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重庆南开中学2018-2019学年上学期高一第一次月考数学试卷

南开中学 2018-2019 学年上学期高一第一次月考试卷

A. ?0,3?

B. ?1,3?

C. ? ?1, 0?

D. ? ?1,3? ) D.3 )

数 学
注意 事项: 1 .答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形

7.[2018· 江南十校]若 f ? x ? ? 4 x ? 3 , g ? 2x ? 1? ? f ? x ? ,则 g ? 2? ? ( A.9 B.17 C .2

座位号

? f ? x ? 2? ? 8.[2018· 武威八中]若 f ? x ? ? ? ? x ? ?2
A.2 B.8

x?2 x?2

,则 f ( ?3) 的值为(

码粘贴在答题卡上的指定位置。 2 .选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 .非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 C.



1 2

D.

1 8

?1? 9. [2018· 襄阳四中]已知偶函数 f ? x ? 在区间 ?0, ?? ? 上单调递增, 则满足 f ? 2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 的取值 ?3?



稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4 .考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

范围是(
?1 2 ? A. ? , ? ?3 3?


?1 2? B. ? , ? ?3 3? ? 1 2? C. ? , ? ? 3 3? ?1 2 ? D. ? , ? ?3 3 ?

考场号

第Ⅰ卷
一、选择题:本 大题共 12 小题,每 小题 5 分,在每 小题给出的四 个选项中 ,只有一项是 符 合题 目要求的. 1.[2018· 福州四中]设集合 M ? {x | x ? 4}, a ? 11 ,则下列关系中正确的是( A. a ? M B. a ? M C. {a} ? M D. {a} ? M ) )

10.[2018· 临高二中] y ? x ? A. ?1 B.0

1 在 ?1, 2? 上的最小值为( x
C .1



) D.3



11.[2018· 滁州中学]设 a , b , c 为实数, f ? x ? ? ? x ? a ? ? x2 ? bx ? c ? , g ? x? ? ? ax ? 1? ? cx2 ? bx ? 1? . 记集合 S ? {x | f ? x ? ? 0, x ? R} , T ? {x | g ? x ? ? 0, x ? R} .若 S , T 分别为集合 S,T 的元素个数, 则下列结论不可能的是( A. S ? 1 且 T ? 0 C. S ? 2 且 T ? 2 ) 12.[2018· 广州期末]定义在 R 的函数 f ? x ? ,已知 y ? f ? x ? 2? 是奇函数,当 x ? 2 时, f ? x ? 单调递 增,若 x1 ? x2 ? 4 且 ? x1 ? 2? ? ? x2 ? 2? ? 0 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 值( D. {x | 2 ? x ? 3}
2

) B. S ? 1 且 T ? 1 D. S ? 2 且 T ? 3



准考证号

2.[2018· 洛阳联考]已知集合 A ? ?0,1, 2? , B ? ?1, m? ,若 B ? A ,则实数 m 的值是( A.0 B.2 C.0 或 2 D.0 或 1 或 2
N ?(



3.[2018· 平罗中学]已知 U ? R , M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? 3} ,则 ? CU M ? A. {x | x ? ?1或2 ? x ? 3} C. {x | x ? ?1或2 ? x ? 3} B. {x | 2 ? x ? 3}

) . D.可能为 0



姓名

4.[2018· 大庆实验中学]若 f ? x ? ? x ? 2x ,则 f f ? f ?1? ? ? ( A.1 B.2 C.3

?

?

A.恒大于 0 ) D.4
f ? x ? 1? 2x ? 1

B.恒小于 0

C.可正可负



5. [2018· 官渡一中]已知 f ? x ? 的定义域为 ??2,2? , 则函数 g ? x ? ?
? 1 ? A. ? ? ,3? ? 2 ? ? 1 ? C. ? ? , 0 ? ? 2 ?

,则 g ? x ? 的定义域为 (



第Ⅱ卷
二、 填空题:本大 题共 4 小 题,每小题 5 分. 13.[2018· 北师附中]已知集合 A ? {x|x ? 1} , B ? {x|x ? a} ,且 A __________.
B ? R ,则实数 a 的取值范围

班级

B. ? ?1, ???

? 0,3?


