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江苏省如皋市五校联考-度高一数学第二学期期中试题

江苏省如皋市五校联考 2007-2008 学年度高一数学第二学期 期中试题 时间:120 分钟 分值:160 分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.将正确答案填在答题纸 相应的横线上.
2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2:y ? 3x ? 1 平行,则 m ? 1.若直线 l1: 

▲ .

.

2.等差数列 {an } 中, a2 ? 8 , a8 ? 2 ,那么 a10 ?



3. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 c ? b ? 2, S ?ABC ? 3, 则 ? A = 4.在等比数列{an}中,若 a4,a8 是方程 x2+11x+9=0 的两根,则 a6 的值是
2 2 2 2



.



.

5.两个圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0与C2 : x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有 ▲ 条

6.若三角形中有一个角为 60° ,夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5,外接圆半径等于 ▲ . 7. 已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x +y = m,当圆 C 与线段 ..AB 没有公共 点时,求 m 的取值范围 ▲ .
2 2

8.△ABC 的三边分别为 a,b,c,且 S△=

,则角 C=



.

9.由直线 y=x+1 上的一点向圆 ?x ? 3? ? y 2 ? 1引切线,则切线长的最小值为
2



.

10.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线
2 2

方程是



.

11.在数列{ an }中, a1 = 1, a n ?1 ?

2a n * ( n∈N ),则 a2008 等于 2 ? an



.

12.6.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 =



.

13. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm , 秒针均匀地绕点 O 旋转, 当时间 t ? 0 时, 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A, B 两点的距离 d (cm) 表示成 t ( s ) 的函数,则 d ? ▲ ,其中 t ?[0,60]

14. 把数列 ?2n ? 1? 中各项划分为: (3) , (5,7), (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27), (29,31,33) , (35,37,39,41),照此下去,第 100 个括号里各数的和为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.写出必要的解题过程.
15. (本题满分 14 分)设数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110 ,且

a1 , a2 , a4 成等比数列。
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。
a

16. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程为

6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的
方程.

17. (本题满分 15 分)已知圆 C 的方程为: x ? y ? 2mx ? 2 y ? 4m ? 4 ? 0,(m ? R) .
2 2

(1)试求 m 的值,使圆 C 的面积最小; (2)求与满足(1)中条件的圆 C 相切,且过点 (1, ?2) 的直线方程.

2 2 2 18. (本题满分 15 分) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? c ? b ? ac ,且

a 3 ?1 ,求 B 和 C ? c 2

19. (本题满分 16 分)已知方程 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,
2 2

I)若方程 C 表示圆,求实数 m 的范围; II) 在方程表示圆时, 该圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、N 两点, 且 MN ?

4 5, 5

求 m 的值; III)在 II)的条件下,定点 A(1,0) , P 在线段 MN 上运动,求直线 AP 的斜率取值范围。

20. (本题满分 16 分)如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第 3 行起 ,每一行的数成等比数列 ,每一行的公比都相等 .记第 i 行第 j 列的数为 aij ( i ? j, i、j ∈ N ). (1)试写出 aij 关于 i、j 的表达式,并求 a83 ; (2)设这个数阵共有 n 行,求数阵表中的所有数之和.
*

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16

……

参考答案及评分标准
一、 1. ? 6.
2 3

填空题 2. 0 3. __

?
3



2? _ 3

4. _ ? 3 _ 8. ?

5. _2 9.

7 3 3

? 1? 7. ? 0, ? ? ?13,??? ? 2?

4

7

10. 3x-2y-3=0 1992 二、解答题

11. 2/2009

12.

54

13.

10 sin

?t
60

14.

15. (本题满分 14 分) 设数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, 它的前 10 项和 S10 ? 110 , 且 a1 , a2 , a4 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ? 2an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 解: (1)因为 a1 , a2 , a4 成等比数列。所以 a22 ? a1 a4 得 a1 ? d -----------------------3 由 S10 ? 110 得 a1 ? 2 -----------------------------------------------------------------------6 所以 an ? 2n ---------------------------------------------------------------------------------10 (2) bn ? 2an ? 22n ? 4n -------------------------------------------------------------12 所以 Tn ? b1 ? b2 ?
bn ? 4 ? 42 ? 4n ? 4 n (4 ? 1) --------------------------14 3

16. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在 直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 ,? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程. 设 B(4 y1 ?10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 可得: 6 ?
4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ------------------------- ---3 2 2

y1 = 5,所以 B(10,5) --------------------------------------------6 设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? ? 2 2 则有 ? y ? ? 1 1 .---------------------------------10 ? ? ? ?1 ? x? ? 3 4 ? ? A?(1,7)

