2集合之间的关系 全国高中数学新课程创新教学设计优秀案例

2 集合之间的关系 教材分析 集合之间的关系是集合运算的基础和前提， 是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁 和工具． 这节内容是对集合的基本概念的深化， 延伸， 首先通过类比、 实例引出子集的概念， 再结合实例加以说明， 然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况． 这节内容 的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别． 教学目标 1. 通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生 的抽象、概括能力． 2. 了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的 理解能力． 3. 通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程， 培养学生的科学思维方法． 任务分析 这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的 基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊 到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接 受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可 以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系． 教学设计 一、问题情境 1. 元素与集合之间的关系是什么？ 元素与集合是从属关系，即对一个元素 x 是某集合 A 中的元素时，它们的关系为 x∈ A．若一个对象 x 不是某集合 A 中的元素时，它们的关系为 x 2. 集合有哪些表示方法？ 列举法，描述法，Venn 图法． A． 数与数之间存在着大小关系， 那么， 两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看 下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？ 二、建立模型 1. 引导学生分析讨论 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素． 集合 B 中的元素 4，5 不是集合 A 中的元素． 2. 与学生共同归纳，明晰子集的定义 对于上述问题，教师点拨，A 是 B 的子集，B 不是 A 的子集． 子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即集 合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，记作 A B 的子集． B（或 B A），就说集合 A 是集合 用符号语言可表示为：如果任意元素 x∈A，都有 x∈B，那么 A B． 规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合 A，有 3. 提出问题，组织学生讨论 A． 给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝． （1）A 是 B 的子集吗？B 是 A 的子集吗？ （2）A 是 C 的子集吗？C 是 A 的子集吗？ 4. 教师给出真子集与两集合相等的定义 上述问题中，集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中有元素不属于集合 A，这时，我 们就说集合 A 是集合 B 的真子集；集合 A 是集合 C 的子集，且集合 A 与集合 C 的元素完 全相同，这时，我们就说集合 A 与集合 C 相等． 真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，即 A 合 A，那么集合 A 叫作集合 B 的真子集，记作 A B，并且 B 中至少有一个元素不属于集 B或B A． A B 的 Venn 图为 两集合相等：如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，即 A 集合 B 的每一个元素也都是集合 A 中的元素，即 B 作 A＝B． B，反过来， A，那么就说集合 A 等于集合 B，记 A＝B 的 Venn 图为 思考：设 A，B 是两个集合，A 5. 子集、真子集的有关性质 由子集、真子集的定义可推知： B，A B，A＝B 三者之间的关系是怎样的？ （1）对于集合 A，B，C，如果 A B，B C，那么 A C． （2）对于集合 A，B，C，如果 A B，B C，那么 A C． （3）A A． （4）空集是任何非空集合的真子集． 三、解释应用 ［例 题］ 1. 用适当的符号（∈， ，＝， ， ）填空． （1）3 ___________ ｛1，2，3｝． （2）5 ___________ ｛5｝． （3）4 ___________ ｛5｝． （4）｛a｝ ___________ ｛a，b，c｝． （5）0 ___________ ． （6）｛a，b，c｝ ___________ ｛b，c｝． （7） ___________ ｛0｝． （8） ___________ ｛ ｝． （9）｛1，2｝ ___________ ｛2，1｝． （10）G＝｛x｜x 是能被 3 整除的数｝ ___________ H＝｛x｜x 是能被 6 整除的数｝． 2. 写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集． 3. 说出下列每对集合之间的关系． （1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝． （2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝． （3）N，N*． （4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝． ［练 习］ 1. 用适当的符号（∈， ，＝， ， ）填空． （1）a ___________ ｛a｝． （2）b ___________ ｛a｝． （3） ___________ ｛1，2｝． （4）｛a，b｝ ___________ ｛b，a｝． （5）A＝｛1，2，4｝ ___________ B＝｛x｜x 是 8 的正约数｝． 2. 求下列集合之间的关系，并用 Venn 图表示． A＝｛x｜x 是平行四边形｝， B＝｛x｜x 是菱形｝， C＝｛x｜x 是矩形｝， D＝｛x｜x 是正方形｝． 拓展延伸 填 表 表 2-1 集 合 集合中元素的个数 1 2 3 4 … 子集的个数 真子集的个数 ｛a｝ ｛a，b｝ ｛a，b，c｝ ｛a，b，c，d｝