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2016-2017高三下二模东城(文)


北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知全集 U 是实数集 R .右边的韦恩图表示集合 M ? {x | x ? 2} 与 N ? {x | 1 ? x ? 3} 关系,那么阴影部 分所表示的集合可能为 A. x x ? 2

?

?

B. x 1 ? x ? 2 D. x x ? 1

?

?

C. x x ? 3

?

?

?

?

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x, 4) ,且 a ? b ,那么 x 的值为 A. ?2 C. ?8 B. ?4 D. ?16

3.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1] 上单调递减的是 A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? ? x B. f ( x) ?| x ? 1| D. f ( x) ? cos x

? x ? 0, ? 4.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2, 所表示的平面区域的面积为 ?x ? y ?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

5.已知 x, y ? R ,那么“ x ? y ”的充分必要条件是 A. 2 ? 2
x y

B. lg x ? lg y

C.

1 1 ? x y

D. x ? y
2

2

6.已知直线 x ? y ? m(m ? 0) 与圆 x ? y ? 1 相交于 P , Q 两点,且 ?POQ ? 120? (其中 O 为原点),
2 2

那么 m 的值是 A.

3 3

B.

2 2

C. 2

D.

3

1

7.日晷,是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具,又称“日规”.其原理就是利用太阳的投影方向 来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明,这项发明被人类沿用达几千 年之久.下图是故宫中的一个日晷,则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为

A

B

C

D

8. 已知甲、 乙两个容器, 甲容器容量为 x , 装满纯酒精, 乙容器容量为 z , 其中装有体积为 y 的水( x, y ? z , 单位:L). 现将甲容器中的液体倒入乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两 种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为 一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计. 设经过 n n ? N* 次操作之后,乙容器中含有纯酒精

?

?

an (单位:L),下列关于数,列 ?an ? 的说法正确的是
A.当 x ? y ? a 时,数列 ?an ? 有最大值

a 2

B.设 bn ? an ?1 ? an n ? N* ,则数列 ?bn ? 为递减数列 C.对任意的 n ? N ,始终有 an ?
*

?

?

xy z

D.对任意的 n ? N ,都有 an ?
*

xy x? y

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

9.已知 ?ABC 三内角 A , B , C 对应的边长分别为 a , b , c ,且 B ?

2? ,又边长 b ? 3c ,那么 3

sin C ?
10.已知



1 1 ? ? ni , 其中 n 是实数, i 是虚数单位,那么 n = 1? i 2



11. 右面茎叶图记录了甲, 乙两班各六名同学一周的课外阅读时间 (单位:
2

小时) , 已知甲班数据的平均数为 13, 乙班数据的中位数为 17, 那么 x 的位置应填_____;y 的位置应填_____.

12.已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点在区间 ( ,

k k ?1 ) (k ? Z ) 内,那么 k ? 2 2
2

.

13.已知双曲线 G 以原点 O 为中心,过 ( 5, 4) 点,且以抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为右顶点,那么双曲线

G 的方程为



14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为对角线 B1 D 上的一点, M , N 为对角线 AC 上的两个动点,且线段 MN 的长度为 1. A1 (1)当 N 为对角线 AC 的中点且 DE ? 体积是_______;

B1 D1

C1

2 时,则三棱锥 E ? DMN 的
B M N A

E C D

1 (2)当三棱锥 E ? DMN 的体积为 时,则 DE = _______. 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题 13 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2 , a12 ? 20 . (Ⅰ)求通项 a n ; (Ⅱ)若 bn ?

a1 ? a2 ? n

an

,求数列 3bn 的前 n 项和.

? ?

16.(本小题 13 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 2 , 它的最小正周期为 2? .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 g ( x) ? cos x ? f ( x) ,求 g ( x) 在区间[17. (本小题 13 分) 某单位附近只有甲,乙两个临时停车场,它们各有 50 个车位,为了方便市民停车,某互联网停车公司 对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录,如下表:
时间 停车场甲 停车场乙 8点 10 13 10 点 3 4 12 点 12 3 14 点 6 2 16 点 12 6 18 点 17 19

? ?

, ]上的最大值和最小值. 6 4

如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的 10%,那么当车主驱车抵达单位附近时,该公司
3

将会向车主发出停车场饱和警报. (Ⅰ)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到甲停车场饱和警报的概率; (Ⅱ)从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率; (Ⅲ)当停车场乙发出饱和警报时,求停车场甲也发出饱和警报的概率.