? 1 ? D. ? ? ,3 ? ? 2 ?

6.[2018· 天水一中]函数 y ? x2 ? 2x , x ??0,3? 的值域为(

14.[2018· 宜昌一中]方程 x2 ? ? p ? 1? x ? q ? 0 的解集为 A ,方程 x2 ? ? q ? 1? x ? p ? 0 的解集为 B ,

已知 A

B ? ??2? ,则 A

B ? _______________.

18. (12 分)[2018· 汉台中学]已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ?

1 2?x

的定义域为 A ,

15.[2018· 青冈一中] f ? x ? ? ax2 ? ax ? 1 在 R 上满足 f ? x ? ? 0 ,则 a 的取值范围________. 16.[2018· 西城三五中]已知函数 f ? x ? 由下表给出:

g ? x ? ? x2 ? 1 的值域为 B .
(1)求 A,B;

x
f ? x?

0

1

2

3

4

(2)设全集 U ? R ,求 A

? CU B ?

a0

a1

a2

a3

a4

其中 ak ? k ? 0,1, 2,3, 4? 等于在 a 0 , a1 , a 2 , a3 , a 4 中 所出现的次数,则 a4 ? _________;

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? __________.

三、 解答题:解答 应写出文 字说明、证明 过程或演 算步骤. 17. (10 分)[2018· 西城三四中]已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x|2x ? a ? 0 ? , B ? ?x|x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? . (1)当 a ? 2 时,求集合 A
B;

(2)若 A ? CU B ? ? ? ,求实数 a 的取值范围.

19. (12 分)[2018· 邢台二中]已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? 2x .

20. (12 分)[2018· 北京三九中]已知函数 f ? x ? ? x ? (1)求函数 f ? x ? 的定义域. (2)判断函数 f ? x ? 的奇偶性并说明理由.

1 . x

(3)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性,并用定义加以证明.

(1)已画出函数 f ? x ? 在 y 轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数 f ? x ? 的图像,并根据图像写 出函数 f ? x ? 的增区间; (2)写出函数 f ? x ? 的解析式和值域.

21. (12 分)[2018· 广州二中]某种商品在 30 天内每克的销售价格 P (元)与时间 t 的函数图像是如 图所示的两条线段 AB ,CD(不包含 A ,B 两点) ; 该商品在 30 天内日销售量 Q(克) 与时间 t(天) 之间的函数关系如下表所示.

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1,2? 上的最小值. (2)设 a ? 0 ,函数 y ? f ? x ? 在 ? m, n ? 上既有最大值又有最小值,分别求出 m , n 的取值范围 (用 a 表示) .

第t 天 销售量 Q 克

5 35

15 25

20 20

30 10

(1)根据提供的图象,写出该商品每克销售的价格 P (元)与时间 的函数关系式; (2)根据表中数据写出一个反映日销售量 Q 随时间 t 变化的函数关系式; (3)在(2)的基础上求该商品的日销售金额的最大值,并求出对应的 值. (注:日销售金额=每克的销售价格× 日销售量)

22. (12 分)[2018· 西城一六一中]已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? x x ? a .

数 学 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题:本 大题共 12 小题,每 小题 5 分,在每 小题给出的四 个选项中 ,只有一项是 符 合题 目要求的. 1. 【答案】B 【解析】 4 ? 11,? a ? M ,故选 B. 2. 【答案】C 【解析】当 m ? 0 时, B ? ?1,0? ,满足 B ? A ;当 m ? 2 时, B ? ?1, 2? ,满足 B ? A ; 所以 m ? 0 或 m ? 2 ,所以实数 m 的值是 0 或 2,故选 C. 3. 【答案】A 【解析】由题意得 CU M ? {x | x ? ?1或x ? 2} , ? CU M ? 4. 【答案】C 【解析】由 f ? x ? ? x2 ? 2x ,可得 f ?1? ? 1 ? 2 ? ?1 ;所以 f ? f ?1? ? ? f ? ?1? ? 1 ? 2 ? 3 ;
N ? {x | x ? ?1或2 ? x ? 3} ,故选 A.

