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2013江苏省高考


专题 2 数列
【典型例题】 例 1 (填空题) (1)在数列{ a n }中, a1 解析:由 2 a n ? 1
? ? 2, 2 a n ? 1 ? 2 a n ? 3

,则 a n ﹦


? 3 2 n? 7 2

? 2 a n ? 3 得 a n ?1 ? a n ?

3 2

,∴{ a n }是等差数列,∴ a n



(2)在等比数列 ? a n ? 中,若 a 3 解析:由 a 5 2 ? a 3 a 7 ? 9 ,且 a 5

? ? 9, a 7 ? ? 1,

则 a 5 的值为___________.

?0

得 a5

? ?3 .

(3)各项都是正数的等比数列 { a n } 的公比 q ? 1 ,且 a 2 , 的值为 .

1 2

a3 , a 1

成等差数列,则

a3 ? a4 a4 ? a5

解析:由题设得 a 3 又 q ? 0 ,所以 q ?

? a1 ? a 2 ,即 a1 q ? a1 ? a1 q ,? q ? q ? 1 ? 0 .
2 2

1? 2

5

.故

a3 ? a4 a4 ? a5

?

1 q

?

5 ?1 2



(4)一个只有有限项的等差数列 ? a n ? ,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146, 所有项的和为 234,则 a 7
?


? 5 a1 ? 1 0 d ? 3 4 ?5an ? 10d ? 146
? a1 ? a1 3 2
n5 ?

解析:设该数列的公差为 d ,则依题意有 ?
n ? a1 ? a n ? 2

, 得 a1
36 2

? an ? 36

,又

? 234

,∴ n

? 13

.从而有 a1

? a13 ? 36

.? a 7

?

? 18 .

(5) 已知等比数列 { a n } 满足 a n ? 0, n ? 1, 2, ? , a 5 ?a 2 且 时, lo g 2 a1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2 n ?1 ?
2n 解析:由 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2 ( n ? 3) 得 a n ? 2

? 2 (n ? 3) , 则当 n ? 1
2n


2n

2

, a n ? 0 ,则 a n ? 2 ,
n
2

故 log

2

a 1 ? log

2

a3 ? ? ? ? ?

log

2

a 2 n ? 1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n

(6)已知 ? a n ? 的前 n 项之和 S n ? n 2 ? 4 n ? 1, 则 a1 ? a 2 ? … a 1 0 ﹦
2 -1



解析: a n

??2 ? ? ?2n ? 5

n ?1 n? 2

,则 a1 ? a 2 ? … a 1 0 ﹦ ? 2 ? ( ? 1) ? 1 ? 3 ? ? ? 15 ? 61 .

(7)已知数列 ? a n ? 满足 a n ? n 2 ? ? n ( ? ? R ) ,且 a1
? 的取值范围是___________.

? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a n ? a n ? 1 ? ? ? ? ,则

解析: ?

?
2

?

3 2

, ? ? ? 3 ,所以实数 ? 的取值范围是 ? ? 3, ? ? ? .

(8)某地区有 1500 万互联网用户,该地区某用户感染了某种病毒,假设该病毒仅在 被感染的第 1 小时内传染给另外 2 个用户,若不清除病毒,则在第 22 小时内该地区感染 此病毒的用户数为 ( 2 23 ? 1.5 ? 10 7 ? 2 24 ).
? 2 ?? ? 2
3 22

解析:在第 22 小时内该地区感染此病毒的用户数为 1 ? 2 ? 2 2 (9)在等差数列 ? a n ? 中, 数的 n
?

? 2

23

?1



a1 1 a1 0

? ? 1,

若它的前 n 项和 S n 有最大值,则使 S n 取得最小正


a1 1 a1 0 ? ? 1,

解析:设等差数列 ? a n ? 的公差为 d ,则由题设 d ? 0 ,由 且 a1 0 ? a ? 0 ,故 S 19
11

可知 a1 0 ? 0, a ? 0 ,
11

?

1 9 ? a1 ? a19 2

?

? 19a 10

?0

,S 20

?

2 0 ? a1 ? a 2 0 ? 2

?

