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第三章+导数、函数、不等式及其运用(教师版)


第三章 导数、函数、不等式及其运用
第1讲
一、知识梳理

导数的概念及运算

(C)? =
( e x )? =

; ,

( x n )? = ( a x )? =

;(n∈ Q) , (sin x)? = ,
(ln x)? =

, (cos x)? = , (loga x)? =

(2) 导数的四则运算 (u ? v)? =
(uv)? =

, [Cf ( x)]? =
)? = , (u v

(v ? 0)

(3) 复合函数的导数 设 u ? ? ( x) 在点 x 处可导, 则复合函数 f [? ( x)] 在点 x 处可导,且 f ?( x) = y ? f (u) 在点 u ? ? ( x) 处可导, ? ? ? 即 y x ? yu ? u x . 二、重难点 1.重点:理解导数的概念与运算法则,熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点:切线方程的求法及复合函数求导 三、典例分析 考点 1: 导数概念 题型 1 导数的几何意义



,a ? 2 ? 处切线的斜率为8,a = ( 例 1(1) (2013 年高考)已知曲线 y ? x ? ax ? 1在点 ? ?1
4 2



A. 9

B. 6

C. -9

D. -6

3 3 解: y? ? 4 x ? 2ax ,所以 4 ? (?1) ? 2a(?1) ? 8 ,所以 a ? ?6 ,故选 D.

(2) (2008 辽宁高考) 设 P 为曲线 C : y ? x2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 [0, ? ] , 4 则点 P 横坐标的取值范围是( A ) A. [ ?1, ? 1 ] 2 B. [ ?1, 0] C. [0,1] D. [ 1 ,1] 2

第 1 页 共 1 页

变式训练 1. 求 y ? 2 x 2 ? 3 在点 P(1,5) 处的切线方程. 解:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ? 在 x ? 1 处的函数值

? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ? x?1 ? 4
即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y ? 4 x ? 1 .

2. 已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解:(1)∵ y′=x2,∴ 在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y? |x=2=4. ∴ 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ?
1 3 4 与过点 P(2,4)的切线相切于点 3

1 3

4 3

? 1 3 4? A? x0 , x0 ? ?, 3? ? 3

则切线的斜率 k= y? |

x ? x0

=

x 02 .
2 3 4 x0 ? . 3 3

2 ?1 3 4? 2 ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x0 ? x ? ∴ 切线方程为 y ? ? x0

?3

3?

2 3 ? x0 ? , ∵ 点 P(2,4)在切线上,∴ 4= 2 x0

2 3

4 3

2 3 2 3 2 2 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)(x0 ? 1) ? 0, ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴x0 即 x0

∴ (x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2,

故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

【小结】求切线方程时要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.

题型 2 导数的物理意义 例 2 一球沿一斜面从停止开始自由滚下,10 s 内其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小 球在 t=5 时的速度. 解:速度 v= lim

s(5 ? ?t ) ? s(5) (5 ? ?t ) 2 ? 52 ? lim (10+Δt)=10 m/s. ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

∴ 速度 v=2t=2× 5=10 m/s.
【小结】计算连续函数 y ? f ( x) 在点 x 1. 计算

? x0 处的瞬时变化率的基本步骤是
2. 计算

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x

?y ?x ?0 ?x lim
2

变式训练 3 某质点的运动方程是 S ? t? (2t ? 1) ,则在 t=1s 时的瞬时速度为( B ) A.-1 B.-3 C.7
第 2 页 共 2 页

D.13

考点 2 导数的运算 题型 1 求导运算 例 1 求下列函数的导数: (1) y ? e x cos x 解: (1) (2) y ? x2 ? tan x
'

(3) y ? ln( x ? 1)

y ? e x cos x,? y ' ? ? e x ? cos x ? e x (cos x)' ? e x cos x ? e x sin x
'

(2)
'

y ? x 2 ? tan x,? y ' ? ? x 2 ? ? (
1 1 ? ( x ? 1)' ? x ?1 x ?1

1 sin x ' cos 2 x ? sin x(? sin x) ? 2x ? ) ? 2x ? 2 cos 2 x cos x cos x

(3) y ?

