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【高中数学】反三角函数解析


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反三角函数

考试要求
理解反正弦函数、余弦函数和反正切函数的概念,知道它们的基本性质和图象。会用计算器 求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小。 通过实例引出三角方程的概念, 掌握 最简三角方程的解集,会解简单的三角方程。 【 说 明 】 简 单 的 三 角 方 程 指 形 如 : Asin ??x ? ? ? ? a , a sin x ? b cos x ? c ,

asin2 x ? b sin x ? c ? 0 , asin2 x ? b cos x ? c ? 0 等类方程。

一、反三角函数 知识梳理
1、反三角函数的性质与图像 反三角 函数 定义域

y ? arcsin x

y ? arccos x

y ? arctan x

??1,1?
? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?
奇函数 增函数

??1,1? ?0, ? ?
非奇非偶 减函数

? ??, ???
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?
偶函数 增函数

值域 奇偶性 单调性

图像

2、常用关系式 1)

arcsin ? ?x ? ? ? arcsin x, x ???1,1? sin ? arcsin x ? ? x, x ???1,1?

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? ? ?? ? , arcsin ?sin x ? ? x, x ? ? ? 2 2? ?
2)

arccos ? ?x ? ? ? ? arccos x, x ???1,1? cos ? arccos x ? ? x, x ???1,1?
arccos ? cos x ? ? x, x ? ? 0, ? ?

3)

arctan( ? x) ? ? arctanx , x ? R tan ? arctan ? ? x, x ? R

? ? ?? arc tan ? tan x ? ? x, x ? ? ? , ? ? 2 2?

典型例题
例 1 下列命题中正确的是( D )

A.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 B.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 C.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数 D.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 类题 已知 y ? sin x 与 y ? arcsin x ,下列说法正确的有(A ) ① 互为反函数② 都是增函数 ③ 都是奇函数④ 都是周期函数 (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个

例 2 计算: sin ? 类题 计算: tan(

3? 5 ?1 arccos ? ? __________________; ( ) 5? 5 ?2

1 1 arccos ) ? _____________ 2 3

例 3 已知 ? ? ??

? ? 5? ? ? 2 ? , ? ,则 arccos(sin? ) 的取值范围是______________ ?0, ? ? ? 6 6? ? 3 ?

例 4 已知函数f(x) = arcsin? (x ? x 2 ); (1)求 f(x)的定义域;

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(2)写出函数 f ( x ) 的值域;

(3)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

类题 1、函数 f ? x ? ? arccos
2

1 的定义域是_______________ ( ? ?,? 2 ? x ?1

?

? ? 2,???? ?0?)
? ?

2、函数 y ? arccos(x ? x 2 ) 的值域是___________________ ?arccos , ? ? 4

? ?

1

3、函数 y ?

cos x ? tan x ? 16 ? x 2 的定义域为__________________;

4、函数 y = arccos(sinx), ( ?

? 2? 5? ?x? ] )的值域为. [0, 3 3 6

5、函数 y ? arccos ? cos x ? 的定义域是 ? ?

? ? 2? ? , ? ,则值域为. ? 3 3 ?

解: ? ?

? ? ?? ? ? 2? , ? .因为 x ? ? ? , ? 6 2? ? 3 3

? ? 1 ? ? ? ?? ? ,故 cos x ? ? ? ,1? ,所以 y ? ? ? , ? . ? ? 2 ? ? 6 2?

5、求函数 y = arccos( 2 x ? x) 的定义域和值域.
2

1 ,1 ] . 2 1 2 1 1 1 又 2 x 2 - x =2 ( x ? ) - ≥- ,∴- ≤2 x 2 - x ≤1, 4 8 8 8 1 得: y ∈ [ 0, ? - arccos ] . 8
解:∵-1≤2 x 2 - x ≤1,解得: x ∈ [ - 6、 求函数 y ? ? arcsin x ? ? 2 arcsin x ? 2 的最大值与最小值, 并求取得最大、 最小值时的 x
2

值。
2 2 ? ? ?? , ? ,所以 y ? t ? 2t ? 2 ? ? t ? 1? ? 3 , ? 2 2?