2 0 ? a1 0 ? a1 1 ? 2

?0

,所以

n﹦19. (10)在数列 ? a n ? 中,a1=1,an+1=an+c (c 为常数, n ? N * ),且 a1,a2,a5 成公比不 等于 1 的等比数列,设 bn=
1 a n a n ?1

,则数列 ? b n ? 的前 n 项和 Sn=



解析:∵an+1=an+c,a1=1,c 为常数,∴an=1+(n-1)c. ∴a2=1+c,a5=1+4c. 又 a1,a2,a5 成等比数列,∴(1+c)2=1+4c,解得 c=0 或 c=2. 当 c=0,an+1=an 不合题意,舍去. ∴c=2. 故 an=2n-1.∴ b n
?
1 2

1 a n a n ?1

?
1 3

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
)?( 1 3 ? 1 5

?

1

2 2n ? 1
1 2n ? 1 ?

(

1

?

1 2n ? 1
1 )]

)



∴Sn=b1+b2+…+bn = =
1 2 (1 ? 1 2n ? 1 )

[(1 ?

)?? ? (

2n ? 1

=

n 2n ? 1


an

例 2
bn ? 1 an ? 1

已知数列{ . n? N*) (

}中

a1 ?

3 5



an ? 2 ?

1 a n ?1



n ? 2, n ? N

*

) 数 列 {bn } 满 足 ,

2 -2

(1)求证:数列 { b n } 是等差数列; (2)求数列 { a n } 中的最大项与最小项,并说明理由. 解: (1) b n
? 1 an ? 1
a n ?1 a n ?1 ? 1

? 2?
1

1 1 a n ?1 ?1

?

a n ?1 a n ?1 ? 1

,而 b n ? 1

?

1 a n ?1 ? 1

(n

? 2, n ? N

*

) ,

∴ bn

? bn ?1 ?

?

a n ?1 ? 1 1 bn

?1

(n
? ?

? 2, n ? N

*

) .∴数列{ b n }是等差数列. ,∴ a n
?1? 1 n ? 3 .5

(2)依题意有 a n 函数 y
? 1 x ? 3 .5

?1?

,而 b n

5 2

? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 3 .5



在(3.5, ?? )上为减函数,在( ?? ,3.5)上也为减函数.
?1? 1 n ? 3 .5

故当 n=4 时, a n

取最大值 3,n=3 时,取最小值-1.

例 3 某个体户,一月初向银行贷款 1 万元作为开店启动资金,每月月底获得的利润 是该月月初投入资金的 20%,每月月底需要交纳所得税为该月利润的 10%,每月的生活费 开支为 540 元,余额作为资金全部投入下个月的经营,如此不断继续,问到这年年底该个 体户还贷款前尚余多少资金?若银行贷款的年利息为 5%,问该个体户还清银行贷款后还 有多少资金?(参考数据: 1.1810
? 5.23,1.18
11

? 6.18,1.18

12

? 7.29

.结果精确到 0.1 元)

解:设第 n 个月月底的余额为 a n 元,则 a 1

? 11260

, ,于是 =……= .

a n ? 1 ? a n ? (1 ? 20% ) ? a n ? 20% ? 10% ? 540 ? 1.18 a n ? 540
2

a12 ? 1.18 a11 ? 540 ? 1.18 ?1.18 a10 ? 540 ? ? 540 ? 1 .1 8 a1 0 ? ?1 .1 8 ? 1 ? ? 5 4 0
1 .1 8 a1 ? ?1 .1 8
11 10

? 1 .1 8 ? ? ? 1 .1 8 ? 1 ? ? 5 4 0
9

= 1 .1 8 1 1 ? 1 1 2 6 0 ?

1 .1 8

11

?1

1 .1 8 ? 1

? 5 4 0 ? 5 4 0 4 6 .8

还清银行贷款后剩余资金为 a12 ? 10000 ? ?1 ? 5% ? ? 54046.8 ? 10500 ? 43546.8 . 答:到这年年底该个体户还贷款前尚余资金 54046.8 元;还清银行贷款后还有资金
4 3 5 4 6 .8 元.

例 4 )已知点(1,

1 3

)是函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 )的图象上一点,等比
x

数列 { a n } 的前 n 项和为 f ( n ) ? c ,数列 { b n } ( b n ? 0 ) 的首项为 c , 且前 n 项和 S n 满足 S n -

2 -3

S n ?1 =

Sn +

S n ?1 ( n ? 2 ).