【小结】 注意复合函数的求导方法(分解 ? 求导 ? 回代) ;注意问题的变通:如 导数不易求错.

y ? xe? x 的导数容易求错,但 y ?

x ex



变式训练 4 下列函数的导数:
2 (1) y ? ( x ? 1)(2x ? 3x ?1)

3 (2) y ? 2 x ? 3x ? x ? 1 x x

(3) f ( x) ? e ? (cos x ? sin x)
x

解:(1)法一: y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? x ? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 2 x 3 ? 5x 2 ? 2 x ? 1 ∴ y? ? 6 x2 ? 10 x ? 2 法二: y? ? ( x ? 1)?(2x 2 ? 3x ? 1) ? ( x ? 1)(2x 2 ? 3x ? 1)? = 2 x ? 3x ? 1 + ( x ? 1) (4 x ? 3)
2

? 6 x2 ? 1 0 x? 2

(2) y ? 2 x ? 3x ∴ y ? ? 3x ?
1 2

3 2

?

1 2

?x ?x
3

?1

?

3 2
5

3 ?2 3 ? x ? x ?2 ? x 2 2 2

(3) f ?( x) ? ex(cosx+sinx)+ex(-sinx+cosx) ? 2excosx,

四、 【课后巩固练习】 1.(2013 年高考广东卷(文) )若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? ____________.
2

解析:本题考查切线方程、方程的思想.依题意 y ? 2ax ?
'

1 ' ,y x

x ?1

? 2a ? 1 ? 0, 所以 a ?

1 。 2
.

2. (2014 年高考广东卷(理) )曲线 y ? e

?5 x

? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为

解析: y' ? ?5e?5x ,? y'

x?0

? ? 5,?所求切线方程为y ? 3 ? ?5x,即5x ? y ? 3 ? 0 .
?

3.(2013 年高考江西卷(文 11) )若曲线 y ? x ? 1 (α∈ R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α=_______ 。 解析:本题考查导数的计算以及导数的几何意义。函数的导数为 y ' ? ? x
? ?1

,所以在点(1,2)处的切线斜

率为 k ? ? ,则切线方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,因为切线过原点,所以 0 ? 2 ? ? (0 ? 1) ,解得 ? ? 2 。
4.(2013 年高考江西卷(理) )设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且
x

f (e x ) ? x ? e x ,则 f / (1) ? _________ .

x) n ? l x x? , 解析: 本题考查导数的基本运算如求值。 令t ? e , 则 x ? ln t , 所以函数为 f (t ) ? ln t ? t , 即 f(
第 3 页 共 3 页

1 1 ? 1 ,即 f '(1) ? ? 1 ? 2 。 x 1 b 5.(2008 海南高考)设函数 f ( x ) ? ax ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 x
所以 f '( x) ? (Ⅰ )求 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ )证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求 此定值。 解: (Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

1 7 x ? 3 ,当 x ? 2 时, y ? ; 2 4
故 f ? x? ? x ?

b 1 ? 2a ? ? ? ?a ? 1 b ? 2 2 ' 又 f ? x ? ? a ? 2 ,于是 ? ,解得 ? , x ?b ? 3 ?a ? b ? 7 ? ? 4 4
' (Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? 为曲线上任一点,由 y ? 1 ?

3 x

3 知曲线在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 x2

? ? 3? ? 3 ? 3 ? y ? y0 ? ?1 ? 2 ? ? x ? x0 ? ,即 y ? ? x0 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? x ? x0 ? x0 ? ? x0 ? ? ? x0 ?
令 x ? 0 ,得 y ? ?

? 6? 6 ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, ? ? ; x0 x0 ? ?

令 y ? x ,得 y ? x ? 2x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 ? 2x0 , 2x0 ? ; 所以点 P ? x0 , y0 ? 处的切线与直线 x ? 0, y ? x 所围成的三角形面积为

1 6 ? 2 x0 ? 6 ; 2 x0

故曲线 y ? f ? x ? 上任一点处的切线与直线 x ? 0, y ? x 所围成的三角形面积为定值,此定值为 6.

