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新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学文试题(WORD版)

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验 试卷

文科数学(问卷)
(卷面分值:150 分考试时间:120 分钟)
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1, ,4,5},B={2,3,4},则 A ? (CU B ) =
A. {4},
1 ? 2i i

B. U={1,5},

C U={1,5,6},

D. U={1,4,5,6},

2. 复数

的共轭复数是 a + bi(a,b R),i 是虛数单位,则点(a,b)为

A. (1 ,2)

B. (2 ,- i )

C.(2,1)

D . ( 1 ,-2)

3. “ | x | < 1 ” 是“ ln x 2 <0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x), g ( x) ? log 2 (1 ? x) ,则 f(x)-g(x) 是

A.奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数
?0, x ? 0 ?e , x ? 0
x

B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

5. 已知函数 f ( x) ? ? 范围是

,则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值

A. [0,1)

B. ( ??,1)

C、 ( ??,1] ? (2, ??)

D. ( ??, 0] ? (1, ??)

6. 设 S n 为等差数列{ an }的前 n 项和,若 a1 ? 1, a3 ? 5, S k ? 2 ? S k ? 36 ,则 k 的值为

A.8

B. 7

C. 6

D.5

7. 函数 f ( x) ? 2 sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图 所示,其 中 A,B 两点之间的距离为 5,则 f(x)的递增区间是
A.[ 6k- 1,6k+ 2] k ? Z) ( C.[ 3k- 1,4k+ 2] k ? Z) ( B.[ 6k- 4,6k- 1] k ? Z) ( D.[ 3k- 4,3k- 1] k ? Z) (

8. 执行右边的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件①可以为 A、n≤5 B、n≤6 C、n≤7 D、n≤8

9. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 是 AB 的三等分点,G、 H 是 CD 的三等分点,M、 分别是 BC、 的中点,则四棱锥 A1 -FMGN N EH 的 侧视图为

10. 设平面区域 D 是由双曲线 y 2 ?

x

2

? 1 的两条渐近线和抛物线 y =-8x 的准线所围成的

2

4

三角形(含边界与内部).若点(x,y) ∈ D,则 x + y 的最小值为 A. -1 B.0 C. 1 D.3

11.如图,椭圆的中心在坐标原点 0,顶点分别是 A1, A2, B1, B2,焦点 分别为 F1 ,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若 为钝角,则此椭 圆的离心率的取值范围为

A.(0,

5 ?1 4



B、 (

5 ?1 4

,1)

C.(0,

5 ?1 2



D、 (

5 ?1 2

,1)

12.

中,若

,则

tan A tan B

的值为

A.2

B.4

C. 3

D.2 3

第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答. 第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验. 根据 收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图,单位正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在平面 A 1 BC 1 上,则三棱
锥 P-ACD 1 的体积 为______

15. 点 A(x,y)在单位圆上从

出发,沿逆时针方向做匀速圆

周运动,每 12 秒运动一周.则经过时间 t 后,y 关于 t 的函数解析式 为______

16. 设 A、B 为在双曲线 x 2 ? 积的最小值为______

y

2

??? ? ? 1 上两点,O 为坐标原点.若 OA ? OB =0,则 ΔAOB 面

2

三、解答题:第 17?21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过 . 程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}、{bn}分别是首项均为 2 的各项均为正数的等比数列和等差数列,且

(I) 求数列{an}、{bn}的通项公式; (II )求使 ab <0.001 成立的最小的 n 值.
n

18. (本小题满分 12 分) PM2. 5 是指大气中直径小于或等于 2. 5 微米的颗粒物,也称为 可人肺颗粒物.我国 PM2. 5 标准采用世卫组织设定的最宽限 值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克/ 立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以 上空气质量为超标. 某市环保局从市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中 随机 抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为 茎,个位为叶)

(I)从这 9 天的数据中任取 2 天的数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(II) 以这 9 天的 PM2. 5 日均值来估计供暖期间的空气质量情况,则供暖期间(按 150 天 计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.

19. (本小题满分 12 分)
P, VD 的中点, 点 M 在边 BC 在正四棱锥 V - ABCD 中, Q 分别为棱 VB, 上,且 BM: BC = 1 : 3 ,AB =2
3 ,VA = 6.