(1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; (2)若数列{
1 b n b n ?1 } 前 n 项和为 T n ,问 T n >

1000 2009

的最小正整数 n 是多少?

?1? 解(1) Q f ? 1 ? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

1

x

a1 ? f ? 1 ? ? c ?

1 3

? c , a 2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 2 27
4

2 9

,

a3 ? ? f ? 3 ? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ?
2

.

又数列 ? a n ? 成等比数列, a 1 ?

a2

? ?

a3

81 ? ? 2 ? 1 ? c ,所以 c ? 1 ; 2 3 3 27
n ?1

2?1? ? ,所以 a n ? ? ? ? 又公比 q ? a1 3 3?3?

a2

1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N

*



Q S n ? S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

??

Sn ?

S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

?n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? 数列

Sn ?

S n ?1 ? 1 ; S n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n , S n ? n
2

?

Sn

? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2 2

当 n ? 2 , b n ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ; (2) T n ?
1 b1 b 2 ? 1 b 2 b3 ? 1 b3 b 4 ?L ? 1 b n b n ?1

? b n ? 2 n ? 1 ( n ? N );
*

?

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5? 7

?K ?

1 ( 2 n ? 1) ? ? 2 n ? 1 ?

?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1



2 -4

由 Tn ?

n 2n ? 1

?

1000 2009

得n ?

1000 9
1 4

,满足 T n ?
1 4

1000 2009

的最小正整数为 112.
? 2 ? 3 lo g 1 a n ( n ? N *) ,
4

例 5 已知数列 ? a n ? 是首项为 数列 ? c n ? 满足 c n
? a n ? bn

,公比为

的等比数列,设 b n



(1)求数列 { c n } 的前 n 项和 Sn; (2)若 c n
? 1 4 1 n ? ( ) ( n ? N *) 4 m ? m ? 1对
2

一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. .

解: (1)由题意知, a n

1 n ? b n ? 3 lo g 1 a n ? 2 ? 3 n ? 2 ,? c n ? (3 n ? 2 ) ? ( ) , ( n ? N *) . 4 4 ? Sn ? 1? 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3 n ? 5) ? ? ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4 4 4



于是

1

1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3 n ? 5) ? ? ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) . 4 4 4 4 4 4

两式相减得:
3 4 Sn ? 1 4 2 3 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 1 n ?1 ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3 n ? 2 ) ? ( ) ? ? (3 n ? 2 ) ? ( ) . 4 4 4 4 2 4 ? 12n ? 8 3 1 n ?1 ? ( ) ( n ? N *) 4

? Sn ?

. , .

(2)? c n ? 1

1 n ?1 1 n 1 n ?1 ? c n ? (3 n ? 1) ? ( ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) ? 9 (1 ? n ) ? ( ) , ( n ? N *) 4 4 4 ? c1 ? 1 4 1 4

∴当 n=1 时, c 2

,当 n ? .

2 时 , c n ? 1 ? c n , 即 c1 ? c 2 ? c 3 ? c 4 ? ? ? c n

∴当 n=1 时, c n 取最大值是 又 cn
? 1 4
2

m ? m ? 1对 一 切 正 整 数 n 恒 成 立

,?

1 4

m ? m ?1?
2

1 4



即m2

? 4 m ? 5 ? 0 ,? m ? 1或 m ? ? 5 .

例 6 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
2 -5

……

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn} 的前 n 项和,且满足
2 bn bn S n ? S n
2

? 1 (n≥2) .

(1)证明数列 ?

? 1 ? ? ? Sn ?

成等差数列,并求数列 ? b n ? 的通项公式;

(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且 公比为同一个正数.当 a 8 1 解: (1)由已知,
? ? 4 91

时,求上表中第 k(k≥3)行所有项的和.
2 ? S n ? S n ?1 ?

2 bn bn S n ? S n
2

? 1 ,又 S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ,所以

?Sn

? S n ?1 ? S n ? S n

2

?1,



2 ? S n ? S n ?1 ? ? S n ?1 S n

? 1 ,所以

1 Sn

?

1 S n ?1

?

1 2

? n ? 2, n ? N ? .
*

又 S1 ∴
1 Sn

? 1 ? ? b1 ? a1 ? 1 ,所以数列 ? ? ? Sn ?

