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2016届上学期高三数学周周练二


2016 届上学期高三数学周周练二
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A={x|x+1>0},B={x|x-3<0},则 A ? B ? (-1,3) 2.命题“ ?x ? R, sin x ? 1”是 命题(选填“真” , “假” )真 3.函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在 [2,??) 上为增函数,则 m 的取值范围是 。 m ? 16

a b 4.已知函数 f ( x) ? a x ? x ? b 的零点 x0 ? (k , k ? 1)(k ? Z ) ,其中 a , b 满足 3 ? 2,3 ?

9 ,则 k= 4

.1

5.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(-1)=0,则 不等式 f(x)g(x)<0 的解集是_______ (-∞,-1)∪(0,1) 6.若函数 f(x)=

x 3 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为_ x2+a 3

_ . 3-1

b? ? D (其中 a ? b ) b? 时, f ( x) 的值域恰为 7.若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间 ? a, ,使得当 x ? ? a, b? ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 ? a, b? 叫做等域区间.如果函数 g ( x) ? x2 ? m 是 ? 0, +? ? 上的正函数, ? a,
则实数 m 的取值范围

? 1? m ? ? 0, ? ? 4?

8. 已知奇函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,且 f (2) ? 1 ,设集合 P ? x f ( x ? t) ? 1 , Q ? {x | f ( x ? t ) ? ?1} ,若 “ x ? P ”是“ x ? Q ”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是 。 t ? ?2

?

?

9.设动直线 x ? m 与函数 f ( x) ? x3 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M 、 N ,则 | MN | 的最小值为

1 ? ln 3 3

3 2 10.已知奇函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,则这个函数的单调递增区间是

(?

15 15 , ) 3 3
a?b?c 的最小值为 3_ b?a

11.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (b ? a ) ,关于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则 M ?
2 2

12.设函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0 且 f (x+1)+f (x)=9.已知当 x∈[0,1]时,有 f(x)=2﹣|4x﹣2|,则 13.设函数 f ( x) ? 的值为

ex 2 e2 ? k ( ? ln x ) ( e , ) f ( x ) (0, 2) ,k 为常数。若函数 在 内存在 2 个极值点,则 k 的范围是 ____ x2 x 2
2 x ? x3
3

3 14.从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x) ? ? x 与函数 g ( x ) ?

引不是水平方向的切线 ? 1 和 ? 2 ,两切线 ? 1 , ? 2

分别与 y 轴相交于点 B 和点 C , O 为坐标原点,记 ?OAB 的面积为 S1 , ?OAC 的面积为 S 2 ,则 S1 ? S 2 的最 小值为 二.解答题 15.已知 p:对 ?m ???1,1? ,不等式 a2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立;q: ?x , 使不等式 x ? ax ? 2 ? 0 成立。若 p 是
2

8

真命题,q 是假命题,求 a 的取值范围。

? a?? ? ?2 2, ?1?

16. 已知函数 f ( x) ? log4 x, x ? [

1 1 ,4] 的值域为集合 A ,关于 x 的不等式 ( ) 3x?a ? 2 x (a ? R) 的解集为 B ,集合 16 2

C ? {x |

5? x ? 0} ,集合 D ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ( m ? 0) x ?1

(1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 D ? C ,求实数 m 的取值范围. (1)因为 4 ? 1 ,所以 f ( x) 在 [ 所以 A ? [ f ( 又由 ( )

1 ,4] 上,单调递增, 16

1 ), f (4)] ? [?2,1] ,--------------------------2 分 16 a , 4

1 2

3x?a

? 2 x (a ? R) 可得: 2 ? (3 x ? a ) ? 2 x 即: ? 3 x ? a ? x ,所以 x ? ? a 4

所以 B ? ( ?? ,? ) ,--------------------------4 分 所以 ?

a ? 1 ,所以 a ? ?4 即实数 a 的取值范围为 (??,?4) .--------------------------6 分 4 5? x x?5 ? 0 ,所以有 ? 0 ,所以 ? 1 ? x ? 2 ,所以 C ? (?1,5] ,------------------8 分 x ?1 x ?1

