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江苏省淮阴中学2013届高三上学期期末练习(5)数学试题


江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习五
一、填空题
0 cos1800 ,B= x|x 2 +x=0 ,则A ? B= ———— 1、已知集合A= sin90 ,

?

?

?

?

2、已知 z ? ? a ? i ??1 ? i ? (a∈R, i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上, 则 a= 3、已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的最大值为 4、函数

y ? log 1 (3 x ? 1) 的定义域为
2

5、 一个质地均匀的正四面体 (侧棱长与底面边长相等的正三棱锥) 骰子四个面上分别标有 1,2,3,4 这四个数字,抛掷这颗正四面 体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下 面上的数字之积大于 6 的概率是 6、200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所 示,则时速在 [50,60) 的汽车大约有 辆 7、巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0,2? )) 有两个不同的零点 x1 , x 2 , 且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根 x3 , x 4 .若把这四个数按从小 到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为___ 8、阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值等于____

9、在平面直角坐标系中,两条平行直线的横截距相差 20,纵截距相差 15,则这两条平行直 线间的距离为

1 , 则 cos(30? ? 2? ) 的值为 3 n? 2 2 n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 11、数列 {an } 的通项 an ? n (cos 3 3
10、已知 cos( 75 ? ? ? ) ?

? 3x ? y ? 0 ??? ??? ? ? ? ? OP ??? 12、 已知 A 3, 3 , 是原点, P 的坐标为 O 点 (x, 满足条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , 则 z ? OA ? ? y) | OP | ?y ? 0 ? ?

?

?

的取值范围是 13、给出下列四个命题: ① =1”是“函数 y ? cos2 kx ? sin2 kx 的最小正周期为 π ”的充要条件; “k ② 函数 y ? sin 2x ? π 的图像沿 x 轴向右平移 π 个单位所得的图像的函数表达式是 6 6
y ? cos 2 x ;

?

?

③函数 y ? lg ax 2 ? 2ax ? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是(0,1) ;
??? ? ??? ???? ? ④设 O 是△ ABC 内部一点, OA ? 2OB ? OC ? 0 , 且 则△AOB 和

?

?

y

△AOC 的面积之比为 1:2; 其中真命题的序号是 . (写出所有真命题的序号) y2 14、如图,用一块形状为半椭圆 x 2 ? ? 1 ( y ? 0) 的铁皮截取一个 4 以短轴 BC 为底的等腰梯形 ABCD ,记所得等腰梯形 ABCD 的面 积为 S ,则 S 的最大值是

A

D

B

o

C

x

二、解答题 15、如图:在平面直角坐标系中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点. (1)若 A、B 两点的纵坐标分别为 4 、 12 ,求 cos ? ? ? ? ? 的值; 5 13 ??? ???? ? (2)已知点 C ?1, 3 ,求函数 f ?? ? ? OA ? OC 的值域.

B

y

?

?

A
x

O

16、 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

17、建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60? (如图) ,考虑到防洪堤坚 固性及石块用料等因素,设计其断面面积为 6 3 平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥 用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)要最小. (1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高 h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在 [ 3 , 2 3 ] 的范围内,外周长最小为多少米?

B
?

C h D

60 A

x2 y2 2 18、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 , P、Q 是椭 2 圆 C 上的两个动点, M (1, 列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)判断线段 PQ 的垂直平分线是否经过一个定点,若定点存在,求出定点坐标;若不 经过定点 ,请说明理由.

6 ) 是椭圆上一定点, F 是其左焦点,且 PF、MF、QF 成等差数 2

19、设集合 W 由满足下列两个条件的数列 ?an ? 构成:

an ? an?2 . ? an?1 ;②存在实数 M,使 an ≤ M (n 为正整数) 2 (1)在只有 5 项的有限数列 ?an ? , ?bn ? 中,其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3, a4 ? 4 , a5 ? 5 ;

b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 5 , b4 ? 4 , b5 ? 1 ;试判断数列 ?an ? , ?bn ? 是否为集合 W 的元素;

(2)设 ?cn ? 是各项为正的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ?
{Sn } ?W ;并写出 M 的取值范围;

1 7 , S3 ? ,证明:数列 4 4

(3)设数列 {dn } ?W ,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ,都有 d n ? M 0 n ? N* .求证:数 列 {dn } 单调递增.

?

?

20、已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b, g ( x) ? a ln x . (I)若 f (x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(II)若对任意 x ? ? , e? ,都有 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 (Ⅲ)在(1)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ?x ?, x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F (x) 上 ? g ?x ?, x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形( O 为坐标原点) ,且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习五附加题
21、(本小题满分 10 分) 设点 P(1,0) ,Q(0,1)在矩阵 A ? ?
2

? a 0? ? 对应的变换的作用下得到点 P ' ?1,1? , Q ' ? 0,1? ; ?b 1?