是首项为 1,公差为
2 n ?1
2 n ?1 ?

1 2

的等差数列.

? 1 ? ? n ? 1?

1 2

?

n ?1 2

,即 S n

?


2 n ? ? 2 n ( n ? 1)

所以, 当 n

? 2时 , bn ? S n ? S n ?1 ?



?1 ? ? bn ? ? 2 ? ? n ? n ? 1? ?

n ?1 n? 2



(2)设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 因为 1 ?
2 ? ? ? ? ? 12 ? 12 ? 13 2 ? 7 8,

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78
? b1 3 ? q ? ?
2

项,故 a81 在表中第 13 行第三列,因此 a 8 1 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, 则S
? b k (1 ? q )
k

4 91

. 又 b1 3 ? ?

2 13 ? 14

, 所以

q=2.

1? q

?

?2 k ( k ? 1)

?

(1 ? 2 )
k

1? 2

?

2 k ( k ? 1)

(1 ? 2 )
k

(k≥3) .

【新题备选】
2 -6

1. 在数列 ? a n ? , ? b n ? 是各项均为正数的等比数列,设 c n (1)数列 ? c n ? 是否为等比数列?证明你的结论;

?

bn an

(n ? N ) .
*

(2)设数列 ? ln a n ? , ? ln bn ? 的前 n 项和分别为 S n , T n .若 a1 列 ? c n ? 的前 n 项和. 解: (1) ? c n ? 是等比数列. 证明:设 ? a n ? 的公比为 q1 ( q1 则
c n ?1 cn ? bn ?1 a n ?1 ? an bn ? bn ?1 bn ? an a n ?1
? 0)

? 2



Sn Tn

?

n 2n ? 1

,求数

, ? b n ? 的公比为 q 2 ( q 2
? 0

? 0)



?

q2 q1

,故 ? c n ? 为等比数列.

(2)数列 ? ln a n ? , ? ln bn ? 分别是公差为 ln q1 和 ln q 2 的等差数列.
n ln a 1 ? n ln b1 ? n ( n ? 1) 2 n ( n ? 1) 2 ln q 1 ln q 2

由条件得

?

2 2n ? 1

,即

2 ln a1 ? ( n ? 1) ln q 1 2 ln b1 ? ( n ? 1) ln q 2

?

n 2n ? 1



故对 n

? 1,2
2

,…, .

(2 ln q1 ? ln q 2 ) n ? (4 ln a1 ? ln q1 ? 2 ln b1 ? ln q 2 ) n ? (2 ln a1 ? ln q1 ) ? 0

? 2 ln q 1 ? ln q 2 ? 0, ? 于是 ? 4 ln a1 ? ln q1 ? 2 ln b1 ? ln q 2 ? 0, a1 ? 2 将 ? ? 2 ln a 1 ? ln q 1 ? 0 .

代入得 q1

? 4

, q2

? 16

, b1

?8



从而有 c n ?

8 ?16 2?4

n ?1

n ?1

? 4

n

.所以数列 ? c n ? 的前 n 项和为 4 ?

4 ?… ? 4 ?
2 n

4 3

( 4 ? 1)
n



1 2. 等比数列{an}的首项为 a1=2002,公比 q=- .(Ⅰ)设 f(n)表示该数列的前 n 项的积, 2 求 f(n)的表达式;(Ⅱ)当 n 取何值时,f(n)有最大值. 1 1 n(n?1) 解:(Ⅰ)an=2002· )n?1,f(n)=2002n· ) 2 (- (- 2 2 |f(n+1)| 2002 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 = n ,则 |f(n)| 2 |f(n+1)| 2002 当 n≤10 时, = n >1,∴|f(11)|>|f(10)|>…>|f(1)|, |f(n)| 2 |f(n+1)| 2002 当 n≥11 时, = n <1,∴|f(11)|>|f(12)|>|f(13)|>…, |f(n)| 2
2 -7

∵f(11)<0,f(10)<0,f(9)>0,f(12)>0,∴f(n)的最大值为 f(9)或 f(12)中的最大者. 1 200212· )66 ( 2 f(12) 1 2002 ∵ = =20023· )30=( 10 )3>1, ( f(9) 2 2 9 1 36 2002 · ) ( 2 1 ∴当 n=12 时,f(n)有最大值为 f(12)=200212·( )66. 2 3.已知曲线 C n : x ? 2 n x ? y ? 0 ( n ? 1, 2, ? ) .从点 P ( ? 1, 0 ) 向曲线 C n 引斜率为
2 2

k n ( k n ? 0) 的切线 l n ,切点为 Pn ( x n , y n ) .

