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2018-2019版高中数学第一章解三角形1.2.2角度问题练习新人教A版必修5

第 2 课时 角度问题 课后篇巩固探究 1.在静水中划船的速度是 40 m/min,水流的速度是 20 m/min,如果船从岸边 A 处出发,沿着与水流垂直的航 线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游,且与河岸垂直方向所成的角为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 解析如图所示, ∵sin∠CAB= 答案 B ,∴∠CAB=30°. 2.(2017·江西南昌二中月考)如图所示,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 相对于山 坡的斜度为 15°,向山顶前进 100 m 到达 B 处,又测得 C 相对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50 m,山坡的坡角 为 θ ,则 cos θ =( ) A. B. -1 C.2- D. 解析在△ABC 中,由正弦定理,得 BC= =50( )(m). 在 △BCD 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 sin ∠ BDC= 答案 B -1.由题图知 cos θ =sin∠ADE=sin∠BDC= -1,故选 B. 3.一艘船上午 9:30 在 A 处,测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方向,且与它相距 8 n mile, 之后它继续沿 正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向,则此船的航速是 ( ) A.8( C.16( )n mile/h )n mile/h B.8( D.16( )n mile/h )n mile/h 解析由题意,得在△SAB 中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°. 由正弦定理,得 , 即 答案 D 4. ,解得 AB=8( ),故此船的航速为 =16( )(n mile/h). 导学号 04994013 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉,在其正东方向相距 40 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°,相距 20 n mile 的 C 处的乙 船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos θ 等于( ) A. B. C. D. 解析在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°. 由余弦定理,得 BC =AB +AC -2AB·AC·cos 120°=2 800,所以 BC=20 由正弦定理,得 2 2 2 . sin∠ACB= ·sin∠BAC= . 由∠BAC=120°,得∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= 故 cos θ =cos(∠ACB+30°) . =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°= . 答案 B 5.某船在岸边 A 处向正东方向航行 x 海里后到达 B 处,然后朝南偏西 60°方向航行 3 海里到达 C 处,若 A 处 与 C 处的距离为 n mile,则 x 的值为 2 2 2 . 解析在△ABC 中,由余弦定理,得 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B, 即 x +9-2·x·3cos 30°=( 即 x -3 解得 x=2 2 2 ), 2 x+6=0, 或 x= . 答案 或2 6.已知甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 n mile,甲船以 4 n mile/h 的速度向正北方向的岛 B 航行,同时乙 船自岛 B 出发以 6 n mile/h 的速度向北偏东 60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间 是 h. 解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为 t h,距离为 s n mile,此时甲船到达 C 处,则甲船距离 B 岛 (10-4t)n mile, 乙船距离 B 岛 6t n mile, 所以由余弦定理 , 得 cos 120°= =-, 化简 , 得 s2=28t2-20t+100,所以当 t= 时,s 取最小值,即当甲、 乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 2 h. 答案 7.某人见一建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏西 30°方向.此人沿北偏西 70°方向行走了 3 km 后 到达 C,则见 A 在其北偏东 56°方向上,B 在其北偏东 74°方向上,试求这两个建筑物间的距离. 解如图,在△BCO 中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°, ∴∠CBO=180°-40°-36°=104°. ∵OC=3,由正弦定理,得 , 则 BO= . 在△ACO 中 , ∠ AOC=70°,∠ CAO=56°,则∠ ACO=54°. 由正弦定理 , 得 ,则 AO= .在△ABO 中,由余弦定理,得 AB= ≈1.630(km)=1 630(m). 故这两个建筑物间的距离约为 1 630 m. 8.平面内三个力 F1,F2,F3 作用于同一点,且处于平衡状态.已知 F1,F2 的大小分别为 1 N, 角为 45°,求 F3 的大小及 F3 与 F1 的夹角的大小. N,F1 与 F2 的夹 解 如图,设 F1 与 F2 的合力为 F,则 F3=-F. ∵∠BOC=45°, ∴∠ABO=135°. 在 △OBA 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 |F| =|F1| +|F2| -2|F1|·|F2|cos 135°=1 + 135°=4+2 2 2 2 2 -2×1× cos . , ∴|F|=1+ 即|F3|= +1. 又由正弦定理,得 sin∠BOA= . ∴∠BOA=30°. ∴∠BOD=150°. 故 F3 的大小为( 9. 20( +1)N,F1 与 F3 的夹角为 150°. 导学号 04994014 某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏东 60°方向相

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