(I )求 证 CQ∥ 平 面 PAN; ( I I ) 求证:CQ⊥AP.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 F( 1,0), 与直线 4x+3y + 1 =0 相切,动圆 M 与 及 y 轴都相切.

(I )求点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 任作直线 l,交曲线 C 于 A,B 两点,由点 A,B 分别向 点 分别为 P,Q,记 .求证 sin ? ? sin ? 是定值. 各引一条切线,切

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0 的零点的集合为{0,1},且 x ? 个极值点。
b a
1 3

是 f(x)的一

(1)求

的值;

(2)试讨论过点 P(m,0)与曲线 y=f(x)相切的直线的条数。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 丄 CE,垂足为 D. 的直径,AC 是弦,直线 CE 和 切于点 C, AD

(I) 求证:AC 平分


的大小.

(II) 若 A B = 4 A D , 求

23. (本题满分 10 分)选修 4 -4 :坐标系与参数方程

将圆

上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x-2y-8=0

绕原点逆时针旋转 90° 所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.

24. (本题满分 10 分)选修 4 - 5 :不等式选讲 设函数,
( I) 求证

. ;

(II)若

成立,求 x 的取值范围.

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

1.选 D.【解析】 A ? ? ?U B ? ? ?1, 4, 5? ? ?1, 5, 6? ? ?1, 4, 5, 6? . 题号 选项 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B 11 D 12 B 2.选 C.【解析】
1 ? 2i i ? 2?i,

其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 a ? 2, b ? 1 .
2 2 3.选 B.【解析】 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 , lg x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1 .

4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? 记 F ( x) ? f ? x ? ? g ( x ) ? log 2
? 1? x ? F ( ? x ) ? log 2 ? log 2 ? ? 1? x ? 1? x ?
1? x
?1

1? x 1? x

,则

? ? log 2

1? x 1? x

? ? F ( x ) ,故 f

? x ? ? g ( x) 是奇函数.

5.选 D.【解析】函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x) ? x ? m 的根, 作出 h( x) ? f ? x ? ? x ? ?
? x,
x

x?0

?e ? x, x ? 0

的图象,观察它与直线 y ? m 的交点,得知当 m ? 0

时,或 m ? 1 时有交点,即函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点. 6.选 A.【解析】由 a1 ? 1 , a3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: S k ? 2 ? S k ? ak ? 2 ? ak ?1
? 2a1 ? (2k ? 1) d ? 4k ? 4 ? 36 ,解得 k ? 8 .

7.选 B. 【解析】AB ? 5, y A ? yB ? 4 , 所以 x A ? xB ? 3 , 即 由 f ? x ? ? 2 sin ? 解得 ? ?
5? 6

T 2

所以 T ? ? 3,

2?

?

?6, ? ?

?
3

??

? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2, ?2 ? ,即 2 sin ? ? ? ? ? ?2 , 0 ? ? ? ? , ?3 ? ? 3 ?
?? ?3 x?

,函数为 f ? x ? ? 2 sin ?

? ? 5? ? 5? ? , ? x? ? 2 k? ? ? ,由 2k? ? 2 3 6 2 6 ?

解得 6k ? 4 ? x ? 6k ? 1 ,故函数单调递增区间为 ? 6k ? 4, 6k ? 1? ? k ? Z ? . 8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n ? 2 n ?1 ? 1 ,有 2n ?1 ? 1 ? 127 ,故 n ? 6 . 9.选 C.【解析】 (略). 10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?
y ? ? x ? z 过点 O (0, 0) 时, zmin ? 0 .
1 2 x ,抛物线的准线为 x ? 2 ,设 z ? x ? y ,当直线

11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1 F2 的方程 为 bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ?
????

b ?a ? c? ? ? ,又 A2 ? a, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , a?c a?c ? ? ? 2ac ,

∴ PB1 ? ?

???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? ? ? ?2ac ?2ab ? , , , PA2 ? ? ? ,∵ ?B1 PA2 为钝角 ? a?c ? a?c a?c ? ? a?c ?
2 2

???? ???? ? ?2a c ? a ? c ? 2ab ? a ? c ? ? ? 0 ,化简得 b 2 ? ac ,即 a 2 ? c 2 ? ac , ∴ PA2 ? PB1 ? 0 ,即 2 2 a ? c? a ? c? ? ?
c ?c? 故 ? ? ? ? 1 ? 0 , 即 e2 ? e ? 1 ? 0 , e ? a ?a?
2

5 ?1 2

或e?