(2)因为

对于集合 D ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ? C 有: ①当 m ? 1 ? 2m ? 1 时,即 0 ? m ? 2 时 D ? ? ,满足 D ? C .--------------------10 分 ②当 m ? 1 ? 2m ? 1 时,即 m ? 2 时 D ? ? ,所以有:

?m ? 1 ? ?1 ? ?2 ? m ? 3 ,又因为 m ? 2 ,所以 ? 2 ? m ? 3 --------------------13 分 ? ?2m ? 1 ? 5
综上:由①②可得:实数 m 的取值范围为 (0,3] .--------------------14 分

17.已知函数 f(x)=x|x -3|,x∈[0,m]其中 m∈R,且 m>0. (1) 若 m<1,求证:函数 f(x)是增函数。 (2) 如果函数 f(x)的值域是[0,2] ,试求 m 的取值范围。 (3)若 m ? 1 ,试求函数 f(x)的值域。

2

(3)当 1 ? m ? 2 时,f(x)在[0,m]的值域为[0,2] 当 m>2 时,f(x)在[0,m]的值域为 [0, m3 ? 3m]

12 分 15 分

18.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求 用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 f ( x) ? 1 ? ax2 (a ? 0) 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交 于点 M、N,交曲线于点 P,设 P(t , f (t )) (1)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S (t ) ; (2)若在 t ? (1) S (t ) ? (2) S ?(t ) ?

1 处, S (t ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S (t ) 的最小值. 2

(1 ? at 2 ) 2 4at

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? 4at 2 4at 2 1 3a
N
P
O

? a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at 2 ? 1 ? 0, 得t ?
当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2 2

y

1 时 , S ?(t ) ? 0 3a 1 时, S ?(t ) ? 0 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?

1 ?当t ? 时, S (t )有最小值 3a
已知在 t ?

M

x

1 1 4 1 ? ,? a ? 处, S (t )取得最小值 ,故有 2 3 3a 2

故当 a ?

4 1 , t ? 时, S (t ) min 3 2

4 1 (1 ? ? ) 2 1 3 4 ?2 ? S( ) ? 4 1 2 3 4? ? 3 2

2 19.已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 ,且 g ?1? ? ?1 .

令 f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 8 (1)求 g(x)的表达式; (2)若 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x , 证明:对 ?x1,x2 ?[1,m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1. 19. (1)设 g ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,于是
?a ? 1, 2 2 ? 2 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2, 所以 ? ? c ? ? 1. ?

? ?

又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ? 1 .所以 g ? x ? ? 1 x 2 ? 1 x ? 1 . 2 2 2 (2) f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 ? 1 x2 ? m ln x(m ? R,x ? 0). 2 8 2 当 m>0 时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R; 当 m=0 时, f ( x) ? 当 m<0 时,由 f ?( x) ? x ?

??????4 分

? ?

x2 ? 0 对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立; 2

??????6 分

m ? 0 ? x ? ?m ,列表: x

x
f ?( x) f ( x)

(0, ?m )
- 减

?m

( ?m, ? ?)
+ 增

0 极小

这时, ? m ln ?m. ? f ( x)?min ? f ( ?m ) ? ? m 2

? f ( x)?min

? m ?? ? m ln ?m ? 0 ?0?? 2 ? m ? ?e ? ?m ? 0

? ?? . 所以若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (??, ?e] ? ? 0, ? ?? 故 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,实数 m 的取值范围 (??, ?e] ? ? 0, .

(3)因为对 ?x ? [1,m] , H ?( x) ?

( x ? 1)( x ? m) ? 0,所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x

1 1 于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ? m2 ? m ln m ? . 2 2

1 1 1 3 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? m2 ? m ln m ? ? 1 ? m ? ln m ? ? 0. 2 2 2 2m 1 3 记 h(m) ? m ? ln m ? (1 ? m ? e) , 2 2m
则 h' (m) ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 3 1 ? 1 ? 1 ? 0, 2 m 2m 2 m 3 3

?

?

2

1 3 所以函数 h(m) ? m ? ln m ? 在 ?1,e] 是单调增函数, 2 2m
所以 h(m) ? h(e) ?
e 3 ? e ? 3?? e ? 1? ?1? ? ? 0 ,故命题成立. 2 2e 2e

20. 已知函数 f ?x ? ? e x ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处 的切线斜率为-1. (I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x


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