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导数及其应用知识点

导数及其应用知识点
一、导数: 导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量 的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数 可导或者可微分。可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导。导数 实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运 算法则。 导数第一定义:设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义,当自 变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时,相应地函数取 得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 。如果 △y 与 △x 之比,当 △x→0 时 极限存在, 则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导, 并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义。 导数第二定义:设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义,当自 变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时,相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 。如果 △y 与 △x 之比,当 △x→0 时极限存在,则称 函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义。 导数的几何意义: 函数 y = f(x)在 x0 点的导数 f'(x0)的几何意义是表示该函数曲线在这一 点上的切线斜率。

二、导数公式:
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1、基本公式:

(1)C' ? 0(C为常数); (2)( x a )' ? ax a?1; (3)(a x )' ? a x ? ln a(a ? 0, a ? 1);(e x )' ? e x
(4)(log a | x | )' ? 1 1 ,(ln | x | )' ? ; x ln a x

(5)(sin x)' ? cos x;
(8)(cot x)' ? ? csc2 x;
(11)(arcsin x)' ? 1 1 ? x2 ;

(6)(cos x)' ? ? sin x;

(7)(tan x)' ? sec 2 x;

(9)(sec x)' ? sec x ? tan x;
(12)(arccos x)' ? ? 1 1 ? x2 ;

(10)(csc x)' ? ? csc x ? cot x;
(13)(arctan x)' ? 1 ; 1 ? x2

(14)(arccot x)' ? ?

1 . 1 ? x2

2、导数的四则运算: 线性法则: (au ? bv)' ? au' ? bv' , a, b为常数; 积法则: 商法则:

(uv)' ? uv' ? uv' ;
u u'v ? uv' ( )' ? , v ? 0; v v2

链式法则:{ f [u ( x)]}' ? f'[u ( x)]u' ( x); 其中

{ f [u ( x)]}' 表示复合函数 f[u(x)]对 x 求导, f'[u ( x)] ? f' (u ) |u ?u ( x )
f' ( x) ? 1 ,?' ( y ) ? 0, 其中 y=f(x)为 ?' ( y )

表示函数 f(u)对 u 求导,然后代入 u=u(x)。 反函数法则: 函数。 推论 1: (cu(x))? = cu?(x) (c 为常数).

x ? ? ( y ) 的反

? ? 1 ? u?( x) ? ? ? 推论 2: ? ? u ( x) ? u 2 ( x) ? ?

推论 3:

(uvw) ' ? u ' vw ? uv ' w ? uvw '

三、导数对函数单调性的应用: 利用导数的符号判断函数的增减性这是导数几何意义在研究曲线变化 规律时的一个应用。
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一般地在某个区间(ab)内如果 f'(x)>0 那么函数 y=f(x)在这个区间内单 调递增;如果 f'(x)<0 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减。 如果在某个区间内恒有 f'(x)=0 则 f(x)是常数函数。 注意在某个区间内 f'(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件而不 是必要条件如 f(x)=x3 在 R 内是增函数但 x=0 时 f'(x)=0。也就是说如果已 知 f(x)为增函数解题时就必须写 f'(x)≥0。 ①确定 f(x)的定义域 ②求导数 ③由或解出相应的 x 的范围当 f'(x)>0 时, f(x)在相应区间上是增函数; 当 f'(x)<0 时,f(x)在相应区间上是减函数。 函数的极值判断: ①如果在两侧符号相同则不是 f(x)的极值点。 ②如果在附近的左右侧符号不同那么是极大值或极小值。 求极值: ①确定函数的定义域 ②求导数 ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点,即求方程及的所有 实根。 ④检查在驻点左右的符号如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极 大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值。 函数的最值: ①求 f(x)在(ab)内的极值
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②将 f(x)的各极值与 f(a)f(b)比较,其中最大的一个是最大值最小的一 个是最小值。

注意事项 1 函数图像看增减,导数图像看正负。 2 极大值不一定比极小值大。 3 极值是局部的性质,最值是整体的性质。

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