18. (本小题 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,侧面 ADD1 A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形, BC // AD , ?ABD 是 边长为 2 的正三角形, E , F 分别为 AD , A1 D1 的中点. (Ⅰ)求证: DD1 ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证:平面 A1 BE ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅲ)若 CF // 平面 A1 BE ,求棱 BC 的长度.
A B E C D A1 B1 F C1 D1

19. (本小题 13 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ? e , a ? R .
x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)试求 f ( x ) 在 [1,2] 上的最大值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求证:对于 ?x ? [?5, ??) , f ( x) ? x ? 5 ? ?

6 恒成立. e5

20. (本小题 14 分) 已知椭圆 E : mx ? y ? 1(m ? 0) .
2 2

(Ⅰ)若椭圆 E 的右焦点坐标为 ( 3,0) ,求 m 的值; (Ⅱ)由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以 B (0,1) 为直角顶点的椭圆 E 的内 接等腰直角三角形恰有三个,求 m 的取值范围.

4

北京市东城区 2016-2017 学年第二学期高三综合练习(二) 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.D 2.C 3.C 4.A 5. A 6.B 7.D 8.D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.

3 6

10.

1 2

11. 3,8

12. 5

y2 13. x ? ?1 4
2

14.

3 , 6 9

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为 an ? ?2 ? (n ? 1)d , 所以 a12 ? ?2 ? 11d ? 20 . 于是 d ? 2 , 所以 an ? 2n ? 4 . (Ⅱ)因为 an ? 2n ? 4 , 所以 a1 ? a2 ? 于是 bn ?
b

………………………………6 分

? an ? an

a1 ? a2 ? n

n(2n ? 6) ? n(n ? 3) . 2 ? n ?3,

n ?3 令 cn ? 3 n ,则 cn ? 3 .

?2 显然数列 ?cn ? 是等比数列,且 c1 ? 3 ,公比 q ? 3 ,

c1 (1 ? q n ) 3n ? 1 所以数列 ?3 ? 的前 n 项和 Sn ? . ? 1? q 18
bn

………………13 分

16.(本小题 13 分) 解: (Ⅰ)由已知 f ( x ) 最小正周期为 2? , 所以

2?

?

? 2? ,解得 ?=1 .

因为 f ( x ) 的最大值 2 , 所以 A ? 2 .
5

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

).
------------------5 分

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

)=2sin x cos

?
6

? 2cos xsin

?
6

= 3 sin x ? cos x
所以 g ( x) ? cos x ? f ( x) = 3 sin x cos x ? cos x =
2

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

? 1 (2 x ? ) ? = sin 6 2
因为 ?

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?

?
2

, 即x ?

?
6

时, g ( x) 取得最大值

3 ; 2

?

? ? 即x ? ? 时,g ( x) 取得最小值 0 . 6 6 6
-------------------13 分

?

?

17. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有 10 点这一种情况, 该车主抵达单位共有六种情况, 所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为 P ?

1 . 6

………………………………4 分

(Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有 8 点、10 点、18 点三种情况, 一共有六个时刻, 所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为 P ?

3 1 = . 6 2

………………………………9 分

(Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有 10 点、12 点、14 点三种情况, 事件“停车场甲也发出饱和警报”只有 10 点一种情况, 所以当停车场乙发出饱和警报时,停车场甲也发出饱和警报的概率为 P ?

1 . 3

………………………………13 分 18. (本小题 14 分) 解: (Ⅰ)因为侧面 ADD1 A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形, 所以 DD1 ? AD ,且 DD1 ? CD . 因为 AD

CD ? D ,
………………………………4 分
6

所以 DD1 ? 平面 ABCD .

(Ⅱ)因为 ?ABD 是正三角形,且 E 为 AD 中点, 所以 BE ? AD . 因为 DD1 ? 平面 ABCD , 而 BE ? 平面 ABCD , 所以 BE ? DD1 . 因为 AD

DD1 ? D ,

所以 BE ? 平面 ADD1 A1 . 因为 BE ? 平面 A1 BE , 所以平面 A1 BE ? 平面 ADD1 A1 . (Ⅲ)因为 BC // AD , 而 F 为 A1 D1 的中点, 所以 BC // A1 F . 所以 B,C,F,A1 四点共面. 因为 CF // 平面 A1 BE , 而平面 BCFA1 所以 CF // A1 B . 所以四边形 BCFA1 是平行四边形. 所以 BC =FA1 = 平面 A1 BE =A1 B , ………………………………10 分

1 AD ? 1 . 2

………………………………14 分

19. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ( x ? a) ? e 得 f ' ( x) ? ( x ? a ? 1) ? e .
x x

当 a ? 1 时, f ' ( x) ? x ? e ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,
x

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??). (Ⅱ)令 f ' ( x) ? 0 得 x ? a ?1 . 所以当 a ? 1 ? 1 时, x ? [1,2] 时 f ' ( x ) ? 0 恒成立, f ( x ) 单调递增; 当 a ? 1 ? 2 时, x ? [1,2] 时 f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 单调递减; 当 1 ? a ?1 ? 2 时, x ? [1, a ? 1) 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;

………………………4 分

x ? ( a ? 1,2) 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增.
7

综上,无论 a 为何值,当 x ? [1,2] 时, f ( x ) 最大值都为 f (1) 或 f ( 2) .

f (1) ? (1 ? a )e , f (2) ? (2 ? a)e2 ,

f (1) ? f (2) ? (1 ? a)e ? (2 ? a)e2 ? (e2 ? e)a ? (2e 2 ? e).
所以当 a ? 当a ?

