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人教A版数学选修2-1同课异构教学课件:3-2 第4课时 空间向量与空间距离 情境互动课型_图文

第4课时 空间向量与空间距离 如果表示向量 a 的有向线段所在直 线垂直于平面?, 则称这个向量垂直于平 面?,记作 a ⊥?. 如果 a ⊥?,那么向量 a 叫做平面?的 法向量. l a ? 已知向量 AB ? a 和轴 l,e 是 l 上与 l 同 方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1, 作点 B 在 l 上的射影 B1, 则 A1 B1 叫做向量 AB 在轴上或在e 方向上的正射影,简称射影. l e ? l B1 B n A1 A 已知向量 AB ? a 和 轴 l,e 是 l 上与 l 同方 向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1,作点 B 在 l 上的射影 B1,则 b ? A1 B1 叫 做 向 量 AB 在 轴 A1 B1 ? AB ? n n 上或在 e 方向上的正射 影,简称射影. 1.会求直线的方向向量,平面的法向量. 2.会利用向量求点到点、点到线、点到面的距离. (重点) 3.会利用向量求线到线、线到面、面到面的距离. (重点) 探究: 1.空间两点之间的距离 提示: 根据两向量数量积的性质和坐标运算, 2 2 2 a ? x ? y ? z 利用公式 a ? a 或 2 (其中 a ? ( x, y, z) ),可将两点距离问题 转化为求向量模长问题. 2.点到直线的距离 设直线 l 的方向向量为 a , 点P与直线l的距离为d 。 a 提示:d = AP sin < AP,a > 3.点到平面的距离 设E为平面α 外一点,F为α 内任意一 点,n 为平面α 的法向量,则点E到平面的 距离为。 | n ? EF | 提示: d ? |n| 4.异面直线间的距离 a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b 上的点, n 是a,b公垂线的方向向量, 则a,b间距离为 | n ? EF | 提示: d ? |n| 5.平面与平面的距离问题: 平行平面 ? , b 的法向量为 u ,则 A,P分别是平面?与b上任意一点, 平面?与b的距离为d , 则 m D P b u l C b A ? | AP ? u | 提示:d=| AP | |cos ? AP, u ? |= . |u| a 【即时训练】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求B1到面A1BE的距离. 1 解 : 建立坐标系. A1E =(-1, ,0), 2 A1B =(0, 1,-1), 设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量 A 1 z D1 E C1 B1 D C ? ?u A1E = 0, 由? ? ?u A1B = 0, A y x B 得 u =(1,2,2), A1B1 = ? 0, 1,0 ? , B1到面A 1BE的距离为 d= A 1 B1 u u 2 = . 3 【规律总结】向量法求点到平面的距离的步骤 (1)求出该平面的一个法向量n. (2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的 向量a. |a n| (3)利用公式d= 求点到平面的距离. |n| 【拓展延伸】点到平面距离的三种求法 方法一:构造三角形,由点到平面距离的定义转化为 平面几何中的解直角三角形问题,进行求解; 方法二:等体积转化法,由已知点和平面内不共线三 点构成三棱锥,转化为体积问题,进而用等体积转化 法求解; 方法三:向量法. 例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中, 以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的 夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的 对角线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,设 AB ? AA1 ? AD ? 1 ,?BAD ? A1 D D1 B1 C B C1 ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?. 化为向量问题 A 图1 依据向量的加法法则, AC1 ? AB ? AD ? AA 1. 进行向量运算 AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 2 2 AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 2 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 ) 2 2 2 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos 60? ? cos 60? ? cos 60?) ? 6. 所以 | AC1 |? 6. 回到图形问题 这个晶体的对角线AC1的长是棱长的 6 倍. 【规律总结】求空间两点间距离的两种方法 【变式练习】 在空间直角坐标系中,已知点 A(2,3,4),B(-2,1,0), C(1,1,1),那么点 C 到线段 AB 中点的距离是( B ) A.1 C.2 解析: B. 3 D. 5 线段 AB 中点 D 的坐标为(0,2,2), → |CD|= ?0-1?2+?2-1?2+?2-1?2= 3. 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交 PB于点F. (1)求证:PA//平面EDB. (2)求证:PB⊥平面EFD. (3)求二面角C-PB-D的大小. P F D A E C B 解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1. (1)证明:连接AC,AC交BD于点G,连接EG. z 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ), 2 2 因为底面ABCD是正方形, P F D G E C 所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , ,0), 2 2 A x y B 1 1 且 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ). 2 2 所以PA ? 2EG,即PA / / EG. 而EG ? 平面EDB,

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