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直线与平面平行的判定教学案例设计汇编


直线与平面平行的判定教学案例及设计 一、教学内容分析: 本节教材选自人教 A 版数学必修②第二章第一节课, 本节内容在立几学习中起着承上启下 的作用,具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为 学习的出发点,结合有关的实物模型,通过直观感知、操作确认(合情推理,不要求证明)归 纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要 作用,特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 二、学生学习情况分析: 任教的学生在年段属中上程度,学生学习兴趣较高,但学习立几所具备的语言表达及空间感 与空间想象能力相对不足,学习方面有一定困难。 三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则,适当运用多媒体辅助教学手段,借助实物模型,通 过直观感知,操作确认,合情推理,归纳出直线与平面平行的判定定理,将合情推理与演绎 推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中,揭示直线与平面平行的 判定、理解数学的概念,领会数学的思想方法,养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习 方式,发展学生的空间观念和空间想象力,提高学生的数学逻辑思维能力。 四、教学目标 通过直观感知--观察--操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理,掌握直 线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、 探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习,在 自主合作、交流中学习,体验学习的乐趣,增强自信心,树立积极的学习态度,提高学习的 自我效能感。 五、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解,难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻 辑思维能力的培养。 六、教学过程设计 (一)知识准备、新课引入 提问 1:根据公共点的情况,空间中直线 a 和平面 有哪几种位置关系?并完成下表:(多媒 体幻灯片演示) 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统 称为直线在平面外,注意符号表示。 提问 2:根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗?谈 谈你的看法,并指出是否有别的判定途径。 [设计意图:通过提问,学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题,并为探寻直 线与平面平行判定定理作好准备。] (二)判定定理的探求过程 1、直观感知 提问:根据同学们日常生活的观察,你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗? 生 1:例举日光灯与天花板,树立的电线杆与墙面。 生 2:门转动到离开门框的任何位置时,门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教 室门前作演示),然后教师用多媒体动画演示。 [学情预设: 此处的预设与生成应当是很自然的, 但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与 墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]

2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动, 观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉,而当把直角腰放在桌面上并转动,观察另一边 与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台,则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙 面平行,如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行,如老师向左、右倾斜, 则感觉老师(视为线)与前、 后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形 的演示)。 [设计意图: 设置这样动手实践的情境, 是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素 是什么,使学生学在情境中,思在情理中,感悟在内心中,学自己身边的数学,领悟空间观 念与空间图形性质。] 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过 观察感知发现直线与平面平行, 关键是三个要素: ①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③ 这两条直线平行 (2)如果平面外的直线 a 与平面内的一条直线 b 平行,那么直线 a 与平面平行吗? 4、归纳确认: (多媒体幻灯片演示) 直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线和这个 平面平行。 简单概括: (内外)线线平行互相推出线面平行 注意符号表示: 温馨提示: 作用:判定或证明线面平行。 关键:在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。 思想:空间问题转化为平面问题 (三)定理运用,问题探究(多媒体幻灯片演示) 1、想一想: (1)判断下列命题的真假?说明理由: ①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与平面平行( ) ②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行( ) ③一直线上有二个点到平面的距离相等,则这条直线与平面平行( ) (2)若一条直线与平面内无数条直线平行,则直线与平面的位置关系是( ) A、直线和平面平行 B、直线在平面内 C、直线和平面相交 D、直线和平面内或直线和平面平行 [学情预设:设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性,同时预设(1)中的③学生可 能认为正确的,这样就无法达到老师的预设与生成的目的,这时教师要引导学生思考,让学 生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊毛针与泡沫板进行演示,让羊毛针穿 过泡沫板以举不平行的反例,如果有的学生空间想象力强,能按老师的要求生成正确的结果 则就由个别学生进行演示。] 2、作一作: 设 a、b 是二异面直线,则过 a、b 外一点 p 且与 a、b 都平行的平面存在吗?若存在请画出平 面,不存在说明理由? 先由学生讨论交流,教师提问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示 平面的形成过程,最后借多媒体展示作图的动画过程。 [设计意图:这是一道动手操作的问题,不仅是为了拓展加深对定理的认识,更重要的是培养

学生空间感与思维的严谨性。] 3、证一证: 例 1(见课本 60 页例 1):已知空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,求证:EF || 平面 BCD。 变式一:空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 中点,连结 EF、FG、GH、 HE、AC、BD 请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。(共 6 组线面平行) [设计意图:设计二个变式训练,目的是通过问题探究、讨论,思辨,及时巩固定理,运用 定理,培养学生的识图能力与逻辑推理能力。] 例 2:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC 与 C1D1 中点,求证:EF || 平 面 BDD1B1 分析:根据判定定理必须在平面 BDD1B1 内找(作)一条线与 EF 平行,联想到中点问题找 中点解决的方法,可以取 BD 或 B1D1 中点而证之。 思路一:取 BD 中点 G 连 D1G、EG,可证 D1GEF 为平行四边形。 思路二:取 D1B1 中点 H 连 HB、HF,可证 HFEB 为平行四边形。 [知识链接: 根据空间问题平面化的思想, 因此把找空间平行直线问题转化为找平行四边形或 三角形中位线问题,这样就自然想到了找中点。平行问题找中点解决是个好途径好方法。这 种思想方法是解决立几论证平行问题,培养逻辑思维能力的重要思想方法] 4、练一练: 练习 1:见课本 6 页练习 1、2 练习 2:将两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 拼在一起,设 M、N 分别为 AC、BF 中点,求证: MN || 平面 BCE。 变式:若将练习 2 中 M、N 改为 AC、BF 分点且 AM = FN,试问结论仍成立吗?试证之。 [设计意图:设计这组练习,目的是为了巩固与深化定理的运用,特别是通过练习 2 及其变式 的训练,让学生能在复杂的图形中去识图,去寻找分析问题、解决问题的途径与方法,以达 到逐步培养空间感与逻辑思维能力。] (四)总结 先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示) : 1、线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与这个平面 平行。 2、定理的符号表示: 简述: (内外)线线平行则线面平行 3、定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行,途径有:取中点利用平行四边形或 三角形中位线性质等。 七、成功之处 本节"直线与平面平行的判定"是学生学习空间位置关系的判定与性质的第一节课,也是学生 开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法,因此本节课学习对发展学生的空间观念和逻辑 思维能力是非常重要的。 本节课的设计遵循"直观感知--操作确认--思辩论证"的认识过程,注重引导学生通过观察、 操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动,从多角度认识直线和平面平行的判定方法, 让学生通过自主探索、合作交流,进一步认识和掌握空间图形的性质,积累数学活动的经验, 发展合情推理、发展空间观念与推理能力。 本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言,加强各种语言的 互译。比如上课开始时的复习引入,让学生用三种语言的表达,动手实践、定理探求过程以 及定理描述也注重三种语言的表达,对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

本节课对定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先,感知在先,学自己身边的数学, 感知生活中包涵的数学现象与数学原理,体验数学即生活的道理,比如让学生举生活中能感 知线面平行的例子,学生会举出日光灯与天花板,电线杆与墙面,转动的门等等,同时老师 的举例也很贴进生活,如老师直立时与四周墙面平行,而向前、向后倾斜则只与左右墙面平 行,而向左、右倾斜则与前后黑板面平行。然后引导学生从中抽象概括出定理。 本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证、练一练等环节,能从易到难,由浅入 深地强化对定理的认识,特别是对"证一证"中采用一题多解,一题多变的变式教学,有利于 培养学生思维的广阔性与深刻性。 本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用,在复习引入,定理的探求以及定理的运 用等过程中,都有效地使用了多媒体。


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