2e2 ? e 2e ? 1 时, f (1) ? f (2) ? 0 , f ( x) max ? f (1) ? (1 ? a)e . ? e2 ? e e ?1
……………………10 分

2e2 ? e 2e ? 1 时, f (1) ? f (2) ? 0 , f ( x)max ? f (2) ? (2 ? a)e2 . ? 2 e ?e e ?1

x (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? x ,所以 h '( x) ? xe ? 1 .

所以 h ''( x) ? ( x ? 1)e .
x

令 h ''( x) ? ( x ? 1)e =0 ,
x

解得 x ? ?1 , 所以当 x ? [ ?5, ?1) , h ''( x ) ? 0 , h '( x) 单调递减; 当 x ? [ ?1, ??) , h ''( x ) ? 0 , h '( x) 单调递增. 所以当 x ? ?1 时, h '( x) min ? h '(?1) ? 1 ? 所以函数 h( x ) 在 [?5, ??) 单调递增. 所以 h( x) ? h( ?5) ? ?

1 ?0. e

6 ?5. e5
6 恒成立. e5
……………………13 分

所以 ?x ? [?5, ??) , f ( x) ? x ? 5 ? ?

20. (本小题 14 分)

1 x2 ? y 2 ? 1 ,因为焦点 ( 3,0) 在 x 轴上,所以 a 2 ? , b 2 ? 1 解: (Ⅰ)椭圆 E 的方程可以写成 1 m m c2 ? a 2 ? b2 ?
2 1 1 ? 1 ? 3 ? 3 ,求得 m ? . m 4

……………………4 分

(Ⅱ)设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA , BC ,设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) 显然 BA 与 BC 不与坐标轴平行,且 k BA ? k BC ? ?1 ? 0

1 ?可设直线 BA 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0) ,则直线 BC 的方程为 y ? ? x ? 1 , k

?mx 2 ? y 2 ? 1 ?2k 2 2 由? 消去 y 得到 (m ? k ) x ? 2kx ? 0 ,所以 x1 ? m ? k2 ? y ? kx ? 1
求得 | BA | ?

k 2 ? 1 | x1 ? 0 | ? k 2 ? 1

| ?2k | 2k ? k 2 ?1 2 2 m?k m?k
8

1 | ?2( ? ) | 1 2 1 2 k ? 2 k 2 ?1 同理可求 | BC | ? ( ? ) ?1 | x2 ? 0 | ? ( ? ) ?1 2 1 k k m ? (? )2 mk ? 1 k
因为 ?ABC 为以 B (0,1) 为直角顶点的等腰直角三角形,所以 | BA |?| BC | , 所以

2k 2 k 2 ?1 ? k 2 ?1 , 2 2 m?k mk ? 1
3 2 3 2 3 2

整理得 mk ? k ? k ? m ? 0 ? (mk ? m) ? (k ? k ) ? 0 ? m(k ? 1) ? (k ? k ) ? 0

m(k ? 1)(k 2 ? k ? 1) ? k (k ? 1) ? 0 ? (k ? 1)[mk 2 ? (m ? 1)k ? m] ? 0
所以 k ? 1 或 mk ? (m ? 1)k ? m ? 0 ,设 f (k ) ? mk ? (m ? 1)k ? m
2 2

因为以 B (0,1) 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个, 所以关于 k 的方程 mk ? (m ? 1)k ? m ? 0 有两个不同的正实根 x1 , x2 ,且都不为 1
2

1 ? ? f (1) ? 0 ? m ? (m ? 1) ? m ? 0 ? m ? 3 , ? ? x ? x ? 0 ? ? m ? 1 ? 0 ? 0 ? m ? 1, ? ?? 1 2 m ? x x ? 0 ? 1 ? 0,恒成立 ? 1 2 ?? ? 0 ? ? ? (m ? 1) 2 ? 4m 2 ? 0 ? ?1 ? m ? 1 ? 3 ?

所以实数 m 的取值范围是 (0, ) .

1 3

……………………14 分

9


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