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高中数学人教A版选修1-1课件:1.1.1 命题_图文

1.1 命题及其关系

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1.1.1 命题

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1.掌握命题的定义并会判断一些语句是不是命题以及命题的真假. 2.认识命题的结构,能把命题写成“若p,则q”的形式.

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1.一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断 真假的陈述句叫做命题.

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2.命题中,判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命 题. 【做一做2】 下列命题是真命题的是( ) A.所有质数都是奇数 B.若a>b,则a-6>b-6成立 C.对任意的x∈N,都有x3>x2成立 D.方程x2+x+1=0有实根 解析:选项A错,因为2是偶数也是质数;选项C错,因为当x=0 时,x3>x2不成立;选项D错,因为Δ=12-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0无 实根. 答案:B
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3.在数学中,“若p,则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论. 【做一做3】 把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改 写成“若p,则q”的形式为 . 答案:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线互相平行

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归纳总结命题既可用语言表达,又可用符号或式子表达,而且,命题 一定是陈述句,同时还一定能够判断真假.疑问句、祈使句、感叹 句以及无法判断真假的陈述句都不是命题.

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1.判断一个语句是不是命题的方法 剖析:判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“是陈述句” 和“可以判断真假”这两个条件,只有同时满足这两个条件才是命题. 如“这是一棵大树”就不是命题,因为“大树”没有界定标准,所以不能 判断“这是一棵大树”的真假;“3x≥7”也不是命题,因为x是未知数, 所以不能判断“3x≥7”是真还是假.但是,语句“每一个不小于6的偶 数都是两个奇素数之和”可以算为命题,这是因为尽管目前我们还 不能确定其真假,但随着科技的发展和时间的推移,总能判定它的 真假.

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2.对命题构成形式“若p,则q”的两点说明 剖析:(1)任何命题都有条件和结论,数学中,一些命题表面上看不 具有“若p,则q”的形式,如“对顶角相等”,但是适当改变叙述方式,就 可以写成“若p,则q”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角 相等”.这样,命题的条件和结论就十分清楚了. (2)一般地,在命题中,已知的事项为“条件”,由已知推出的事项为 “结论”.

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反思判断一个语句是不是命题,一般要把握住两点:(1)看其是不是 陈述句,(2)能否判断真假.两者同时成立才是命题.注意不要把假命 题误认为不是命题.

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【变式训练1】 判断下列语句是不是命题,并说明理由: (1)三角函数是周期函数吗? (2)一个数不是正数就是负数; (3)老师写的粉笔字真漂亮! (4)若x∈R,则x2+4x+5>0; (5)作△ABD≌△A1B1C1.

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解:(1)不是命题.这是个疑问句,没有对三角函数是不是周期函数 作出判断,故不是命题. (2)是命题,因为数0既不是正数,也不是负数,所以它是假的,是可 以判断真假的陈述句,故是命题. (3)不是命题.该语句是感叹句,不符合命题的定义,所以不是命题. (4)是命题,因为x2+4x+5=0中的Δ=16-20=-4<0,所以x2+4x+5>0是 真的,是可以判断真假的陈述句,故是命题. (5)不是命题.该语句是祈使句,不是命题.

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判断命题的真假 【例2】 判断下列命题的真假: (1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,且b≠d,则a+b≠c+d; (2)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根; (3)空集是任何集合的真子集; (4)相等的角是对顶角.

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解:(1)假命题.反例:1≠4,且5≠2,而1+5=4+2. (2)真命题.m>1?Δ=4-4m<0?方程x2-2x+m=0无实数根. (3)假命题.空集是任何非空集合的真子集. (4)假命题.反例:两条平行线被第三条直线所截形成的同位角是 相等的角,但同位角不是对顶角.

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反思要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据; 而要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.

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将命题改写成“若p,则q”的形式 【例3】 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假: (1)当a>b时,ac>bc; (2)在同一平面中,平行于同一条直线的两条直线互相平行; (3)同弧所对的圆周角不相等. 解:(1)若a>b,则ac>bc.假命题. (2)在同一平面中,若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线 互相平行.真命题. (3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.

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反思把命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式,其中p为命 题的条件,q为命题的结论,要注意条件及结论的完整性,将条件写在 前面,结论写在后面.“若p,则q”是原来命题的另一种叙述形式,它的 真假性等同于原来的命题. 不要认为假命题没有条件和结论,对于一个命题,无论是真命题 还是假命题,它必须由条件和结论两个部分组成,只是有些命题的 条件或结论不十分明显.

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【变式训练3】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假: (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 解:(1)若一个数是实数,则它的平方是非负数.真命题. (2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形.假命 题. (3)若一个点是一个角的平分线上的点,则该点到这个角的两边的距 离相等.真命题.

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易错辨析 易错点 混淆大前提与命题的条件而致错 【例4】 把下面的命题写成“若p,则q”的形式,并判断真假. 已知a>b,当c>0时,ac>bc. 错解:该命题“若p,则q”的形式为:若a>b,c>0,则ac>bc.该命题是真 命题. 错因分析:在写“若p,则q”形式时,a>b不能作为条件,而是大前提. 若一个命题有大前提,则在改写为“若p,则q”的形式时,仍作为大前 提,不能写在条件中. 正解:该命题“若p,则q”的形式为:已知a>b,若c>0,则ac>bc.该命题 是真命题.
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