? 5 ?1 2

,而 0 ? e ? 1 ,所以

5 ?1 2

? e ? 1.

12.选 B.【解析】设 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边,由

? CA ? CB ? ? AB ? 5

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 ??? 2 ? 3 ??? 2 AB 得 CA ? AB ? CB ? AB ? AB . 5

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ?

3 5

c ,∴ a cos B ? b cos A ?
2

3 5

c.

∴a?

a ?c ?b
2 2

2

?b?

b ?c ?a
2 2

2

?
2

3 5

c ,即 a ? b ?
2 2

3 5

c ,
2

2ac

2bc
2

c ?c sin A cos B a a ?c ?b 2ac 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4. ∴ 2 2 2 2 3 2 tan B sin B cos A b b ? c ? a b ?c ?a 2 ? c ?c 5 2bc
2 2

a ?c ?b

2 2 2 2

3

tan A

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =
10 + 20 + 30 + 40 + 50 5
? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75

? 30 ,



62 + m + 75 + 81 + 89 5

= 75 ,故 m ? 68 .

14.填

1 6

. 【解析】平面 A1 BC1 ∥平面 ACD1 ,∴ P 到平面 ACD1 的距离等于平面 A1 BC1 与平面
1 3 3 3 1 2 3 2

ACD1 间的距离,等于

B1 D ?

,而 S ?ACD ?
1

AD1 ? CD1 sin 60? ?



∴三棱锥 P ? ACD1 的体积为 ?
3 ?? ?6

1

3 2

?

3 3

?

1 6

.

15.填 y ? sin ?

t?

? ?

? 2? ? ? 【解析】 ?xOA0 ? ,点 A 每秒旋转 ,所以秒旋转 t , ? ?. 3 12 6 6 3?
?
6

?A0OA ?

?
6

t , ?xOA ?

t?

?
3

,则 y ? sin ?xOA ? sin ?

?? ?6

t?

? ?

?. 3?
1 k x,

16.填 2 .【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?
? y ? kx 2 2 2k ? 2 2 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? 2 y 故 x1 ? , , y1 ? 2 2 2?k 2?k ?1 ?x ? ? 2

∴ OA ? x1 ? y1 ?
2 2

2

2 ?1 ? k 2?k

2

?
2

2

,同理 OB ?

2

2 ?1 ? k
2

2

?

2k ? 1



故 OA ? OB ?

2

2

4 ?1 ? k
4

2

?
2

?2k ? 5k ? 2

? ?2 ?

4 9k
2 2

?k

2

? 1?



k

2 2

?k

2

? 1?

? k ?
2

1 1 k
2

? ?2

1 4

(当且仅当 k ? ?1 时,取等号)

∴ OA ? OB ? 16 ,故 S ?AOB ? 三、解答题:共 6 小题,共 70 分.

2

2

1 2

OA ? OB 的最小值为 2 .

17.(Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q , ?bn ? 的公差为 d ,依题意 ?
?d ? 2 ? d ? ?5 ? ? 解得 ? 1 ,或 ? 3 (舍) ?q ? ?q ? ? ? 2 8 ?
?1? ?? ? ?2?
2n?2 2n?2

? 2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?
n?2

?1? ∴ an ? ? ? ?2?

, bn ? 2n ;

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ab ? a2 n
n



因为 ab

n

?1? ? 0.001 ? ? ? ?2?

? 0.001 ? 2

2 n? 2

? 1000 ,

所以 2n ? 2 ? 10 ,即 n ? 6 ,∴最小的 n 值为 6.

…12 分

18. (Ⅰ)记“从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,恰有一天空气质量达到一级” 为事件 A , ∵从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,有 ?28, 33? , ?28, 31? , ?28, 44? ,

?28, 45? , ?28, 63? , ?28, 79? , ?28, 81? , ?28, 86? , ?33, 31? , ?33, 44? , ?33, 45? , ?33, 63? ,
?33, 79? , ?33, 81? , ?33, 86? , ?31, 44? , ?31, 45? , ?31, 63? , ?31, 79? , ?31, 81? , ?31, 86? ,

?44, 45? , ?44, 63? , ?44, 79? , ?44, 81? , ?44, 86? , ?45, 63? , ?45, 79? , ?45, 81? , ?45, 86? ,
?63, 79? , ?63, 81? , ?63, 86? , ?79, 81? , ?79, 86? , ?81, 86? 共 36 种情形,其中恰有一天空
气 质 量 达 到 一 级 的 有 ?28, 44? , ?28, 45? , ?28, 63? , ?28, 79? , ?28, 81? , ?28, 86? ,

?33, 44? , ?33, 45? , ?33, 63? , ?33, 79? , ?33, 81? , ?33, 86? , ?31, 44? , ?31, 45? , ?31, 63? ,

?31, 79? , ?31, 81? , ?31, 86? 共 18 种情形,∴ P ? A ? ?

