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二次函数典型练习题


1、函数y=ax-2(a≠0)与y=ax2(a ≠ 0),z在同一平面直角坐标系中的 图象可能是图中的( A ) y y y y 0 0 x x

0
A

x

0
B

x
C D

2、如图,已知物体下落的高度h关于下落的时间t的函数关系式为 h=1/2gt2(g是正常数),则此函数的大致图象为( A ) y y y y 0 0 x x

0
A

x

0
B

x
C D

3、已知函数y=(m+1)x +3x-m是关于x的二次函数,求m的值 及函数关系式。 y=2x2+3x-1
4、如图,直线y=kx+b过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2交于B,C两点, 且B点坐标为(1,1)。 (1)求直线与抛物线的表达式; (2)抛物线上是否存在一点D,使得S△AOD=S △ OBC?若存在,求出D点的坐标; 若不存在,说明理由。 y

m2+1

解析(1)∵B(1,1)在y=ax2上, (2)假设存在D(x,x2)满足要求,直线 ∴a=1, ∴ 2另一交点C的坐标 y=x2, C y=-x+2与抛物线y=x ∵ 为(-2,4),A(2,0)、B(1,1)在直线y=kx+b上 2k+b=0 k=-1 ∴ S△OBC=S △ AOC-S △ AOB=1/2*2*4-1/2*2*1=3, ∴ k+b=1 ∴ b=2 而S =1/2*2*X2, ∵ S ∴y=-x+2 =S , ∴ ∴ X=± 3 ∴存在满足要求的点D, 其坐标为( 3 ,3)或(- 3 ,3)
△ AOD X2=3, △ AOD △ OBC

D

B

0

A

x

5、函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=x-2交予点(1,b) 求:(1)a、b的值; (2)抛物线y=ax2的解析式,并求顶点坐标和对称轴; (3)x取何值时,y=ax2中的y随x的增大而减小; (4)求抛物线与直线y=-3的两个交点及顶点所围成的三角 y 形的面积。 2 B 提示(1)∵y=ax2与y=x-2相交于(1,b), (3)∵抛物线y=-x2的开口向下,顶点坐标为(0,0), (2)6、设关于x的方程x -4 2的解析式为:y=-x2, ∵a=-1, ∴抛物线y=ax 5x+20t=0有 两个实数根x1,x2且x12+x22=z, ∴b=1-2=-1, ∴a=-1. P ∴该抛物线的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0) ∴当x>0时,y 随x的增大而减小。 求z与t之间的函数关系式,并求当自变量t 即b=-1,a=-1 Ax 0 的取值范围。 提示:由题意得:∵方程x2-4 5 x+20t=0有两个实数根x1,x2, 7、如图直线ι过点A(4,0),B(0,4)两点, A 2在第一象限交予P点, 5 ,x1· 2=20t, 它与抛物线y=ax ∴x1+x2=4 x 若S△∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 A0P=9/2,求二次函数的解析式 提示:设直线ι的关系式为y=kx+b, ∵该直线经过点A(4,0),B(0,4), 8、如图在△ABC中,BC=40,高AD=20, =(4 5 )2-2×20t=80-20t=z, E N 将A、B两点代入函数y=kx+b,得k=-1,b=4, ∴该函数关系式为y-x+4, H 四边形EFGH是内接矩形,FG在BC边上, 即z与t的函数关系式为:z=80-20t(t≤1) 由∵它与函数y=ax2在第一象限相交于点P,且S△A0P=9/2,∴A0=4, 设EF=x,矩形EFGH的面积为y, 则△ A0B的高为9/2÷1/2÷4=9/4, ∴当y=9/4时,x=7/4, ∴P(7/4,9/4), B 试求y与x之间的函数关系式,并确定 C 由∵抛物线y=ax2,经过P点, ∴9/4=a×(7/4)2→a=36/49, F M G x的取值范围。 ∴二次函数的解析式为:y=36/49x2

9、有一座抛物线拱桥,正常水位时,桥下水面 y 宽度为20m,拱顶距离水面4m。 求:(1)在如图所示的直角坐标系中, x 0 求出抛物线的关系式; C D E (2)在正常水位的基础上,当水位上升hm时, B A 桥下水面宽度为dm请将d表示成h的函数关系式; (3)设正常水位时,桥下的水面宽度为20m, 为保证过往船只顺利通过(航),桥下水面宽不得 小于18m,则水深超过多少m时就会影响过往船只 在桥下沙扬娜拉进行? (3)由题意知:d≥18,所以10 4 ≥18,4-h≥3.24, 提示:(1)由题意得B(10,-4),? h (2)由题意得:D(d/2,4-h),将D点坐标代入函数y=-1/25x2得: ∴h≤0.76, ∴4-0.76=3.24, 设抛物线方程为y=ax2, 4-h (0≤h≤4) d= (4-h) ÷1/25 ×2=10 则水深超过3.24米时就会影响过往船只在桥下顺利通过。 所以-4=a×102→a=-1/25, 所以抛物线方程为;y-1/25x2.

10、设直线y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2的两个交点的横坐标 分别为x1,x2,且直线与x轴交点的横坐标为x3,
1 1 1 ? ? 求证: x1 x2 x3 提示:因为y=kx+b与x轴的交点的横坐标为x3,当y=时,

kx+b=0→x3=-b/k,
又∵x1,x2是y=kx+b与y=ax2的两个交点的横坐标,
∴得:ax2=kx+b→ax2-kx-b=0,

∴ x1+x2=k/a,x1.x2=-b/a,
∴ 1/x1+1/x2=(x2+x1)/(x1· 2)=(k/a)/(-b/a)=-k/b. x ∴ 1/x1+1/x2=1/x3=-k/b,

即1/x1+1/x2=1/x3


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