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1.1.2集合间的基本关系


1.1.2 集合间的基本关系
山东省费县第一中学

【三维目标】
一、知识与技能

1. 了解集合间包含关系的意义; 2. 理解子集、真子集的概念和意义;

3. 理解空集的定义;
4. 会判断简单集合的包含关系. 二、过程与方法

1.类比实数间的关系,联想集合间的关系;
2.分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念. 三、情感、态度与价值观

1.培养数学来源于生活,又为生活服务的思维方式;
2.个体与集体之间,小集体构成大社会的依存关系; 3.发展学生抽象、归纳事物的能力,培养学生辨证的观点.

【引一引★温故知新】

集合与集合 之间呢?

实数有相等关系 如:5=5

实数有大小关系 如:5<7,5>3

【说一说★本节新知】

子集 集合相等 真子集 空集 子集的性质

【说一说★本节新知】 1.子集
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集 合有包含关系,称集合A为集合B的子集.记作:

A ? B (或B ? A )
读作:“A含于B”(或“B包含A”)

符号语言: 任意x ? A,有x ? B, 则 A ? B

【说一说★本节新知】
Venn图表示集合的包含关系
在数学中,我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合,这种图称为Venn图.

A? B

B

A

【说一说★本节新知】

2.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A ? B),且集合B 是集合 A的子集(即B ? A), 此时集合A与集合B中的 元素是一样的,我们称集合A与集合B相等. 记作:A ? B.

符号语言:若A ? B, B ? A,则A ? B

【说一说★本节新知】

3.真子集
如果集合A ? B, 但存在元素x ? B , 且x ? A, 我们称集合A是集合B的真子集. 记作:A ? ?B ( 或B ? ? A ).

读作:“A真含于B”(或“B真包含 A”)

【说一说★本节新知】

4.空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为?.
规定:空集是任何集合的子集,即? ? A.
空集是任何非空集合的真子集. 即: ? ? ? B. ( B ? ?)

【说一说★本节新知】
5.子集的有关性质
(1).任何一个集合是它本身的子集,即A ? A.
(2).对于集合 A、B、C,如果 A ? B且B ? C那么A ? C.

(3).对于集合A、B、C,如果 A? ? B且B ? ? C那么A ? ? C. (4).对于集合A、B、C,如果 A? ? B且B ? C那么A ? ? C. (5).对于集合A、B、C,如果 A ? B且B ? ? C那么A ? ? C. (6).对于集合A、B、C,如果 A? B且B ? C那么A ? C .

【议一议★深化概念】
1.包含关系{a} ? A与属于关系a ? A有什么区别?

2.集合A ? ? B与集合A ? B有什么区别?
3.0,{0},?与???四者之间有什么关系?
4.试讨论类比法在本节课是如何应用的?

【听一听★更上一层】
例1.写出集合?a , b?的所有子集,并指出哪 些是它的真子集.

解 : 集合{a, b}的所有子集为:

?,{a}, {b}, {a, b}
真子集为: ?,{a}, {b}

【听一听★更上一层】 变式
写出集合?a, b,c?的所有子集,并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集:?; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a, b}, {a, c},{b, c};
有3个元素的子集: {a , b, c}.
集合{a, b, c}的所有子集为: ?,{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. 集合{a, b, c}的所有真子集为: ?,{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}.

5. 子集的个数
写集合子集的一般方法:先写空集,然后按照集合元素从少 到多的顺序写出来,一直到集合本身.写集合真子集时除去集 合本身外其余子集都是它的真子集. 例 .写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
解:集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为 ? ,{a},{b}.

练习 写出集合{a,b,c}的所有子集. 解:集合{a,b,c}的所有子集为○,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c}.

问题 根据上面两例,你能归纳出子集的个数与集合 结论: 含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非
空真子集数为2n-2。解题时可以依据上面的结论检验解 答正确与否.

元素个数的关系吗?

【听一听★更上一层】
k 1 k 1 例2.集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, N ? { x | x ? ? , k ? Z }. 2 4 4 2 则( ) . B.M ? ? N C.M ? ? N D.M与N没有相同元素

A.M ? N

分析:令k ? ? ? ?,?1, 0, 1, 2, 3,? ? ?得:
令k ? ? ? ? ? 3, ? 2,?1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? ? ? 得:
1 M ? {? ? ?, ? , 4 1 , 4 3 , 4 5 , 4 7 , ? ? ?} 4

? M? ? N ,故选C.

1 1 1 3 5 3 7 N ? {? ? ?, ? , 0, , , , 1, , , , ? ? ?} 4 4 2 4 4 2 4

【听一听★更上一层】
k 1 k 1 例2.集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, N ? { x | x ? ? , k ? Z }. 2 4 4 2 则( ) . B.M ? ? N
2k ? 1 , k ? Z }, 4

A.M ? N

C.M ? ? N

D.M与N没有相同元素

分析:M ? { x | x ?

N ? {x | x ?

k?2 , k ? Z }. 4

当k ? Z时, 2k ? 1为奇数,k ? 2为整数,因为奇数都 是整数,且整数不都是奇数.

? M? ? N,故选C.

【练一练★巩固提高】

y 3. x、y是实数,集合M ? { x , ,1}, N ? { x 2 , x ? y , 0}, x 若M ? N, 则x 2008 ? y 2008 ? ( A ). A.1 B. ? 1 C .0 D. ? 1

设A ? {a , b}, B ? { x | x ? A}.请问A与B之间的 关系是什么?
A? B

探究创新 11.已知集合 A= {2,4,6,8,9},B= {1,2,3,5,8},是否存在集合 C,使 C 中每一个元素都加 上 2 变成 A 的一个子集;且 C 的每个元素都减去 2,就变成了 B 的一个子集?若存在,求 出集合 C;若不存在,说明理由.

解:假设存在集合 C 满足条件, 则 C≠?,且将 A 中元素都减 2,B 中元素都加 2, 于是 C?{0,2,4,6,7},且 C?{3,4,5,7,10}, 注意两个集合含有公共元素, 故存在满足条件的 C, 即 C={4,7},C={4}或 C={7}.

练习 已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,求c的值.

解:

【总一总★成竹在胸】
一.本节课的知识网络:
相 等 A?B

子 集 A?B

性质
真子集 A ? ? B

空 集 (? )

性质

二.本节课主要的思想方法:

类比法

分类讨论思想

1、本节课主要学习了哪些基本概念?学习了哪些 集合符号?你能理解吗?集合的子集有哪些性质?

2、基本概念有: 子集

真子集 相等
= ≠

空集

3、基本符号有: ?

? ?

( 1) A ? A 4、性质有: (2)A ? B,且B ? C,则A ? C (3)? ? A (4)若A≠ ?,则 ? A。

注:可以类比实数的关系来帮助识记一些集合关系的符号。


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