(1)求实数 a , b 的值; (2)求 A 的逆矩阵。

22、(本小题满分 10 分) 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F , F2 为其左,右焦点,直线 l 的 1 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 参数方程为 ? (t为参数,t ? R) . 2 ? ? y ? 2 t, ?
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程;(Ⅱ)求点 F , F2 到直线 l 的距离之和. 1

23、(本小题满分 10 分) 甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛,每人回答一个问题,答对得 10 分,答错得 0 分,假设甲班三名同学答对的概率都是

2 2 2 1 ,乙班三名同学答对的概率分别是 , , ,且这 3 3 3 2

六名同学答题正确与否相互之间没有影响. (1)用 X 表示甲班总得分,求随机变量 X 的概率分布和数学期望; (2)记“两班得分之和是 30 分”为事件 A,“甲班得分大于乙班得分”为事件 B,求事件 A,B 同时发生的概率.

24、(本小题满分 10 分) 设 x ? 5 ? 24

?

?

2n

, y ? 5 ? 24

?

?

2n

?n ? N ?

(1)求证: x ? y 是一个自然数; (2)求 x ? y 的个位数。

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习五答题纸
一、填空题 1、______________ 5、 9、 13、 二、解答题 2、______ 6 、 10、 14、 _______ 3、 7、_____ 11.、 4、 ___8、 12、

15、 (本小题满分 14 分)

16、 (本小题满分 14 分)

17、 (本小题满分 15 分)

18、 (本小题满分 15 分)

19、 (本小题满分 16 分)

20、 (本小题满分 16 分)

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习五附加题答题纸
21、(本小题满分 10 分)

22、(本小题满分 10 分)

23、(本小题满分 10 分)

24、(本小题满分 10 分)

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习五参考答案

1、{-1};2、1;3、1;4、 3 , 3 ? ;5、 ?
2

?1

3 7 3 ;6、60;7、 ? ;8、 ? 3 ;9、12;10、 ; 8 9 2

11、470;12、 ? ?3,3? ;13、④;14、

3 3 2

4 12 3 ,sin ? ? . ? 是锐角, 又 所以 cos ? ? . 由 5 13 5 12 5 ; 因 为 ? 是 钝 角 , 所 以 cos ? ? . 所 以 sin ? ? ? 13 13 53 2 1 4 3 3 c s ? c? o s n ? ( ) o ? ) o ( sc s ?? . ? ?i sn ? i 1 5 3 3 1 5 5 6 ? ? ? ? ?? ? ? (2)由题意可知, O (o , , O ?? 3 . A c ?n) C ( 1 ) ? s s? i ,
15、 (1) 根据三角函数的定义, sin ? ? 得

? ? ?? ??
?
?? ? ? ?? ? ?

所 以 f ? ? Cs ?o 2? 因 为 0 ? ? ? ()O ? i A O3n c? s ( s i , n )

? ?? ? 6
???? ? ? ? ?

? , 所 以 2

? ? ? 1 ? 3 ? ?? ? ? , ? ? i ( ? )? sna 6 6 3 2 6 2
从而 ?? ( ) 3 1 f ?? ,因此函数 f( )? A C ? O?O的值域为 (?1, 3) . 16 、 解 : (1) ? CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平 面 A1 C D, 又 ? AC ? 平 面 A1 C D , 1

? AC ? DE 又 A1C ? CD , ? AC ? 平面 BCDE 1 1
(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , , ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , , ? , E ? ?2 , , ? ,设线段 3 0 0 0 2 0
???? BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , , ? ,则 a ? ? 0 , ? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , a 0 3

?

?

?

?

??? ? DP ? ? 2 , , ? 设平面 A1 DP 法向量为 a 0 ?? ? n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,则
? 3 ?ay1 ? 2 3z1 ? 0 ? z1 ? 6 ay1 ? ? ∴? ∴ ? ?2 x1 ? ay1 ? 0 ? ? x ? ? 1 ay 1 ? 1 ? 2 ?? ? n1 ? ?3a ,6 , 3a
z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

D (-2,0,0) C (0,0,0) x

?

?

?? ? ? 假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直,则 n1 ? n ? 0 ,
∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 ∵0 ? a ?3 ∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直

17 、 ( 1 ) 6 3 ?

h 1 ( AD ? BC)h , AD = BC+2 × tan 600 2


=BC+

2 3 h , 3
l
, 则

6 3?

1 2 3 (2 BC ? h) h 2 3

BC ?

6 3 3 ? h h 3

. 设 外 周 长 为

l ? 2 AB ? BC ?

2h 6 3 3 6 3 ? ? h , ? 3h ? ?6 2 ? h 3 h sin 60



3h ?

6 3 ,即 h

h ? 6 时等号成立.外周长的最小值为 6 2 米,此时堤高 h 为 6 米.
(2) 3h ?