第 4 页 共 4 页

第2讲
一、知识梳理 1. 函数的单调性与导数的关系

导数在研究函数中的应用

一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 解析:单调递增;单调递减 2. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且 如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f ( x) 的 足“左负右正”,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是 解析:极大值点;极小值. 3.解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) . (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用函数的导数为 0 的点, 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间, 并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的 值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小 值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 4.求函数最值的步骤: (1)求出 f ( x) 在 ( a, b) 上的极值.(2)求出端点函数值 f (a), f (b) . (3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值. 二、重难点 1.重点:熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路,熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值 的方法 2.难点:与参数相关单调性和极值最值问题 三、典例分析 考点 1 导数与函数的单调性 题型 1 求函数的单调区间 例 1(2013 年广东(理)卷)设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).
x 2

;如 果 f ?( x) ? 0 ,

.

, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满

(Ⅰ ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
解:(Ⅰ ) 当 k ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

第 5 页 共 5 页

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?

0
0
极大值

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0
极小值

由上表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0 ? , ? ln 2, ??? .
【小结】求函数单调区间的一般步骤. (1)求函数

f ( x) 的导数 f ?( x )(2)令 f ?( x) ?0 解不等式,得 x 的范围就是单调增区间;令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的

范围就是单调减区间(3)对照定义域得出结论.

[误区警示]求函数单调区间时,容易忽视定义域。 如求函数 y ? ln( x ? 1) ? 练习:
3 2 ) 且 在 点 M (? 1, f ? ( 1)处 ) 的切线方程为 1. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的 图 象 过 点 P( 0 , 2 ,

1 2 x ? x 的单调增区间,错误率高,请你一试,该题正确答案为 (?1, 0) . 2

6x ? y ? 7 ? 0 .
(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上.函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上递增可得: f '( x) ? 0 ;函数 f ( x) 在 区间 [a, b] 上递减可得: f '( x) ? 0 . 解: (Ⅰ)由 f ( x) 的图象经过 P(0, 2) ,知 d ? 2 , 所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2 .
3 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .
2

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,

(?1) ? 6 . 知 ?6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,即 f ( ?1) ? 1 , f ′
所以 ?

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, 即? 解得 b ? c ? ?3 . ??1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0.
3 2

故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 .
2 (Ⅱ)因为 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ,

令 3x ? 6 x ? 3 ? 0 ,即 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2 2

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 .
第 6 页 共 6 页

当 x ? 1? 2 或 x ? 1? 2 时, f '( x) ? 0 , 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 在 ??,1 ? 2 ? 内是增函数,在 ?1 ? 2,1 ? 2 ? 内是减函数,在 ?1 ? 2, ?? 内 ? ? ? ? 是增函数. 题型 2.由单调性求参数的值或取值范围 例 2 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 的图像经过点 M (1, 4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,求 m 的取值范围. 【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,即 ?m, m ?1? 为函数的递增区间的子集. 解: (Ⅰ) f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M (1, 4)
3 2 2 ∵ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ,∴ f ?(1) ? 3a ? 2b

?

?

∴a?b ? 4

由已知条件知 f ?(1) ? ( ? ) ? ?1 即 3a ? 2b ? 9

1 9

∴解 ?

?a ? 1 ? a?b ? 4 得: ? ?b ? 3 ?3a ? 2b ? 9

3 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? 3x , f ?( x) ? 3x ? 6 x

令 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 0 则 x ? ?2 或 x ? 0
2

∵函数 f ( x ) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增 ∴ [m, m ? 1] ? (??, ?2] [0, ??) ∴ m ? 0 或 m ? 1 ? ?2 即 m ? 0 或 m ? ?3
【小结】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.

练习: 2. 若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是( C )
3 2

1 1 1 C. [ , ??) D. ( ?? , ] 3 3 3 3 2 3.(2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
A. ( , ??)