(1)求数列 { x n }与 { y n } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x 3 ? x 5 ? ? ? x 2 n ? 1 ?
1 ? xn 1 ? xn ? xn yn
2 2

2 sin

.

解 : ( 1 ) 设 直 线 l n : y ? k n ( x ? 1) , 联 立 x ? 2 nx ? y ? 0 得
(1 ? k n ) x ? ( 2 k n ? 2 n ) x ? k n ? 0
2 2 2 2

, 则 ? ? ( 2 k n ? 2 n ) ? 4 (1 ? k n ) k n ? 0 , ∴
2 2 2 2

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1
2 2

舍去)

.

xn ?
2

kn

2 2 n

1? k

?

n

( n ? 1)

,即 xn ?

n n ?1

, ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ?

n

2n ? 1 n ?1

( 2) 证 明 : ∵

1 ? xn 1 ? xn

1? ? 1?

n n ?1 ? n n ?1
2n ? 1 2n ? 1 3 ? 3 5 ? ???? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1 。

1 2n ? 1
.



x 1 ? x 3 ? x 5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 2

?

3 4

? ????

∴ x 1 ? x 3 ? x 5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn


2 sin x , f ( x ) ? 1 ? 则
'

由于

xn yn

?

1 2n ? 1

?

1 ? xn 1 ? xn

, 可令函数 f ( x ) ? x ?

2 cs o

x,

2 -8

' 令 f ( x ) ? 0 ,得 cos x ?

2 2


?
4

给定区间 ( 0 ,

?
4

) ,则有 f ( x ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( 0 ,
'

) 上单调递减。

∴ f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0 ,即 x ?
1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? 1 3

2 sin x 在 ( 0 ,

?
4

) 恒成立,

又0 ?

?

?

?
4


1 ? xn 1 ? xn

则有

2 sin

1 2n ? 1

,即

?

2 sin

xn yn

.

.

4.设数列 { a n } 的通项公式为 a n ? pn ? q ( n ? N , P ? 0) . 数列 {b n } 定义如下:对于正整 数 m, b m 是使得不等式 a n ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?
1 2 ,q ? ? 1 3

?

,求 b 3 ;

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ? 1 ,求数列 { b m } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 a n ? ∴
1 2 n? 1 3 1 2 n? 1 3
?

,解

1 2

n?

1 3

? 3 ,得 n ?

20 3

.

? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b 3 ? 7 .

(Ⅱ)由题意,得 a n ? 2 n ? 1 ,

对于正整数,由 a n ? m ,得 n ?
*

m ?1 2

.

根据 b m 的定义可知 当 m ? 2 k ? 1 时, b m ? k ? k ? N 当 m ? 2 k 时, b m ? k ? 1 ? k ? N
*

?;

?.

∴ b1 ? b 2 ? ? ? b 2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b 2 m ?1 ? ? ? b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 m ?
2 -9

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1 ? ? ? ? ?

m ? m ? 1? 2

?

m ?m ? 3? 2

? m ? 2m .
2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q p

.

∵ b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ,根据 b m 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有
3m ? 1 ? m?q p ? 3 m ? 2 ,即 ? 2 p ? q ? ? 3 p ? 1 ? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立.

?

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?
1 3

p?q 3p ?1

(或 m ? ?

2p?q 3p ?1

) ,

时,得 ?

2 3

?q ? 0? ?

1 3

? q ,解得 ?

2 3

? q ? ?

1 3 1 3

.
? , 2 3 ? q ? ? 1 3

? ∴ 存在 p 和 q, 使得 b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ; 和 q 的取值范围分别是 p ? p

.

2 -10

【专题训练】 一、填空题 1.已知等差数列 { a n } 中 a1
? 1 3 , a 2 ? a 5 ? 4, a n ? 3 3,

则 n 的值为

_ . 的值为 .

