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【红对勾】高中数学 2-3-2-2 双曲线几何性质的应用课件 新人教A版选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线几何性质的应用 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握直线与双曲线位置关系. 2.掌握直线与双曲线有关的弦长,中点等问题, 会求与双曲线有关的简单的轨迹方程. 新 知 视 界 1.直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线 l: y=kx+m(m≠ 0)① x2 y2 双曲线 C: 2- 2= 1(a>0,b>0)② a b 把①代入②得 (b2- a2k2)x2-2a2mkx- a2m2- a2b2= 0. b (1)当 b - a k = 0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线 a 2 2 2 的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于一点. b (2)当 b - a k ≠ 0,即 k≠ ± 时, a 2 2 2 Δ= (-2a2mk)2- 4(b2- a2k2)(- a2m2- a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与 双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线 与双曲线相切; Δ<0?直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双 曲线相离. 思考感悟 直线和双曲线只有一个公共点,直线一定和双 曲线相切吗? 提示:不一定.当直线与双曲线的渐近线平行 时,直线与双曲线相交,只有一个交点. 2.弦长公式 斜率为 k(k≠ 0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 |AB|= 1+ k2|x1- x2|= 1 1+ 2 ? y1+ y2?2- 4y1y2. k 思考感悟 当直线的斜率 k 不存在或为 0 时,如何求弦 长? 提示:把直线的方程直接代入双曲线方程,求 出交点坐标,再求其弦长. 尝 试 应 用 5 1.中心在坐标原点,离心率为 的双曲线的焦 3 点在 y 轴上,则它的渐近线方程为( 5 A. y=± x 4 4 C. y=± x 3 ) 4 B. y= ± x 5 3 D. y=± x 4 c 5 解析:依题意,得 e= = . a 3 设 a= 3k,c=5k,则 b2=c2- a2= 25k2- 9k2= 16k2, 则 b= 4k. 又双曲线焦点在 y 轴上, 3 ∴其渐近线方程为 y=± x. 4 答案:D 2 y 2.已知双曲线方程为 x2- =1,过 P(1,0)的直 4 线 l 与双曲线只有一个公共点,则 l 的条数为( A.4 C.2 B. 3 D. 1 ) 解析:过P与渐近线平行的直线与双曲线只有一个 公共点,另外x=1与双曲线只有一个公共点,∴l的条 数是3. 答案:B 3.直线 3x-y+ 3=0 被双曲线 x2-y2=1 截 得的弦 AB 的长为________. 解析:应用弦长公式. 答案:2 4.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点 为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C 的离心率为________. 解析:顺次连接虚轴的一个端点、一个焦点和原点, 可构成一个直角三角形. 由条件知,这个三角形的两条直角边分别是 b, c(b 是虚半轴长, c 是半焦距 ), 且有一个内角是 30° , 即得 tan30° b c = 或 tan30° = , 所以 b= 3c 或 c= 3b.所以 a2=- 2c2(舍 c b 2 2 去 )或 a = c . 3 2 c 6 所以 e= = . a 2 6 答案: 2 x2 y2 5.已知双曲线 - = 1 的一个焦点为 (2,0). m 3m (1)求双曲线的实轴长和虚轴长; (2)若已知 M(4,0),点 N(x, y)是双曲线上的任 意一点,求 |MN|的最小值. 解: (1)由题意可知, m+ 3m= 4, ∴ m= 1. 2 y ∴双曲线方程为 x2- = 1. 3 ∴双曲线实轴长为 2,虚轴长为 2 3. 2 y (2)由 x2- = 1,得 y2= 3x2- 3, 3 ∴ |MN|= ? x- 4?2+ y2= 4x2-8x+ 13 = 4? x2- 2x+ 1?+ 9= 4? x- 1?2+ 9. 又∵ x≤ - 1 或 x≥ 1, ∴当 x= 1 时, |MN|取得最小值 3. 典 例 精 析 类型一 直线与双曲线的交点问题 y2 [例 1] 已知双曲线 x - =1, 过点 P(1,1)的直线 4 2 l 与双曲线只有一个公共点,求直线 l 的斜率 k. [分析] 双曲线与直线只有一个公共点的题目, 应分两种情况讨论:双曲线与直线相切或直线与双曲 线的渐近线平行.同时在解答时还要对直线 l 的斜率 是否存在进行讨论. [解 ] 可分两种情况: (1)直线 l 斜率不存在时, l: x= 1 与双曲线相切,符合 题意; (2)直线 l 斜率存在时,设 l 方程为 y= k(x- 1)+ 1,代入 双曲线方程,得 (4- k2)x2- (2k- 2k2)x- k2+ 2k- 5= 0. 当 4- k2= 0 时,k= ± 2, l 与双曲线的渐近线平行,l 与 双曲线只有一个公共点; 5 当 4- k2≠0,令 Δ= 0,得 k= . 2 5 综上, k= 或 k= ± 2 或 k 不存在. 2 x2 y2 迁移体验 1 过原点的直线与双曲线 2- 2= a b 1 的公共点的个数为( A. 0 或 2 C. 1 或 2 ) B.0 或 1 D.0 或 1 或 2 解析:过原点的直线的斜率的绝对值大于等于渐 近线斜率的绝对值或斜率不存在时,无公共点;若过 原点的直线的斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值 时有两个交点.故选A. 答案:A 类型二 弦长与中点弦问题 2 y [例 2] 过双曲线 x2- =1 的左焦点 F1,作倾斜 3 π 角为 的弦 AB,求 |AB|的长. 6 [分析] 写出直线方程,代入双

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