9. 【答案】B
?1? 【解析】由函数 f ? x ? 为偶函数可知,原不等式等价于 f ? 2 x ? 1 ? ? f ? ? , ?3?

?2 x ? 1 ? 0 1 2 ? ∵函数 f ? x ? 在区间 ?0, ?? ? 上单调递增,∴ ? 1 ,解得 ? x ? , 2 3 ? 2x ? 1 ? 3 ?
?1 2? ∴原不等式的解集为 ? , ? ,选 B. ?2 3?

10. 【答案】B 【解析】可证得函数 y ? x ?

1 在 ?1, 2? 上单调递增, x

所以当 x ? 1 时,函数有最小值,且最小值为 ymin ? 1 ? 1 ? 0 ,选 B. 11. 【答案】D
2 【解析】 若a ? 0, 则 S ?{ x |x x ? b x ? c ? ?? 0 }

, 当 T ? 2 时,S ? 3 , 当 T ?1 T ? {x | cx2 ? bx ? 1 ? 0} ,

时, S ? 2 ,若 T ? 0 ,则 S ? 1 ; 当 a ? 0 时,若 T ? 3 ,则 S ? 3 ,若 T ? 2 ,则 S ? 2 或 3,若 T ? 1 ,则 S ? 1 或 2. 只有 D 不可能.故选 D. 12. 【答案】A 【解析】由 y ? f ? x ? 2? 是奇函数,所以 y ? f ? x ? 图像关于点 ? 2,0 ? 对称, 当 x ? 2 时, f ? x ? 单调递增,所以当 x ? 2 时单调递增,由 ? x1 ? 2? ? ? x2 ? 2? ? 0 , 可得 x1 ? 2 , x2 ? 2 ,由 x1 ? x2 ? 4 可知 x1 ? 2 ? 2 ? x2 ,
2

f f ? f ?1? ? ? f ? 3? ? 9 ? 6 ? 3 ,故选 C.
5. 【答案】A

?

?

??2 ? x ? 1 ? 2 1 ? 1 ? 【解析】 ? ,则 ? ? x ? 3 ,即定义域为 ? ? ,3? ,故选 A. 2 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0
6. 【答案】D 【解析】

y ? x2 ? 2x ? ? x ? 1? ? 1,∴对称轴为 x ? 1 ,抛物线开口向上,

结合函数对称性可知 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 .故选 A.

∵ 0 ? x ? 3 ,∴当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ,∵ ?1 距离对称轴远, ∴当 x ? 3 时, ymax ? 3 ,∴ ?1 ? y ? 3 ,故选 D.

第Ⅱ卷
二、 填空题:本大 题共 4 小 题,每小题 5 分. 13. 【答案】 ? ??,1? 【解析】

7. 【答案】D 【解析】 f ? x ? ? 4 x ? 3 , g ? 2x ? 1? ? f ? x ? ? 4x ? 3 ,令 t ? 2 x ? 1 ,则 x ? 所以 g ? t ? ? 4 ? 8. 【答案】D 【解析】由题得 f (?3) ? f ? ?1? ? f ?1? ? f ? 3? ? 2?3 ?

t ?1 2

t ?1 ? 3 ? 2t ? 1 ,则 g ? 2? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ,故选 D. 2

1 1 ? ,故选 D. 23 8
用数轴表示集合 A , B ,若 A

B ? R ,则 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ? ??,1? .

故答案为 ? ??,1? . 14. 【答案】 ??2, ?1,1? 【解析】由 A

由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 ,即 B ? ?x | x ? ?1或x ? 3? . (1)当 a ? 2 时, A ? ?x ? x ? ?1? .? A

B ? ?x ? x ? 3? . A

?4 ? 2 p ? 2 ? q ? 0 ? p ? ?2 解得 ? B ? ??2? ,将 x ? ?2 代入得 ? ? 4 ? 2q ? 2 ? p ? 0 ?q ? 2