2.在等比数列 { a n } 中,它的前 n 项和是 S n , 当 S 3 3. 已知等差数列 ? a n ? 的首项是 的取值范围是__________. 4.数列{an}中,a1=2,a2=1,
2 an ? 1 a n ?1
? a11
2

? 3 a 3 时,则公比 q

1 25

, 且从第 10 项开始比 1 大, 则该等差数列的公差 d

?

1 a n ?1

( n ? N , n ? 2 ) ,则 an=
*



5.等差数列 { a n } 的公差 d ? 0 , 且 a12
n

,则数列 { a n } 的前 n 项和 S n 取得最大值时的

=

. 6. 某人为了购买商品房, 2001 年起, 从 每年 1 月 1 日到银行存入 a 元一年定期储蓄,

若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款及利息均自动转存为新的一年定期存款, 到 2008 年 1 月 1 日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税),则可取 回的钱的总数为 元.
?

7.已知数列 { a n } 满足: a 4 n ? 3 ? 1, a 4 n ?1 ? 0, a 2 n ? a n , n ? N , 则 a 2 0 0 9 ? ________;
a 2 0 1 4 =_________.

8. )已知 ? a n ? 为等差数列, a 1 + a 3 + a 5 =105, a 2 ? a 4 ? a 6 =99,以 S n 表示 ? a n ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 9.设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若
2 an ? 1
a2n an ?


4n ? 1 2n ? 1

,则

S 2n Sn

=



10 . 设 a 1 ? 2 , a n ? 1 ?
bn =

, bn ?

an ? 2 an ? 1

, n ? N , 则 数列 ? b n ? 的 通 项 公式
*

. 11 . 在 数 列 { a n } 中 , a n
? an bn ? c , 其 中 a ,b ,c

均 为 正 实 数 , 则 a n 与 a n ?1 的 大 小 关 系





2 -11

12. 数列 { a n } 中,a1
? 1 a n ?1 ? a n ?

? 4, a 2 ? 1 0 , {l g ( 3 a n1} )? 若o

为等差数列, 则

1 a 2 ? a1

?

1 a3 ? a2

? ?

____________________.
? 4, S n ? S n ? 1 ? 5 3 a n ? 1 ,则 a n ?
? S7 ? S5

13.数列 { a n } 满足 a1

. ,有下列四个命题:

14.已知 S n 是等差数列 { a n } ( n ? N ? ) 的前 n 项和,且 S 6 (1) d
?0

; (2) S 1 1

(3) S 1 2 ? 0 ? 0; .

; (4)数列 ? S n ? 中的最大项为 S 1 1 .其中正确

命题的序号是_____ 二、解答题

15.设 { a n } 是一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列,已知它的前 10 项和为 110 ,且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列. (1)求证: a1
? d



(2)求公差 d 的值和数列 { a n } 的通项公式.

16.设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和, S n ? kn ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
2
*

(I) 求 a 1 及 a n ; (II)若对于任意的 m ? N , a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

17.某企业进行技术改造需向银行贷款,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元, 第一年便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元, 第一年可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元;两种方案的使用期都是 10 年,到 期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案中, 哪种获利更多?(取 1.0510
? 1.629,1.3
10

? 13.786,1.5

10

? 57.665



2 -12

18.已知 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 S n , S 4 (1)求公差 d 的值; (2)若 a1
? ? 5 2

? 2 S 2 ? 4 , bn ?

1 ? an an



,求数列 ? b n ? 中的最大项和最小项的值;
? b8 成立,求 a 1 的取值范围.

(3)若对任意的 n ? N * ,都有 bn

19.数列 { a n } 的通项 a n ? n (co s
2

2

n? 3

? sin

2

n? 3

) ,其前 n 项和为 S n .

(1) 求 S n ; (2) b n ?
S 3n n?4
n

, 求数列{ b n }的前 n 项和 T n .

20. 已知二次函数

f ( x) ? x ? ax ? a ( x ? R )
2

同时满足以下两个条件: ①不等式 f ( x ) ? 0 的
x1 ? x 2

解集有且只有一个元素;②在定义域内存在 0 ? 数列 { a n } 的前 n 项和 S n
? f (n)

,使得不等式

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立.设



(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求数列 { a n } 的通项公式; (3)设 b n
1 2

? (

3 3

)

an ? 5

, cn ?