1 3

B. (??, )

(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解: (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) 第 7 页 共 7 页
2

又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 4.(2009 北京高考)设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (Ⅰ )求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ )求函数 f ( x) 的单调区间;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅲ )若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 解: (Ⅰ )f
'

? x? ? ?1? kx? ekx , f ' ?0? ? 1, f ?0? ? 0 ,
1

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ )由 f
'

? x? ? ?1? kx? ekx ? 0 ,得 x ? ? k ? k ? 0 ? ,
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? k ?
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? k ?
1 ? ?1 , k

(Ⅲ )由(Ⅱ )知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

即 k ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调递增, 若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? 1, k

即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调递增,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上可知,函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1,0?

? 0,1?

第 8 页 共 8 页

题型 3.利用单调性证明不等式 例 3 当 x ? 0 ,求证 e ? 1 ? x
x

解析:设函数 f ( x) ? e x ? (1 ? x)
x 0

f ?( x) ? ex ?1

当 x ? 0 时, e ? e ? 1 , ? f ?( x) ? ex ?1 ? 0 故 f ( x) 在 [0, ??) 递增, ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) , 又 f (0) ? e0 ? (1 ? 0) ? 0 ,? f ( x) ? 0 ,即 e x ? (1 ? x) ? 0 ,故 e ? 1 ? x
x

【小结】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数,往往构造函数,借助于函数的单调性来证明

5. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln(1 ? x2 ) (1)当 a ?

4 时,求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极值; 5 4 4 时, f ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 5 5

(2)证明:当 x ? 0 时, ln(1 ? x2 ) ? x ; 解: (1)当 a ?

? f ' ( x) ?

4 2x 4 x 2 ? 10x ? 4 ? ? 5 1? x2 5(1 ? x 2 )

x, f ' ( x), f ( x) 变化如下表

x
f ' ( x)
f ( x)
1 2 5 ? f 极大值 ? f ( ) ? ? ln , 2 5 4
(2)令 g ( x) ? x ? ln(1 ? x )
2

? 1? ? 0, ? ? 2?
+ ↗

1 2
0 极大值

?1 ? ? ,2 ? ?2 ?


2
0 极小值

?2,???
+ ↗

f 极小值 ? f (2) ?

8 ? ln 5 5

则 g ( x) ? 1 ?
'

2x ( x ? 1) 2 ? ?0 1? x2 1? x2

? g ( x)在?0, ? ?? 上为增函数。? g ( x) ? g (0) ? 0

?ln(1 ? x2 ) ? x

考点 2 导数与函数的极值和最大(小)值. 题型 1 利用导数求函数的极值和最大(小)值
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例1 设函数f(x)= 2 x3 ? 3(a ?1) x2 ? 1, 其中a ? 1. (Ⅰ )求f(x)的单调区间; (Ⅱ )讨论f(x)的极值。 解:由已知得 f ( x) ? 6x ? x ? (a ?1)? ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得
'

x1 ? 0, x2 ? a ? 1。

(Ⅰ )当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 6 x2 , f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增;
' ' 当 a ? 1 时, f ( x) ? 6 x ? ? x ? ? a ? 1? ? ? , f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, 0)
+

0 0 极大值

(0, a ? 1)

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)

?

?

从上表可知,函数 f ( x) 在 ( ??, 0) 上单调递增;在 (0, a ? 1) 上单调递减;在 (a ? 1, ??) 上单调递增。 (Ⅱ )由(Ⅰ )知,当 a ? 1 时,函数 f ( x) 没有极值; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,在 x ? a ? 1 处取得极小值 1 ? (a ? 1)3 。 例 2. 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ )若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 解: f ( x) 的定义域为(0,+?), …………1 分

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ………………3 分 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ………………5 分 ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ………………………… 6 分 e e ? ?) 上恒成立, (Ⅱ )依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1,
1 , ? ?) 恒成立 . 对于 x ? [1 ……………………8 分 x 1 1 1 1? 1? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . ……………………10 分 x x x x? x? 1? 1? 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x? x? ? ?) 上的增函数, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , ……………… 13 分 故 g ( x) 是 (1, 1] . 所以 a 的取值范围是 (??, …………………………………………14 分
即不等式 a ? ln x ?
【小结】求函数

f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上的最大值(或最小值)的步骤:①求 f ( x) 在 ? a, b ? 内的极大(小)值,②将极大

(小)值与端点处的函数值进行比较,其中较大者的一个是最大者,较小的一个是最小者.