6 6 6 3 6 ? 3 (h ? ), 设 3 ? h1 ? h2 ? 2 3 ,则 h2 ? ? h1 ? ? h2 h1 h h 6 ) ? 0 , l 是 h 的增函数,?l min ? 3 ? 3 ? 6 3 ? 5 3 (米). h ? 3 时取 (当 h1h2 3

(h2 ? h1 )(1 ?
得最小值)

18、解: (1)由

c 2 6 2 2 及点 M (1, ? ) 在椭圆上,直接代入求解得, a ? 4, b ? 2 ,椭 a 2 2
x2 y2 ? ?1 4 2


圆的标准方程为



2



x2 y2 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ),由椭圆的标准方程为 ? ?1 4 2
2 1 2



x12 2 | PF |? ( x1 ? 2 ) ? y ? ( x1 ? 2 ) ? 2 ? ? 2? x1 . 2 2
2

同理 | OF |? 2 ?

2 2 x2 , | MF |? 2 ? . 2 2 2 2 ) ? 4? ( x1 ? x2 ),? x1 ? x2 ? 2. 2 2
, 从 而 有

? 2 | MF |?| PF | ? | QF |,? 2(2 ?

① 当

2 ? 2 ? x1 ? 2 y1 ? 4, 2 2 x1 ? x 2时,由? 2 得( x12 ? x 2 ) ? 2( y12 ? y 2 ) ? 0 2 ? x 2 ? 2 y 2 ? 4, ?

y ? y2 1 y1 ? y 2 1 x ? x2 ?? , ?? ? 1 . 设线段 PQ 的中点为 N (1, n),由k PQ ? 1 x1 ? x2 2n x1 ? x2 2 y1 ? y 2
得线段 PQ 的中垂线方程为

1 y ? n ? 2n( x ? 1). ? (2 x ? 1)n ? y ? 0, 该直线恒过一定点 A( ,0). 2

② x1 ? x2时, P(1,? 当

6 6 6 6 也过 ), Q(1, ),或Q(1,? ), P(1, ). 线段 PQ 的中垂线是 x 轴, 2 2 2 2
1 2

点 A( ,0),? 线段 PQ 的中垂线过点 A( ,0).

1 2

a1 ? a3 ? 2 ? a2 ,显然不满足集合 W 的条件①,故 {an } 不是集合 2 b ?b b ?b W 中的元素, { ,2,3,4,5 对于数列 {bn } , n ?1 } 当 时, 不仅有 1 3 ? 3 ? b2 , 2 4 ? 4 ? b3 , 2 2 b3 ? b3 ? 3 ? b4 ,而且有 bn ≤ 5 ,显然满足集合 W 的条件①②,故 {bn } 是集合 W 中的元素. 2 1 7 (2)∵ {cn } 是各项为正数的等比数列, Sn 是其前 n 项和,c3 ? , S3 ? , 设其公比为 q ? 0 , 4 4 c3 c3 7 1 1 1 2 ∴ 2 ? ? c3 ? ,整理得 6q ? q ? 1 ? 0 .∴ q ? ,∴ c1 ? 1 , cn ? n ?1 , Sn ? 2 ? n?1 q q 4 2 2 2 Sn ? Sn ? 2 1 1 1 对于 ?n ? N* ,有 ? 2 ? n ? n? 2 ? 2 ? n ? Sn? 2 ,且 Sn ? 2 ,故 {Sn } ?W ,且 2 2 2 2 M ??2 , ? ??
19、 (1)对于数列 {an } ,取 (3)证明: (反证)若数列 {dn } 非单调递增,则一定存在正整数 k ,使 d k ≥ d k ?1 ,易证于任 意的 n ≥ k ,都有 d k ≥ d k ?1 ,证明如下:假设 n ? m(m ≥ k ) 时, d k ≥ d k ?1 d ? dm? 2 当 n ? m ? 1 时,由 m ? dm?1 , dm? 2 ? 2dm?1 ? dm .而 2 dm?1 ? dm? 2 ? dm?1 ? (2dm?1 ? dm ) ? dm ? dm?1 ≥ 0 ,所以 d m ?1 ? d m ? 2 , 所以对于任意的 n ≥ k ,都 有 d m ≥ d m ?1 .显然 d1 , d2 , ? , dk 这 k 项中有一定存在一个最大值,不妨记为 d n0 ; 所以 dn0 ≥ dn (n?N* ) ,从而 dn0 ? M 0 与这题矛盾.所以假设不成立, 故命题得证. 20、解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? ? x3 ? x2 ? b ,得 f ? ?x ??? 3 2 2 ?? x x? 2 x ? x 3 ? 或

? ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0

2 .列表如下: 3

x
f ?? x? f ? x?

?

1 2

? 1 ? ? ? ,0 ? ? 2 ?
?