1 1 ? 3bn ?1

?

1 1 ? 3bn ? 2

(n ? N )
*

,数列{ c n } 的前 n 项和为 T n ,

求证: T n

?



2 -13

【专题训练参考答案】 1.50 7.1,0 2. 1或 1 2

3. ?

? 8

3 ? 75 25 ? ? ? ,

4.

2 n

5.5 或 6
n ?1

6.

a [(1 ? p ) ? (1 ? p )]
8

p

8.20
1 4

9.4
1 3
n

10. b n ? 4 ? 2
? 4, n ? 1 ?3 ? 4
n ?1

?2

n ?1

11. a n

? a n ?1

12.

(1 ?

)

13. ?

,n ? 2

14.(1) (2)

15.解: (1)因 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,故 a 2 2 ? a1 a 4 . 又 { a n } 是等差数列,于是 ( a1 ? d ) 2 ? a1 ( a1 ? 3 d ), (2) S 1 0 ∴ an
? 1 0 a1 ? 10 ? 9 2 d ? 1 1 0,

即 a1 d ? d 2 ,又 d

?0

,∴ a1
?2

? d



∴ a1

?

9 2

d ? 1 1 . 由(1) a1 ? d ,

代入上式得 d
*



? a1 ? ( n ? 1) d ? 2 n . 因此,数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n , n ? N .

16 解(Ⅰ)当 n ? 1, a 1 ? S 1 ? k ? 1 ,
n ? 2 , a n ? S n ? S n ?1 ? kn
2

? n ? [ k ( n ? 1) ? ( n ? 1)] ? 2 kn ? k ? 1 ( ? )
2

经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? a n ? 2 kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,? a 2 m ? a m .a 4 m , 即 ( 4 km ? k ? 1) ? ( 2 km ? k ? 1)( 8 km ? k ? 1) ,整理得: mk ( k ? 1) ? 0 ,对任意的
2

m ? N ? 成立,

? k ? 0或 k ? 1 .
? ? ? (1 ? 3 0 % ) ?
9

17. 解: ①甲方案获利:1 ? (1 ? 3 0 % ) ? (1 ? 3 0 % ) 2 银行贷款本息:10(1 ? 5% )10

1 .3

10

?1

? 4 2 .6 3(万元) ,

0 .3

? 16.29 (万元) ,故甲方案纯利:42.63 ? 16.29 ? 26.34 (万元) .
2 ? 0 .5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0 .5) ? 1 0 ? 1 ? 10 ? 9 2 ? 0 .5

②乙方案获利: 1 ? (1 ? 0 .5) ? (1 ?
? 32.50
? 1 .0 5 ?

(万元) ,银行本息和: 1.05 ? [1 ? (1 ? 5% ) ? (1 ? 5% ) 2
1 .0 5
10

? ? ? (1 ? 5% ) ]
9

?1

? 1 3 .2 1 (万元) ,故乙方案纯利: 32.50 ? 13.21 ? 19.29

(万元) .

0 .0 5

综上可知,甲方案更好. 18.解: (1)∵ S 4
? 2S2 ? 4

,∴ 4 a1

?

3? 4 2

d ? 2 ( 2 a1 ? d ) ? 4

,解得 d

?1.

2 -14

(2)∵ a1 ∴ bn ? 1 ?

? ?

5 2

,∴数列 ? a n ? 的通项公式为 a n
1 n? 1 x? 7 2 7 2

? a1 ? ( n ? 1) ? n ?

7 2



1 an

?1?



∵函数 f ( x ) ? 1 ?

在 ? ?? ,
?

?

7? ? 2?

和?

?7 ?2

? , ?? ? ?

上分别是单调减函数,

∴ b3

? b 2 ? b1 ? 1 ,又当 n ? 4

时, 1 ?
?3

bn ? b4 . ? ?1 .