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题型 2 已知函数的极值和最大(小)值,求参数的值或取值范围 例3 已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2? 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 .
3 2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式 (2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围 解: f
'

? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b ,

-----------------2 分

因为函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,------------------------3 分
'

又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 。------------------------4 分 (1)函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' ? ?2? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,-------5 分 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 ,------------------------------------------7 分 所以 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 4x ? 3 .------------------------------------8 分
3 2

(2)因为函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,所以导函数 f

'

? x ? ? ?3x2 ? bx ? b

在区间 ? ?2,0? 上的值恒大于或等于零,--------------------------------10 分 则?

? ? f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 得 b ? 4 ,所以实数 b 的取值范围为 ? 4, ?? ? ----14 分 f ' 0 ? b ? 0, ? ? ? ?

【小结】已知

f ( x) 在 x ? x0 处有极值,等价于 f '( x) ? 0 。

练习:

15 ,则 a =( C ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或? 2 2 2 2 2 15 15 2 2 解析: y ? ?( x ? 1) ? 4 在 [ a, 2] 上的最大值为 ,? a ? ?1 且在 x ? a 时, y最大 ? ? a ? 2a ? 3 ? , 4 4 3 1 1 解之 a ? ? 或 a ? ? (舍去) ,? a ? ? 选 C. 2 2 2
6. y ? ? x ? 2 x ? 3 在区间 [ a, 2] 上的最大值为
2

3 7.已知函数 f ( x) ? ax ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值 ?2 .

(1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明:对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立. 解: (1)由奇函数定义,有 f (? x) ? ? f ( x), x ? R . 即

?ax3 ? cx ? d ? ?ax3 ? cx ? d ,? d ? 0. 因此,

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f ( x) ? ax3 ? cx, f '( x) ? 3ax2 ? c.
由条件 f (1) ? ?2 为 f ( x) 的极值,必有 f '(1) ? 0,



?a ? c ? ?2 ? ?3a ? c ? 0

,解得 a ? 1, c ? ?3.

因此 f ( x) ? x3 ? 3x, f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1),

f '(?1) ? f '(1) ? 0.

当 x ? (??, ?1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (??, ?1) 上是增函数. 当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (?1,1) 上是减函数. 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (1, ??) 上是增函数. 所以, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f (?1) ? 2. (2)由(1)知, f ( x) ? x3 ? 3x( x ?[?1,1]) 是减函数,且

f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为 M ? f (?1) ? 2, 最小值为 m ? f (1) ? ?2.
所以,对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? 2 ? (?2) ? 4. [方法技巧] 善于用函数思想不等式问题,如本题 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x)max ? f ( x)min . 8. 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (m ? 3) x 2 ? (m ? 6) x ,x∈R. (其中 m 为常数) 3 2

(I)当 m=4 时,求函数的极值点和极值; (II)若函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)上有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当 m=4 时,f(x)= x3-x2+10x, f ' ( x ) =x2-7x+10,令 f ' ( x) ? 0 , 解得 x ? 5 或 x ? 2 .令

f ' ( x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 , 列表

x
f ' ( x) f ( x)

(??,2)

2
0

(2,5)
-

5
0

(5,??)

?


?