18 36

?

1 2



…6 分

(Ⅱ)依题意可知,这 9 天中空气质量达到一级的有 3 天,那么供暖期间估计(按 150 天计算) 有 ? 150 ? 50 天的空气质量达到一级.
9 3

…12 分

19. (Ⅰ)连接 AC , BD ,设 AC ? BD ? O ,则 VO ⊥平面 ABCD , 连接 AM ,设 AM ? BD ? E ,由 BM : BC ? 1: 3 , ?MEB ~ ?AED , 得 BE : ED ? 1: 3 ∴ E 为 OB 的中点,而 P 为 VB 的中点,故 PE ∥ VO 在 DA 上取一点 N ,使 DN : DA ? 1: 3 ,CN ? BD ? F 同理 QF ∥ VO ,于是 PE ∥ QF 在正方形 ABCD 中 AM ∥ CN ,∴平面 APM ∥平面 CQN ,又 CQ ? 平面 CQN ∴ CQ ∥平面 PAM ; (Ⅱ)延长 BA 至 G 使 BA ? AG ,连接 VG ,则 VG ∥ AP 且 VG ? 2 AP …6 分

延长 DC 至 H 使 DC ? CH ,连接 VH ,,则 VH ∥ CQ 且 VH ? 2CQ ∴相交直线 VG 与 VH 所成的不大于 90? 的角即为异面直线 AP 与 CQ 所成的角 连接 GH ,在 ?GVH 中, GH ? 2 30, VG ? VH ? 2 AP ? 2CQ ? 2 15 ∴ GH 2 ? VG 2 ? VH 2 ,∴ ?GVH ? 90? ,即 CQ ⊥ AP . …12 分

20. (Ⅰ)⊙ F 的半径为

4 ?1 4 ?3
2 2

? 1 ,⊙ F 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,
2 2

作 MH ⊥ y 轴于 H ,则 MF ? 1 ? MH ,即 MF ? MH ? 1 ,则 MF ? MN ( N 是 过 M 作直线 x ? ?1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ?1 为准线的抛物 线. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0 ? ;
2

…6 分
? y ? k ? x ? 1? ? ? y ? 4x ?
2

(Ⅱ)当不与 x 轴垂直时,直线的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由 ?



k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
2 2 2 2

2k ? 4
2

k

2

, x1 x2 ? 1

∴ sin ? ? sin ? ?

1 AF

?

1 BF

?

1 x1 ? 1

?

1 x2 ? 1

?

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

?

x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2 ? 1

? 1,

当与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 .
3 2

…12 分

21. (Ⅰ) 函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0 ? 的零点的集合为 ?0,1? , 则方程 f ? x ? ? 0 的 解可以为 x1 ? x2 ? 0, x3 ? 1 ,或 x1 ? x2 ? 1, x3 ? 0 . ∴ f ? x ? ? ax ? x ? 1? 或 f ? x ? ? ax ? x ? 1? .
2
2

2 ①若 f ? x ? ? ax ? x ? 1?? a ? 0 ? ,则 f ? ? x ? ? 2ax ? x ? 1? ? ax 2 ? 3ax ? x ?

? ?

2? ?. 3?
2 3

当 x ? 0 ,或 x ?

2 3

时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当 0 ? x ?

, f ? ? x ? ? 0 ,函

数 f ? x ? 为减函数; ∴x ?0,x ?
2 3

为函数的极值点.与题意不符.
2

②若 f ? x ? ? ax ? x ? 1? ? a ? 0 ? ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? 1?? 3 x ? 1? 当x?
f
1 3

,或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当

1 3

? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ,函数

? x ? 为减函数;
1 3

∴x?