(2) B ? ?x | x ? ?1或x ? 3? ,? CU B ? ?x | ?1 ? x ? 3? .又

? Cu B ? ? ? ,

则方程 x2 ? ? p ? 1? x ? q ? 0 可以化简为 x2 ? 3x ? 2 ? 0 , x1 ? ?1 , x2 ? ?2 方程 x ? ? q ? 1? x ? p ? 0 可以化简为 x ? x ? 2 ? 0 , x1 ? 1 , x2 ? ?2 ,所以 A
2
2

a ?? ? 3 ,解得 a ? ?6 .∴实数 a 的取值范围是 ? ??, ?6? . 2
18. 【答案】 (1) A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? { y | y ? 1} (2) A

B ? ??2, ?1,1?
【解析】 (1)由 f ? x ? ? x ? 1 ?
1

? CU B? ? {x | ?1 ? x ? 1} .

15. 【答案】 ? ?4,0?
f x) ? ?1 ? 0 成立;当 a ? 0 时, ( f x) 【解析】当 a ? 0 时, ( 为二次函数, f x) ? 0 ,∴二次函数的图象开口向下,且与 x 轴没有交点, ∵在 R 上满足 (

?x ? 1 ? 0 得: ? ,解得 ?1 ? x ? 2 . 2?x ?2 ? x ? 0

g ? x ? ? x2 ? 1 ? 1 , A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? { y | y ? 1}
(2) CU B ? { y | y ? 1} , A

即 a ? 0 , ? ? a 2 ? 4a ? 0 ,解得: ?4 ? a ? 0 , 综上, a 的取值范围是 ?4 ? a ? 0 .故答案为 ? ?4,0? . 16. 【答案】0,4 【解析】 (1)因为 ak ? k ? 0,1, 2,3, 4? 等于在 a 0 , a1 , a 2 , a3 , a 4 中 k 所出现的次数 所以 ak ??0,1, 2,3, 4? ,且 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 4 ,若 a0 ? 1 ,则 a1 ? 1 . 当 a1 ? 2 , a2 ? 1, a3 ? 0 时,满足条件,此时 a4 ? 0 当 a1 ? 3 , a2 ? 0 , a3 ? 0 时,不满足条件 若 a0 ? 2 ,则 a2 ? 0 . 当 a1 ? 1, a2 ? 1 时,不满足条件 当 a2 ? 2 , a1 ? a3 ? 0 时,满足条件,此时 a4 ? 0 若 a0 ? 3 ,则 a3 ? a1 ? 1 ,不满足条件. 综上所述, a4 ? 0 . (2)由(1)可知, a4 ? 0 ,且 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 4 三、 解答题:解答 应写出文 字说明、证明 过程或演 算步骤. 17. 【答案】 (1) ? x ? x ? 3? ; (2) ? ??, ?6? .
a? a ? 【解析】由 2 x ? a ? 0 得 x ? ? ,即 A ? ? x ? x ? ? ? . 2? 2 ?

? CU B? ? {x | ?1 ? x ? 1} .

19. 【答案】 (1) ? ?1,0? , ?1, ?? ? ; (2)见解析 【解析】 (1)根据偶函数图像关于 y 轴对称补出完整函数图像(如图),

f ? x ? 的递增区间是 ? ?1,0? , ?1, ?? ? ;
2 ? ? x ? 2x x ? 0 (2)解析式为 f ? x ? ? ? 2 ,值域为 ? y ? y ? ?1? . ? ? x ? 2x x ? 0

20. 【答案】(1) ? ??,0?

? 0, ??? ;(2)奇函数;(3)单调递增. ? 0, ??? .

【解析】 (1)由题意得 x ? 0 ,∴函数 f ? x ? 定义域为 ? ??,0? (2)函数的定义域关于原点对称, ∵ f ??x? ? ?x ?

1 1 1? ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? f ? x ? ,∴函数 f ? x ? 是奇函数. ? x x x? ? ? ?