26 25 ↘ ↗ 3 6 26 25 所以函数的极大值点是 x ? 2 ,极大值是 ;函数的极小值点是 x ? 5 ,极小值是 . 3 6
( Ⅱ ) f ' ( x ) = x2 - ( m + 3 ) x + m + 6, 要 使 函 数 y ? f ( x) 在 ( 0 , + ∞ ) 有 两 个 极 值 点 , 则

第 12 页 共 12 页

?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0 ? ,解得 m>3. m?3? 0 ? ? m?6?0 ?
9. 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x 2 , (I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围。

1 ? 2x , x?a 2 3 依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? .从而 f ?( x) ? 2 x ? 3 x ? 1 ? (2 x ? 1)( x ? 1) . 3 3 2
解: (Ⅰ) f ?( x ) ?

x?

2

x?

2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ? 当x??

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

1 时, f ?( x) ? 0 . 2
? 3 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 单调递减. 2?

? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? 从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , ?? ,
? ∞) , f ?( x) ? (Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (?a,
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ? (ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 若a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

2或a ? ? 2 .

2 , x ? (? 2, ? ∞) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x??

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ∞ 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ? ? ? ? ? ? 2 ? 时, f ( x) ? 0 , 2 2 ? ? ? ?

所以 f ( x) 无极值. 若 a ? ? 2 , x ?( 2 ,∞ ? ) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
?a ? a 2 ? 2 , 2

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

2 或 a ? ? 2 , 则 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0有 两 个 不 同的 实 根 x1 ?
第 13 页 共 13 页

x2 ?

?a ? a 2 ? 2 . 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 在的定义域内没有零点,故 f ( x) 无极值. 当a ?

2 时,x1 ? ?a ,x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知 f ( x) 在

x ? x1,x ? x2 取得极值.
综上, f ( x) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞ ? ).

考点 3 综合问题 例 1 设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

解方程组得 a ? ? , b ? ?1 .

1 3

(Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

1 3

? 2) 因为 当 x ? (??, 0) 当 x ? (?2,
所以

(0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;

(1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 .

f ( x) 在 (?2, 0) 和 (1, 1) 上是单调递减的. ? ?) 上是单调递增的;在 (??, ? 2) 和 (0,
2 x ?1

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e 故 f ( x) ? g ( x) ? x e 令 h( x) ? e
x ?1

1 ? x3 ? x 2 , 3

2 x ?1

? x3 ? x2 (e x?1 ? x) ,

? x ,则 h?( x) ? e x?1 ?1 .

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ??, 1? 时, h?( x) ≤ 0 , 所以 h( x) 在 x ? ? ??, 1? 上单调递减.故 x ? ? ??, 1? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 因为 x ? ?1 , ? ? ? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ?1, ? ? ? 上单调递增.
第 14 页 共 14 页

故 x ? ?1 , ? ? ? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 .

? ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x 所以对任意 x ? (??,

2

≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,

? ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) . 故对任意 x ? (??,
练习 10. (2008 天津高考)设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b( x ? R) ,其中 a,b ? R . (Ⅰ )当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(Ⅱ )若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ )若对于任意的 a ?? ?2, , 2? ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ? ?11 ? 上恒成立,求 b 的取值范围. 解: (Ⅰ ) f ?( x) ? 4 x3 ? 3ax2 ? 4 x ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) . 当a ? ?

10 时, 3

f ?( x) ? x(4x2 ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

1 , x3 ? 2 . 2

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?∞, 0)

0 0
极小值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2? ? , ?2 ?

2
0
极小值

(2,∞ ? )

?


?


0
极大值

?


?


? ) 内是增函数,在 (?∞, 0) , ? , 所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2,∞ 2 ? 内是减函数.
2 2 (Ⅱ ) f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根. 2 2 为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ≤ 0 .

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3 (Ⅲ )由条件 a ?? ?2, 2? 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .
第 15 页 共 15 页

8 3

8 3

? 8 8? ? ?

因此函数 f ( x) 在 ? ?11 , ? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 为使对任意的 a ?? ?2, , 2? ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ? ?11 ? 上恒成立,当且仅当

? f (1) ≤1, ? ? f (?1) ≤1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

在 a ?? ?2, 2? 上恒成立. 所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 ? ?∞, ? 4? . 函 数 f (x) ?2l 例2 设 n x ? x
2

.(I)求 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 ;
2

x ? x? 2 ?a (II)若 关 于x 的 函 数 f ?x ? ?