-----------------------------------------------------------------------12 故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 --------------------------------------14 17(本题满分 15 分) .已知圆 C 的方程为: x2 ? y 2 ? 2mx ? 2 y ? 4m ? 4 ? 0,(m ? R) . (1)试求 m 的值,使圆 C 的面积最小;

(2)求与满足(1)中条件的圆 C 相切,且过点 (1, ?2) 的直线方程. 解:圆 C 的方程可化为: ?x ? m? ? ? y ? 1? ? ?m ? 2? ? 1 ----------3
2 2 2

(1)当 m=2 时,圆的半径有最小值 1,此时面积最小------------------5 (2) 当 m=2 时,圆的方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

当 k 存在时设直线方程:y+2=k(x-1) 即:kx-y-k-2=0------------------6 由相切得:

2k ? 1 ? k ? 2 1? k 2

? 1, 得k ?

4 ---------------------------------10 3

即切线方程为:4x-3y-10=0--------------------------------------------------11 当 k 不存在时,此时 x=1 也与圆相切, 综上切线方程为:4x-3y-10=0,x=1.----------------------------------------15
c2 ? b2 ? a c 18. (本题满分 15 分) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 a2 ?





a 3 ?1 ,求 B 和 C ? c 2

解:因为 a2 ? c2 ? b2 ? ac 得 b2 ? a2 ? c2 ? ac 又因为 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B --------------------------------------4 所以 cos B ?
1 2

所以 B ? 60 -------------------------------------------------------------------------------- 8 因为
3 ?1 a 3 ? 1 sin A 得 ----------------------------------10 ? ? sin C 2 c 2

所以 2sin A ? ( 3 ?1)sin C

2sin(120 ? C) ? ( 3 ?1)sin C ------------------------------------13
得 sin C ? cos C 所以 C ? 45 ---------------------------------------------------------------------------------15

19. (本题满 16 分) 已知方程 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 , I)若方程 C 表示圆,求实数 m 的范围; II )在方程表示圆时,该圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且
MN ? 4 5 ,求 m 的值; 5

III)在 II)的条件下,定点 A(1,0) , P 在线段 MN 上运动,求直线 AP 的斜率 取值范围。 解:I) D 2 ? E 2 ? 4F ? 0
? 4 ? 16 ? 4m ? 0 --------------------------------------------------------------4 ?m?5

II) ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 5 ? m
2 2

圆心到直线距离 d ?
2

1 5
2

---------------------------------------------------7

?2 5? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ? m ? ? ? ? ? ? 有题得: ? 5 ? 解得 ? 5? ? ?

m=4---------------------------------10

Ⅲ  ) ?

?x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ?8 6? ?13? ? M ?0,2?, N ? , ?     ?5 5? ?x ? 2 y ? 4 ? 0

? k AP ? k AN 或k AP ? k AM ? k ? 2或k ? -2

?16?

?15?

20. (本题满分 16 分) 如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列, 从第 3 行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第 i 行第 j 列的数为
* aij ( i ? j, i、j ∈N ).

(1)试写出 aij 关于 i、j 的表达式,并求 a83 ; (2)设这个数阵共有 n 行,求数阵表中的所有数之和.

1 4
1 1 , 2 4

3 3 3 , , 4 8 16

…… 解:(1)由条件易知 第 i 行的第 1 个数为 ai1= + (i-1)= ,-----------------2 第 i 行的第 j 个数为 aij= ( )j-1,-----------------------4 ∴a83= ×( )2= .
8 4 1 2 1 2 i 4 1 2 1 4 1 4 i 4

----------------------------------6

(2)设数阵中第 n 行的所有数之和为 An,
1 1? n n 1 1 1 n n 1 n 则 An= (1+ + 2 +…+ n ?1 )= · 2 = - × n .----------9 1 2 4 2 2 4 2 2 2 1? 2

设所求数之和为 P,则 P= (1+2+…+n)- 设 S=1·2-1+2·2-2+3·2-3+…+n·2-n 则
S =1·2-2+2·2-3+3·2-4+…+n·2-(n+1) 2
1 1

1 2

1 (1·2-1+2·2-2+…+n·2-n). 2

①------10 ② ----12

由①-②得
s 2 (1 ? 2 n ) 1 n = -n·2-(n+1)=1- n - n ?1 ,---------------14 1 2 2 2 1?
2

则 P=

n2 ? n ? 4 n ? 2 n(n ? 1) 1 n n(n ? 1) 1 n -(1- n - n ?1 ),= + n + n ?1 -1= + n ?1 . 4 4 4 2 2 2 2 2

----------------------------------------------------------------------------16


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