, x ? 1 为函数的极值点.
2 2

综上,函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1? ? a ? 0 ? ,即 f ? x ? ? ax ? x ? 1? ? ax 3 ? 2ax 2 ? ax , 而 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0 ? ,故 b ? ?2a ,∴
3 2

b a

? ?2

…6 分

(Ⅱ)设过点 P ? m, 0 ? 的直线与曲线 y = f ? x ? 切于点 Q ? x0 , y0 ? , 由(Ⅰ)知 f ? ? x0 ? ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ,∴曲线 y = f ? x ? 在点 Q ? x0 , y0 ? 处的切线方程
? 3? ? ? 1? 3? ? 1?

为 y ? y0 ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x ? x0 ? ,
? ? 1? 3?

∵ P ? m, 0 ? 满足此方程,故 ? y0 ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? m ? x0 ? ,又 y0 ? ax0 ? x0 ? 1?
? ? 1? 3?

2

2 即 ? ax0 ? x0 ? 1? ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? m ? x0 ? ,∴ ? x0 ? 1? ? 2 x0 ? 3mx0 ? m ? ? 0 .

2

x0 ? 1 , 或 2 x0 ? 3mx0 ? m ? 0 …① , 关 于 x0 的 方 程 2 x0 ? 3mx0 ? m ? 0 的 判 别 式
2 2

? ? 9m ? 8m
2

当m ? 0或m ?

8 9

时, ? ? 0 ,方程①有两等根 x0 ? 0 或 x0 ?

2 3

,此时,过点 P ? 0, 0 ? 或

?8 ? P ? , 0 ? 与曲线 y = f ?9 ?

? x ? 相切的直线有两条;

当0 ? m ?

8 9

时, ? ? 0 ,方程①无解,此时过点 P ? m, 0 ? 与曲线 y = f ? x ? 相切的直线仅

有一条; 当m?0或m?
y= f
8 9

时, ? ? 0 ,方程①有两个不同的实根,此时过点 P ? m, 0 ? 与曲线 …12 分

? x ? 相切的直线有三条.

22. (Ⅰ)连接 BC ,∵ AB 是 ? O 的直径,∴ ?ACB ? 90? . ∴ ?B ? ?CAB ? 90? . ∵ AD ? CE ,∴ ?ACD ? ?DAC ? 90? , ∵ AC 是弦,且直线 CE 和 ? O 切于点 C , ∴ ?ACD ? ?B . ∴ ?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABC ? ?ACD ,∴
AC AB ? AD AC

…5 分 ,由此得 AC 2 ? AB ? AD

∵ AB ? 4 AD ,∴ AC 2 ? 4 AD ? AD = 4 AD 2 ? AC ? 2 AD ,于是 ?DAC ? 60? , 故 ?BAD 的大小为 120? . 23. (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为 ? x, y ? ,则 ? x, 2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2

…10 分

于是 x 2 ? ? 2 y ? ? 4 即
2

x

2

? y ?1.
2

4

直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos ? ? 2 ? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l0 , 设直线上任一点为 ? ? , ? ? ,则点 ? ? , ? ? 90? ? 在 l0 上, 于是 3? cos ?? ? 90? ? ? 2 ? sin ?? ? 90? ? ? 8 ? 0 ,即: 3? sin ? ? 2 ? cos ? ? 8 ? 0 , 故直线的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ; (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ? 2 cos ? , sin ? ? ,
4 cos ? ? 3sin ? ? 8 2 ?3
2 2

…5 分

它到直线的距离为 d ?

?

5cos ?? ? ? 0 ? ? 8 13



其中 ? 0 满足: cos ? 0 ?

4 5

, sin ? 0 ?

3 5

. …10 分 …5 分

∴当 ? ? ? 0 ? ? 时, d max ? 13 . 24.(Ⅰ) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 .
a ?2
2

(Ⅱ)∵

?

a ?1?1
2

?

a ?1 ?
2

1 a ?1
2

? 2,

a ?1
2

a ?1
2

∴要使

a ?2
2

? x ? 1 ? x ? 2 成立,需且只需 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 .

a ?1
2

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2
? ?

,或 ?

?1 ? x ? 2 ?x ?1? 2 ? x ? 2
?5 ? ? ?

,或 ?

?x ? 2 ?x ?1? x ? 2 ? 2

,解得 x ?

1 2

,或 x ?

5 2

故 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? . 2 2
?

1?

…10 分

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.


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