0 0 极小值

? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3
0 极大值

?2 ? ? ,1 ? ?3 ?
?

?
递增

1 f (? ) 2

递减

递减

1 3 2 4 1 2 1 3 3 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ∴ 即最大值为 f (? ) ? ? b ? , b ? 0 . ∴ ? b , f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 2 8 8
(Ⅱ)由 g ? x ? ? ? x2 ? ? a ? 2? x ,得 ? x ? ln x? a ? x2 ? 2 x .? x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能
, 0 同 时 取 , ∴ l nx ? x即 x? l nx? , ∴ a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒 成 立 , 即 a?( )min . 令 x ? ln x x ? ln x
x?n l
, 当 x ??1, e? 时 ,

t ? x? ?

? ? x ? 1?? x ? 2 x2 ? 2 x , x ??1, e?? , 求 导 得 , t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 , 从 而 t? ? x ? ? 0 , ∴ t ? x ? 在 ?1,e? 上 为 增 函 数 , ∴

tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1,∴ a ? ?1 .
?? x3 ? x 2 , x ? 1 (Ⅲ)由条件, F ? x ? ? ? ,假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q ?a ln x, x ? 1

只能在 y 轴两侧,不妨设 P ?t, F ?t ?? ?t ? 0? ,则 Q ?t, t 3 ? t 2 ,且 t ? 1 .? ?POQ 是以 O ( O

?

?

??? ???? ? 为坐标原点) 为直角顶点的直角三角形, OP ? OQ ? 0 , ? t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ??*? , ∴ ∴
是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解. ①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无解; ②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

??

?

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, ∴ h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ??? ,即 ? 0, ?? ? ,∴当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解. ∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐 标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.

江苏省淮阴中学 2013 届高三(上)期末复习五附加题答案
1、 (1)由点 P ?1,0 ? 变换后对于点 P ' ?1,1? 得 ?

? a 0 ??1 ? ?1? ?? ? ? ? ? , ? b 1 ?? 0 ? ?1?

所以 ?

?a ? 1 ?b ? 1
2

?1 0 ? ? 1 0 ? ?1 0 ? 2 (2)由(1)知 A ? ? ? ,所以 A ? ? 1 1 ? ? ? 2 1 ? , ? ? ? ? ?1 1 ?
?1 ? 1 0? ? A2 ? 1?? A2 ? ? ? ?. ? ?2 1 ?

2、解: (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ; 曲线 C 的普通方程为

????????????2 分 ????????????4 分

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ) ∵ F1 (?1,0) , F2 (1,0) , ∴点 F 到直线 l 的距离 d1 ? 1

?1 ? 0 ? 2 2 ?

?

3 2 , 2

????????????6 分

点 F2 到直线 l 的距离 d 2 ? ∴ d1 ? d2 ? 2 2.

1? 0 ? 2 2

2 , 2

????????????8 分

????????????10 分

3、

4、 (1)证明:当 n ? 0 时, x ? y ? 2 为自然数,当 n ? 1 时:

x ? 5 ? 24

? y ? ?5 ?

? 24 ?

2n

0 ? C2 n 5 2 n 0 ? C2 n 52 n

2n

? ?
24

24

? ?C 24 ? ? C
0 0

1 2n 1 2n

52 n ?1 52 n ?1

? ?

r 24 ? ??? ? C2 n 52 n ? r 1 r 2n

? 24 ? ? ??? ? C
1

52 n ? r

? 24 ? ? ??? ? C 5 ? 24 ? ? ? 24 ? ? ??? ? C 5 ? 24 ?
r 2n 2n 0 r 2n 2n 0

2n

2n

0 ? x ? y ? 2 ?C2 n 52 n ? ?

?

?

0

2 ? C2 n 52 n?2

?

24

?

2

2r ? ??? ? C2 n 52 n?2 r

?

24

?

2r

2n ? ??? ? C2 n 50

?

24

?

2n

0 2 2r 2n ? 2 ? C2 n 52n 240 ? C2 n 52n?2 242 ? ??? ? C2 n 52 n?2 r 24r ? ??? ? C2 n 50 24n ?

? ? ?

因为上式中每一项都是自然数,所以 x ? y 为自然数。 综上所述,当 n ? N 时, x ? y 为自然数。 (2)当 n ? 0 时, x ? y ? 2 ,个位数为 2,当 n ? 1 时:
2r 0 若 1 ? r ? n ? 1 ,则 C2n 52n?2r 24r 的个位数为 0,若 r ? 0 , C2n 52n 240 个位数为 5, 2n 对于 C2n 5024n ,当 n 为奇数时,其个位数为 4,当 n 为偶数时,其个位数为 6,

从而,当 n 为奇数时, x ? y 的个位数为 8,当 n 为偶数时, x ? y 的个位数为 2. www.ks5u.com www.ks5u.com www.ks5u.com


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