1 ,3 ] 在 区 间[

内 恰 有 两 个 零 点 , 求 实 数a 的 取 值 范 围 .

思路分析:(I)求出导数,根据导数大于 0 求得 f ( x) 的单调递增区间. (II)令 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? 2 ? a .利用导数求出 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? 2 ? a 的单调区间和极值点,画出其 简图,结合函数零点的判定定理找出 a 所满足的条件,由此便可求出 a 的取值范围.

综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln 3 ? 5, 2ln 2 ? 4?

第 16 页 共 16 页

练习 11.设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ). (1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (2) 证明:当 k ??0, +?? 时,函数 f ? x ? 在 R 上有且只有一个零点.

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ?( x )

? ??,0?
?


0 0 极大值

? 0,ln 2?
?


ln 2
0 极小值

? ln 2, ???
?


f ? x?

第 17 页 共 17 页

四、课后巩固练习 1. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所

y

y=f'(x)

b

示,则函数 f ( x) 在 ( a, b) 内有极小值点共有( A ) A.1 个 B.2 个 D ) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-1,极大值 3 ) D.0 C.3 个 D. 4 个

a

o

x

2.函数 y ? 1 ? 3x ? x3 有( A. 极小值-1,极大值 1 C. 极小值-2,极大值 2

3.函数 y=f(x)=lnx-x,在区间(0,e]上的最大值为 ( B A.1-e B.-1 C.-e

4. (2013 年高考课标Ⅰ 卷(文) )(本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 .
x 2

(Ⅰ )求 a, b 的值; (Ⅱ )讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值.

解:(I)f 1 ( x) ? e 2 (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4.由已知得f (0) ? 4, f 1 (0) ? 4, 故b ? 4, a ? b ? 8, 从而a ? b ? 4;
(II) 由(I)知, ( f x) ? 4ex ( x ? 1) ? x2 ? 4x,

1 f '( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 2
令 f '( x) ? 0得,x =-1n2或x=-2. 从而当 x ? (??, ?2)
' (?1n2, ??)时,f '( x) ? 0;当x ? ( ?2, ?1n2)时,f( x) <0.

故 f ( x)在( -?,),( -2 -1n2, +?)单调递增,在(-2, -1n2)单调递减 . 当 x=-2时,函数( f x)取得极大值,极大值为( f -2)( =4 1-e?2 ) . 5. 已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a, b, c 为常数。
4 4

(1)试确定 a , b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间。 解: (I)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x) 求导得 f ' ? x ? ? 4ax ln x ? ax ?
3 4

1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 .
3 (II)由(I)知 f ?( x) ? 48x ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

第 18 页 共 18 页

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数.

1) ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1,∞ 因此 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ? ).
6. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(Ⅰ)求函数 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 的最小值。 解: (I) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

1 恒成立,求实数 a 2

a 1 a x?a ? x ? 0? , F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x

∵ a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ??? ,∴ F ? x ? 在 ? a, ?? ? 上单调递增. 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减. ∴ F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ?? ? . (II) F ' ? x ? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? , x2

k ? F ' ? x0 ? ?

x0 ? a ? 1 2 ? ? x0 ? 0 ? x ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 2 ? x0 ? 2 ?max
1 2 1 1 1 x0 ? x0 取得最大值 . ∴ a ? ,∴amin= . 2 2 2 2

当 x0 ? 1 时, ?

7. (2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解:(1) f ( x) ? 3x ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,
' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
' 2

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

' ' ' (2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;

所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ?
第 19 页 共 19 页

5 . 2

8. (2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。 解:(Ⅰ ) f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称, 所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6

(Ⅱ )由(Ⅰ )知, f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? cx , f ?( x) ? 3x2 ?12x ? c ? 3( x ? 2)2 ? c ?12 . (ⅰ )当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数;
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t 2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t ? 6t ? ct ? ?2t ? 6t , t ? (2, ??).
3 2 3 2 2 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t )

在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8).

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

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