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人教A版高中数学【选修2-1】3.2(第1课时)同步练习(含答案)

第3章 3.2 第 1 课时 1.若两个不同平面 α ,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-4,-8,4),则( A.α ∥β C.α ,β 相交但不垂直 1 解析: ∵u=- v 4 ∴α ∥β ,故选 A. 答案: A 2.已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段 AB 与坐标平面( A.xOy 平行 C.yOz 平行 B.xOz 平行 D.yOz 相交 B.α ⊥β D.以上均不正确 ) ) → 解析: 因为AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3), 所以 AB∥平面 yOz. 答案: C 3.在平面 ABCD 中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若 a=(-1,y,z),且 a 为 平面 ABC 的法向量,则 y 等于( A.2 C.1 2 ) B.0 D.无意义 → → 解析: AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2) 设 a=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量 → 则 a·→ AB=0?a·AC=0 , 即{x+y=0?-x-y-2z=0 令 x=-1,则 y=1, ∴y =1. 答案: C 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B、AC 的 中点,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( A.相交 C.垂直 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) ) B.平行 D.不能确定 2 { → → → 5.直线 l 不在平面 ABC 内,且 l 上两点 C、D 满足CD=λ 1AB+λ 2AC,则直线 l 与平面 ABC 的位置关系是________. 答案: 平行 6.设 a=(x,4,3),b=(3,2,z),且 a∥b,则 xz 等于________. 解析: ∵a∥b, x 4 3 ∴ = = , 3 2 z 3 ∴x=6,z= , 2 ∴xz=9. 答案: 9 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1, AB,CC1 的中点,证明:PQ∥RS. 证明: 证法一:以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 D-xyz, 则 P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1). → PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1), → → → → 所以PQ=RS,所以PQ∥RS, 所以 PQ∥RS. → → → 1→ → 1 → 证法二:RS=RC+CS= DC-DA+ DD1, 2 2 → → PQ=PA1+A1Q= DD1+ DC-DA, → → → → 所以RS=PQ,所以RS∥PQ, → → 1→ 2 1→ 2 → 所以 RS∥PQ. 8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1C,B1C1 的中点, 求证:MN∥平面 A1BD. 证明: 如图,以点 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 1? ?1 ? ? D(0,0,0), 角坐标系, 设正方体的棱长为 1, 则 M?0,1, ?, N? ,1,1?, A1(1,0,1), B(1,1,0), 2? ?2 ? ? 1? → ?1 所以MN=? ,0, ?, 2? ?2 DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0), 设平面 A1BD 的一个法向量是 n=(x,y,z), → → 则DA1·n=0 且DB·n=0, 得{x+z=0,?x+y=0, 取 x=1,得 y=-1,z=-1, 所以 n=(1,-1,-1), 1? → ?1 又MN·n=? ,0, ?·(1,-1,-1)=0, 2? ?2 → 所以MN⊥n, 又因为 MN?平面 A1BD, 所以 MN∥平面 A1BD. → → ?尖子生题库?☆☆☆ 9.(10 分)已知 M 为长方体 AC1 的棱 BC 的中点,点 P 在长方体 AC1 的面 CC1D1D 内,且 PM ∥平面 BB1D1D,试探讨点 P 的确切位置. 解析: 以 DA、DC、DD1 为 x、y、z 轴,如图,建立空间直角坐标系,设 DA=a,DC=b,DD1=c. 根据题意可设 A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),则 ? ? M? a,b,0?. 1 ?2 ? 又 PM∥BB1D1D,根据空间向量基本定理,必存在实数对(m,n), → → → 使得PM=mDB+nDD1, ?1 ? 即? a,b-y,-z?=(ma,mb,nc),等价于 ?2 ? ?1 ? a=ma,?b-y=mb,?-z=nc ?2 ? 1 1 ??m= ,?y= b,?z=-nc,n∈R, 2 2 ? 则点 P?0, ,-nc?. ? 2 ? ∴点 P 在面 DCC1D1 的 DC 的中垂线 EF 上. ? b ?

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