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高二数学选修2-1 曲线与方程(1、2、3) ppt_图文

2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程

? 主要内容:
? 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题

? 重点和难点:
? 曲线和方程的概念



曲线和方程之间有 什么对应关系呢?

分析特例归纳定义
(1)、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、三象限角平分线

l ? 点的横坐标与纵坐标相等 ?x=y(或x-y=0)
条件 方程

曲线 y

l
0

得出关系:
x-y=0 x
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上

分析特例归纳定义
(2)、方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 有什么关系?
2 2 2

y

· ·
M

0
满足关系:
(1)、如果M ( x0 , y0 )是圆上的点,那么

x

M ( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解

(2)、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解,那么以它为坐标 的点一定在圆上。

分析特例归纳定义
(3)、说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系

①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上

结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y

A 0 2

x

分析特例归纳定义
定义

曲线的方程,方程的曲线

? 给定曲线C与二元方程f(x,y)=0, 若满足 ? (1)曲线上的点坐标都是这个方程 的解 ? (2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点 ? 那么这个方程f(x,y)=0叫做这条 曲线C的方程 ? 这条曲线C叫做这个方程的曲线

y
f(x,y)=0

0

x

分析特例归纳定义
2、两者间的关系:点在曲线上

?

点的坐标适合于此曲线的方程

即:曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点
在曲线C上的充要条件 是

P( x0 , y0 )

f ( x0 , y0 ) ? 0

学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线为x=3 错(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错(3)到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2:解答下列问题,并说明理由: (1)判断点A(-4,3),B (?3 2, ?4) ,C ( 5, 2 否在方程 x2 ? y 2 ? 25( x ? 0) 所表示的曲线上。
2 2

5)



5 (2)方程 ax ? by ? 25 所表示的曲线经过点A (0, ), 3 B(1,1),则a= ,b= .

下列各题中,图3表示的曲线方程是所列出的方程吗? 如果不是,不符合定义中的关系①还是关系②?

(1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的 折线,方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线,方 程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴,Y轴 的距离乘积为1的点集,方程为y= 。
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x

图3

例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解, 那么( D) A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。

例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy

? ?k.

归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明点M (x0,y0)在曲线C上. 例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。

小结:
? 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程,当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件,只有具备上述两个方面的要求,才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题,以数助形正是解析几何的思 想,本节课正是这一思想的基础。

2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程(一)

方程的曲线和曲线的方程: 一、
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性) 就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是 这条曲线的方程.形成

二、坐标法

解析几何

y

在平面上建立直角坐标系: 一一对应 ???? 坐标(x,y) ? 点 坐标化 ? 曲线 ???? 曲线的方程
平面解析几何研究的主要问题是:
研究

f(x,y)=0
0 x

迪卡尔

1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.

问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (

2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0

──需要掌握一般性的方法

问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
2 2

需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2

坐标化 ∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴ x2 ? 2x ? 1 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? 6x ? 9 ? y 2 ?14 y ? 49 化简
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解;

∴ x ? 2 y ? 7 ? 0 (Ⅰ)

证明

⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 M1 A ? M1B

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 . 1 方法小结

第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性. 求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤: 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y ) ;



3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂). √

2.写出适合条件 P 的几何点集: P ? ?M P ( M )? ;



以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ... . .. . .
课本例

例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.

y
(0, F. 2)
0

.M
B

( x, y )

l

x

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

建立坐标系 设点的坐标

限(找几何条件) 代(把条件坐标化

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

化简

思考:( P

37

练习第 3 题)

活用几何性质来找关系

如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y

B

思维漂亮!

M
0

( x, y ) C
A

?

x

例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x ? y ? 1.
2 2

动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数 ? (? ? 0),

求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
y

M

N 0 Q

x

例3、求抛物线 y ? x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ?1(m ?的顶点 R) 的轨迹方程。

2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程(二)

复习:
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐 标,及相关点的坐标; 二、(限)找条件,由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.

以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ... . .. . .
评讲作业题 巩固步骤

练习:
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a ? R ) 若动点M与两定点A,B构成 直角三角形,求直角顶点M的轨迹方程。
?

2、在 ?ABC中,已知顶点A(1,1),B(3,6),且 于3,求顶点C的轨迹方程。

?ABC 的面积等

3、(江苏,06)已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面内 ???? ???? ???? ??? ? ? ? 的动点,满足 MN ? MP ? MN ? NP。则动点P(x,y)的 ?0 轨迹方程为 。

例 1.△ABC 的顶点 B、 的坐标分别为(0,0)、 C (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
x ? ? x1 ? 2 ? 由中点坐标公式可知 ? ?y ? y ? 1 2 ?

解:设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 ( x1 , y1 )

y

( x, y )
B

∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 ? 4)2 ? y12 ? 9

化简整理得 ( x ? 8)2 ? y 2 ? 36 0 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x ? 8) ? y ? 36 . ? y ? 0? 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了!
思考2

?

D

? ? Mx ? C

A

?

例2、已知 ?ABC 中,A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲 2 线 y ? 3x ? 1 上移动,求 ?ABC 的重心轨迹方程。

例3、已知G是 ?ABC的重心,A(0,-1),B(0,1),在x轴上 ???? ???? ???? ? ? ??? ? 有一点M满足 MA ? MC , GM ? ? AB(? ? R). 求点C的轨 迹方程。

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆

两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 ? x2 ? ? x1 ? y1 ? 6 x1 ? 4 y1 ? 9 ? 0 ① ? ?x ? 2 ? 且? 2 则? M x2 ? y2 2 ? 6 x2 ? 4 y2 ? 9 ? 0 ② ? y1 ? y2 ? ?y ?

由①─②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 )

? ?

2

B

? ?C

l

?6( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 0 y y1 ? y2 ∵ kOM ? k AB 即 ? (易知 x1 ? x2 ) x x1 ? x2 ∴化简得 x2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0 y y ∴ 2x ? ? 2 y ? 6 ? 4 ? 0
x x

x

∴所求轨迹方程为 x2 ? y2 ? 3x ? 2 y ? 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)

点差法

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆

两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

解:设 M ( x, y ) A 2 2 设 x ? y ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 的 圆 心 M 为 C,则 C 的坐标为(3,2). C B 3
∴OC 的中点O? 的坐标为( ,1) 2 且 OC ? 13

y

0

? O?

??

l

x

∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM ∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O? 上. 返回 3 2 13 ? 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 1) 2 ? ∵圆 O 2 4 (下面同法一)

妙!

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆

两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )
x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 则? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

设直线 l 的方程为 y ? kx

M

B ? y ? kx 由方程组 ? 2 2 ? x ? y ? 6 x ? 4 y ? 10 ? 0 0 2 2 消去 y 得 (1 ? k ) x ? (6 ? 4k ) x ? 9 ? 0 6 ? 4k 9 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 2 1? k 1? k 2 3 ? 2k ? ?x ? 1? k 2 ? 消去参数 k 得 x2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0 ∴? ? y ? k ? 3 ? 2k ? 1? k 2 ?

? ?C

A

l

x
返回

作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上移动时,它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( C ) 2 2 2 2 (A) ( x ? 3) ? y ? 4 (B) ( x ? 3) ? y ? 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x ? 3) ? 4 y ? 1 (D) ( x ? ) ? y ? 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x ? 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( D ) 2
x2 y 2 (A) ? ? 1 4 3
x2 y2 (C) ? ?1 16 12

x2 y 2 (B) ? ? 1 8 7

(D) 3x2 ? 4 y 2 ? 8x ? 60 =0

求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的,这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析,会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)


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