数单调性应 该按下列步骤进行:

第四步:判断定号
第五步:下结论

练习;判断题:
1 ① 已知f(x) = ,因为f(-1) < f(2), 所以函数 x f(x)是增函数


②若函数 f(x)满足f(2) < f(3),则函数f(x)
在区间[2,3]上为增函数

练习;判断题:


③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均 为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上 为增函数.
1 ④因为函数 f(x) = 在区间(-∞,0) 和 x 1 (0,+ ∞)上都是减函数,所以在 f(x) = x (-∞,0) ∪(0,+ ∞)上是减函数.


例1、画出下列函数图象,并写出 单调区间:

(1) y = -x + 2
1 (2) y = (x ? 0) x

2

? 例1、画出下列函数图象,并写
出单调区间:
2

(1) y = -x + 2
单调增区间为?-∞,0?
-2

y

2 1

单调减区间为?0,+∞?

-1

O

1

2

x

? 例1、画出下列函数图象,并写
出单调区间:
2

(1) y = -x + 2
单调增区间为?-∞,0?
-2

y

2

1
-1
O

成 果 交 流
1 2

单调减区间为?0,+∞?
2

x

变式1:讨论 y = ax (a ? 0) 的单调性 变式2:讨论 y = ax2 + bx + c(a ? 0) 的单调性

练习:填表


?
2

y = ax + bx + c (a ? 0)


单调 区间 单调性
(-? , -

a>0
b ) (? b , ??) 2a 2a

a<0
b (??, ? ) 2a
(b , +? ) 2a

减函数

增函数

增函数

减函数

?

1 (2) y = (x ? 0) x

例1、画出下列函数图象,并写 出单调区间: y
O

两个单调减区间 + ? -∞,0 ? 和 ? 0, ∞ ?

x

能否写成

试讨论 f(x) = (k ? 0) 在 ? -∞,0? ?0,+∞? 和 x 注意:两区间之间用和或用逗号隔开. 上的单调性?

+ k ? -∞,0 ?∪? 0, ∞ ? ?

练习:填表

y = kx + b(k ? 0)
k >0 k <0

?
k y = (k ? 0) x
k >0
(-∞,0), (0,+∞)
(??,0),(0, ??)


单调 区间

k <0

(-∞,+∞)(-∞,+∞)

单调性 增函数

减函数

减函数

增函数

1 例2、判断函数 y = x + 在定义 x

域 ?0,+∞?上的单调性.
给出证明
主要步骤

描点作图

1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2. 作差f(x1)-f(x2);
3. 变形(通常是因式分解和配方);

4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5. 下结论

1 例2、判断函数 y = x + 在定义 x

域 ?0,+∞?上的单调性.
y

2 -1

0
-2

1

x

单增区间:(1,+∞) 单减区间:(0,1)

证明:在区间 ?1, ?? ? 上任取两个值 x1 , x2 且

x1 ? x2
1 1 = (x1 - x 2 ) + ( - ) x1 x2 (x2 - x1 ) = (x1 - x2 ) + x1 ? x2 x1 ? x 2 -1 = (x1 - x 2 )( ) x1 ? x2

1 1 则 f(x1 ) - f(x2 ) = (x1 + ) - (x 2 + ) x1 x2

取 值

作差

变 形

? x1 , x2 ??1,+∞? 且 x1 < x2

? x1 - x2 < 0,

x1x2 -1 > 0

定 号

? f(x1 ) - f(x2 ) < 0, ?f(x1 ) < f(x2 ) ??
1 所以函数 y = x + 在区间上?1,+∞? x 是增函数. 结论

1 例2、判断函数 y = x + 在定义 x

域 ?0,+∞?上的单调性.
并给出证明
主要步骤

描点作图

1. 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2. 作差f(x1)-f(x2);
3. 变形(通常是因式分解和配方);

4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5. 下结论

?
1 试用定义法证明函数 f(x) = - -1 x 在区间 ?0,+∞? 上是单调增函数。
(1)若把区间改为? -∞,0? ,结论变化吗 ?
a (2)若把函数改为 f(x) = - - 1 (a ? 0), x 结论变化吗 ?

1 求证:函数f(x)= - - 1 在区间(0, x +∞)上是单调增函数. 证明: 对于区间(0, +∞ )内任 意 x1,x2且x1<x2, 区间取值
1 1 f(x1 ) = - -1, f(x 2 ) = - -1 x1 x2 1 1 x1 - x 2 f(x1 ) - f(x 2 ) = - + = x1 x2 x1 x 2

作差变形

1 求证:函数f(x)= - - 1 在区间(0, x 判断符号 +∞)上是单调增函数.

证明: 1 ,x2 ?(0,+∞)? x1x2 > 0 ? x

x1 < x2 ? x1 - x2 < 0

?? ?

f(x1)-f(x2)<0 ? f(x1)<f(x2) 1 所以函数f(x)= - - 1 在区间(0,+ x

∞)上是单调增函数.

给出结论

本节课主要学习了以下内容:
1、单调函数的图象特征; 2、函数单调性的定义;

3、证明函数单调性的步骤.

必做: P66习题 2.3 T4、5、6 选做(1)判断函数
ax f(x)= 2 (a ≠ 0) x -1

在区间(-1,1) 上的单调性。 并给出证明,试求出该函数的值域。
4 (2) 研究 y = x + x 的单调性,


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