解:设 arcsin x ? t ,则 t ? ? ?

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当 t ? 1 时, ymin ? ?3 ,这时 arcsin x ? 1, x ? sin1 , 当t ? ?

?2 ? ? ? ? ? 2 ,这时 arcsin x ? ? , x ? ?1 . 时, ymax ? 2 2 4

例 5 若 arccosx ? arccos( 1 ? x) ,则 x 的取值范围是( A. 0 ? x ? 1 B. 0 ? x ?



1 2

C. 0 ? x ?

1 2

D.

1 ? x ?1 2

类题 不等式 arccos( 2x 2 ? 1) ? arccosx 的解集为____________ ?? 1,?

? ?

1? ? 2?

提高练习
研究函数 f ( x) ? arccos(cos ,并画 x) 的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性) 出 x ? ?0,2? ? 的图像;

二、三角方程 知识梳理
1、最简三角方程 最简单的三角方程的解法,即形如 sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a 的方程的解法,主要借助 了图象或三角函数线先确定一个周期上的角的代表, 而后利用该函数的周期性特点, 再写出 符合方程的所有角。 最简三角方程的解集,见下表: 方程 方程的解集

a ?1
sin x ? a

?

a ?1
a ?1

? x x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

?x x ? k? ? (?1)

k

arcsin a, k ? Z

?

cos x ? a

a ?1

?

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a ?1
a ?1
tan x ? a
2、简单三角方程 类型 1: A sin(? x ? ? ) ? a ;
2 2 类型 2: asinx ? bcosx ? c a +b ? 0 ;

? x x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ?

? x x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ?
? x x ? k? ? arctan a, k ? Z ?

?

?

类型 3: asin

2

x ? bsinx ? c ? a ? 0? ;

类型 4: asin x ? bsinxcosx+c=0 ;
2

类 型 5 : 同 名 三 角 函 数 相 等 模 型 : sinf ? x ? =sin? ? x ? ; cosf ? x ? =cos? ? x ? ;

tanf ? x ? =tan? ? x ? ; cotf ? x ? =cot? ? x ? .
类型 6:含 sinx ? cosx sinx ? cosx 的三角方程.

典型例题
sin? ? 1 , ? ? ? 0, ? ? 2 ,则 ? =___________

例 1 已知

类题

? 1 ? ? sin x ? ? 的解集是 ? x x ? k? ? (?1)k , k ? Z ? 2 6 ? ?
例 2 三角方程: 3 sin x ? cos x ?

2 , x ? ?0,2? ? 的解是_______________

类题

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方程: cos 2 x ? 2sin x cos x ? ?1的解集是_________ ? x x ? k? ?

? ?

?
2

, x ? k? ?

?

? (k ? Z ) ? 4 ?

例 3 (2010 年理 15) “ x ? 2 k? ?

?
4

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的()

A 充分不必要条件. C 充分条件. 【答案】 A

B 必要不充分条件. D 既不充分也不必要条件

类题 1、(上海市松江区 2011 届高三下学期质量调研文科)方程 tan x ? 2 的解集为(▲) (A) {x x ? 2k? ? arctan 2, k ? Z} (B) {x x ? 2k? ? arctan 2, k ? Z}

k (C) {x x ? k? ? arctan 2, k ? Z} (D) {x x ? k? ? (?1) arctan 2, k ? Z }

2、 (2011 文 17)若三角方程 sin x ? 0 与 sin 2 x ? 0 的解集分别为 E 和 F ,则( A ) A

E?F

B

E? F

C

E?F

D

E?F ??

解下列三角方程:
2 2 (1) 3cos x ? 8cos x ? 4 ? 0 (2)3 cos x + sin x +1=0;

解: x =2 k? -

?
2

, k ∈Z;

2 (3)3 sin x -4 cos x =5; (4) 4 sin x ? 2 sin x cos x ? 1

解: x =2 k? +

?
2

+ arctan

4 , k ∈Z;解:降幂或换“1”变成齐次式 3

2 (5) 4 sin x ?

3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 (6) tan( 3 x ? ) ? 3 , x ? ?0, ? ? ; 2 4


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