∴数列 ? b n ? 中的最大项是 b 4 (3)由 b n
?1? 1 an

,最小项是 b3
1

得 bn ? 1 ?
1

n ? a1 ? 1



又函数 f ( x ) ? 1 ? 且x

x ? a1 ? 1

在 ? ? ? ,1 ? a1 ? 和 ?1 ? a1 , ? ? ? 上分别是单调减函数,

? 1 ? a1 时, y ? 1 ; x ? 1 ? a1 时, y ? 1 . ? b8 ,∴ 7 ? 1 ? a1 ? 8 ,∴ ? 7 ? a1 ? ? 6

∵对任意的 n ? N * ,都有 bn



∴ a 1 的取值范围是 ( ? 7 , ? 6 ) . 19.解:(1) 由于 co s
2

n? 3

? sin

2

n? 3

? co s

2 n? 3

,故

S 3 k ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ) ? ( a 4 ? a 5 ? a 6 ) ? ? ? ( a 3 k ? 2 ? a 3 k ?1 ? a 3 k ) ? (? 1 ?2
2 2

? 3 ) ? (?
2

4 ?5
2

2

? 6 ) ? ? ? (?
2

(3 k ? 2 ) ? (3 k ? 1)
2

2

? (3 k ) ))
2

2

2

2

?

13 2

?

31 2

?? ?

18k ? 5

?

k (9 k ? 4 ) 2 ,

,

S 3 k ?1 ? S 3 k ? a 3 k ?

2 k (4 ? 9 k ) 2

S 3 k ? 2 ? S 3 k ?1 ? a 3 k ?1 ?

k (4 ? 9k ) 2

?

(3 k ? 1) 2

2

?

1 2

?k ? ?

3k ? 2 3

?

1 6

,

2 -15



n 1 ? ? ? , ? 3 6 ? ? ( n ? 1)(1 ? 3 n ) Sn ? ? , 6 ? ? n (3 n ? 4 ) , ? 6 ?

n ? 3k ? 2 n ? 3k ? 1 n ? 3k

(k ? N )
*

(2)
bn ? S 3n n?4
n

?

9n ? 4 2?4
n

, Tn ?

1 13 22 9n ? 4 1 22 9n ? 4 [ ? 2 ?? ? ], 4 T n ? [1 3 ? ?? ? ], n n ?1 2 4 4 4 2 4 4

两式相减得
9 3T n ? 1 2 [1 3 ? 9 4 ?? ? 4 9
n ?1

?

9n ? 4 4
n

]?

1 2

?

9 4 1 4
n

[1 3 ? 4 1?

?

9n ? 4 4
n

]?8? 2

1
2n?3

?

9n 2
2 n ?1

,



Tn ?

8 3

?

1 3?2
2 n?3

?

3n 2
2 n ?1

.

20.解: (1)? f ( x ) ? 0 的解集有且只有一个元素,? ? ? a 2 ? 4 a ? 0 ? a ? 0 或 a ? 4 . 当 a=4 时,函数 f ( x ) ? x2 ? 4 x ? 4在 ( 0 , 2 )上递减,故存在 0 ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立;当 x1 ? x 2

,使得不等式
x1 ? x 2

a=0 时,函数 f ( x ) ? x 2 在 (0, ? ? ) 上递增,故不存在 0 ? a=4, f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 4 .
? s1 ? 1 ,
2

,使得

不等式

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立.综上,得

(2)由(1)可知 S n ? n 2 ? 4 n ? 4 ,当 n=1 时, a1 当n
? 2

时, a n

? S n ? S n ? 1 ? ( n ? 4 n ? 4) ? [( n ? 1) ? 4( n ? 1) ? 4] ? 2 n ? 5
2



? a n ? S n ? S n ?1

n ?1 ?1, ? ? ? 2 n ? 5,

n? 2

. (3)? b n

? (

3 3

)

an ? 5

? 1 ? 27 , n ? 1 ? ? ? , ?(1 )n , n ? 2 ? 3 ?

? Cn ?

1 1? ( ) 3 1
n

?

1 1? ( ) 3
1

1

?
n ?1

3
n

n

3 ?1

? 3

3

n ?1

n ?1

?1

?

1 3 ?1
n

? 3

1
n ?1

?1



? Tn ? (

1 3 ?1

?

3 ?1
2

)? (

1 3 ?1
2

?

1 3 ?1
3

)?

…+ (

1 3 ?1
n

? 3

1
n ?1

?1

)

=

1 2

? 3

1
n ?1

?1

?

1 2



2 -16


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