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www.ks337.net:2019年高考数学(文)大一轮复习检测:第八章平面解析几何课时作业55及解析-精编试题

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课时作业 55 最值、范围、证明问题 1.已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且 |AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. p p 解:(1)由抛物线的定义得|AF|=2+ .因为|AF|=3,即 2+ =3,解得 p=2,所 2 2 以抛物线 E 的方程为 y2=4x. (2)证明:因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=±2 2. 由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2 ) , F(1,0) 可 得 直 线 AF 的 方 程 为 y = 2 2 (x - 1) . 由 高考数学一轮复习 ? ?y=2 2 - ? ?y2=4x, ? , 1 得 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x= , 2 ?1 ? 从而 B? ,- 2?.又 G(-1,0), ?2 ? 2 2-0 2 2 所以 kGA= = , 2- - 3 - 2-0 2 2 =- , 3 kGB= 1 - - 2 所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. x2 2.(2017·湖北黄冈一模)如图,已知点 F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 的两个焦点, 2 x2 椭圆 C2: +y2=λ 经过点 F1,F2,点 P 是椭圆 C2 上异于 F1,F2 的任意一点,直线 PF1 2 和 PF2 与椭圆 C1 的交点分别是 A,B 和 C,D.设 AB,CD 的斜率分别为 k,k′. (1)求证:k·k′为定值; (2)求|AB|·|CD|的最大值. 高考数学一轮复习 解: (1)证明:因为 点 F1, F2 是 椭圆 C1 的两个焦点,故 F1, F2 的坐标是 F1( - 1,0),F2(1,0).而点 F1,F2 是椭圆 C2 上的点,将 F1,F2 的坐标代入 C2 的方程得,λ= 1 . 2 设点 P 的坐标是(x0,y0), y0 y2 0 · = 2 x0+1 x0-1 x0-1 y0 ∵直线 PF1 和 PF2 的斜率分别是 k,k′(k≠0,k′≠0),∴kk′= ① x2 1 0 2 又点 P 是椭圆 C2 上的点,故 +y0 = ,② 2 2 1 联立①②两式可得 kk′=- ,即 k·k′为定值. 2 (2)直线 PF1 的方程可表示为 y=k(x+1)(k≠0),与椭圆 C1 的方程联立,得到方程 ?y= + , 组 ?x ? 2 +y =1, 2 2 由方程 组 得 (1 + 2k2)x2 + 4k2x + 2k2 - 2 = 0. 设 A(x1 , y1) , 2k2-2 B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= . 1+2k2 1+2k2 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· 2 2 +k2 1+x2 2 4k2 -4x1x2 = 1+2k2 . 高考数学一轮复习 同理可求得|CD|= 2 +4k2 1+2k2 4 , 则|AB|·|CD|= +5k2+ 2 +2k2 ?1+ 1 ? 9 1 =4? ?≤ , +4k +4 2 ? k ? 2 2 当且仅当 k=± 2 2 时等号成立. 9 故|AB|·|CD|的最大值等于 . 2 3.已知以 A 为圆心的圆(x-2)2+y2=64 上有一个动点 M,B(-2,0),线段 BM 的 垂直平分线交 AM 于点 P,点 P 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)过 A 点作两条相互垂直的直线 l1,l2 分别交曲线 E 于 D,E,F,G 四个点,求 |DE|+|FG|的取值范围. 解:(1)连接 PB,依题意得|PB|=|PM|,所以|PB|+|PA|=|AM|=8,所以点 P 的轨迹 E 是以 A,B 为焦点,4 为长半轴长的椭圆,所以 a=4,c=2,则 b=2 3. y2 + =1. 16 12 x2 所以轨迹 E 的方程是 (2)当直线 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在时,|DE|+|FG|=6+8=14; 当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l1 的方程为 y=k(x-2),D(x1,y1), 高考数学一轮复习 ?y= - , E(x ,y ),联立? x y + =1, ?16 12 2 2 2 2 整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0, ∴x1+x2= 16k2 3+4k 2,x1x2= 16k2-48 , 3+4k2 2 ∴|DE|= = 1+k2· +k2 3+4k2 +k2 1+x2 1-x2 2 -4x1x2 = , 同理可得|FG|= +k2 4+3k2 , 2 ∴|DE|+|FG|= + 2 +3k2 +4k2 , 设 t=k2+1,则 t>1, 168 所以|DE|+|FG|= , t-1 12+ 2 t t-1 1 当 t>1 时,易证 y= 2 在(1,2)上递增,在(2,+∞)上递减,所以 0<y≤ ,所以 t 4 ?96 ? ?96 ? |DE|+|FG|的取值范围是? ,14?.综上,|DE|+|FG|的取值范围是? ,14?. ?7 ? ?7 ? y2 x2 1.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与抛物线 C2:x2=2py(p>0)有一个公共焦 a b 高考数学一轮复习 点,抛物线 C2 的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是( 2,-2)的交点. (1)求椭圆 C1 与抛物线 C2 的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,过点

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