(3)函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数.证明如下:设 x1 ? x2 ? 0 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ?
x ?x x ?x 1 ? 1? ? ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2 1 ? 1 2 ? x1 x2 ? 1? ? 0 . x1 ? x2 ? x1 x2 x1 ? x2

∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 ,∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,

∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,∴ f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.
?t ? 20 21. 【答案】 (1) P ? ? ??t ? 100 0 ? t ? 25, 25 ? t ? 30



3 a ? 时,即 2 ? a ? 3 , f ? x ?min ? f ? 2? ? ?4 ? 2a , 2 2
2?a?3 a?3

(2) Q ? ?t ? 40(0 ? t ? 30)

? 2a ? 4 ∴ f ? x ?min ? ? ?a ? 1

(3)日销售金额最大值为 1125 元,此时 t 为 25. 【解析】 (1)由图可知 A? 0,20? , B ? 25, 45? , C ? 25,75? , D ? 30,70 ? , 设 AB 所在的直线方程为 P ? kt ? 20 ,把 B ? 25, 45? 代入 P ? kt ? 20 得 k ? 1 . 所以 l AB : P ? t ? 20 .由两点式得 CD 所在的直线方程为 P ? 75 ?
?t ? 20 整理得, P ? ?t ? 100 , 25 ? t ? 30 ,所以 P ? ? ??t ? 100

?x ? x ? a? x ? a ? (2) a ? 0 , f ? x ? ? ? ? ?x ? a ? x? x ? a
?a? a ①当 a ? 0 时, f ? x ? 的图象如图 1 所示, f ? x ? 在 ? ??, a ? 上的最大值为 f ? ? ? , ?2? 4
2 ? a y ? 1? 2 ? a 由? ,计算得出 x ? 4 2 ? y ? x ? x ? a? ?
2

75 ? 70 ?t ? 25? . 25 ? 30


0 ? t ? 25, 25 ? t ? 30

?5k ? b ? 35 ?k ? ?1 (2)设 Q ? k1t ? b ,把两点 ? 5,35? , ?15, 25? 的坐标代入得 ? 1 ,解得 ? 1 ?b ? 40 ?15k1 ? b ? 25
(20, 20) (30,10) 所以 Q ? ?t ? 40 ,把点 , 代入 Q ? ?t ? 40 也适合,即对应的四点都在同一条直线上,

因为 f ? x ? 在 ? m, n ? 上既有最大值又有最小值,∴ 0 ? m ?

1? 2 a a ,a ? n ? 2 2

所以 Q ? ?t ? 40(0 ? t ? 30) . (3)设日销售金额为 y ,依题意得,当 0 ? t ? 25 时, y ? ? t ? 20?? ?t ? 40? , 配方整理得 y ? ? ? t ? 10? ? 900
2

所以当 t ? 10 时, y 在区间 ? 0,25? 上的最大值为 900 当 25 ? t ? 30 时, y ? ? ?t ? 100?? ?t ? 40? ,配方整理得 y ? ?t ? 70? ? 900 ,
2

a ?a? ②当 a ? 0 时,如图 2 所示, f ? x ? 在 ? a ? ? ? 上的最小值为 f ? ? ? ? . 4 ?2?
2 ? a 1? 2 ?y ? ? a. 由? ,计算得出 x ? 4 2 ? y ? x ?a ? x? ?

2

所以当 t ? 25 时, y 在区间 ? 25,30? 上的最大值为 1125. 综上可知日销售金额最大值为 1125 元,此时 t 为 25.
? 2a ? 4 22. 【答案】 (1) f ? x ?min ? ? ?a ? 1 2?a?3 a?3



因为 f ? x ? 在 ? m, n ? 上既有最大值又有最小值,故有

1? 2 a a ? m ? a , ? n ? 0. 2 2

(2) a ? 0 时, 0 ? m ?

a 1? 3 1? 2 a , a?n? a , a ? 0 时, a ? m ? a , ? n ? 0. 2 2 2 2

【解析】 (1)当 a ? 2 时, x ??1,2? , x ? a ,
a? a ? ∴ f ? x ? ? x ? x ? a ? x ? ? a ? x ? ? ? x ? ax , f ? x ? ? ? ? x ? ? ? . 2? 4 ?
2
2 2

a? ? ?a ? ∵ f ? x ? 在 ? ??, ? 上单调增,在 ? , ?? ? 上单调减. 2? ? ?2 ?



3 a ? 时,即 a ? 3 , f ? x ?min ? f ?1? ? ?1 ? a . 2 2


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