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安徽省马鞍山市二中2015-2016学年高二下学期入学考试数学(理)试卷


马鞍山二中 2015-2016 高二第一学期末考试数学试卷
1.下列说法中正确的是
2 A.命题” ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否命题为” ?x0 ? R.x0 ? x0 ? 0 ”

(

)

2

B.” p ? q 为真”是” p ? q 为真”的必要不充分条件 C.”若 am ? bm , 则 a ? b ”否命题为假
2 2

D.若实数 x, y ? [ ?1,1], 则 x ? y ? 1 的概率为
2 2

?
4

.

2.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 ( a 2 b2
B. 3 C. 2 D.

)

A.2

3.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 D 是 CC1 的中点,F 是 A1 B 的中点,且 DF ? ? AB ? ? AC

????

3 2

??? ?

????
)

1 , ? ? ?1 2 1 C. ? ? 1, ? ? ? 2
A. ? ?

1 ,? ?1 2 1 D. ? ? ?1, ? ? 2
B. ? ? ? )

A1 B1
F A B

(

C1

D C

4.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 ( A.

1 2

B.1

C.2

D.3

5.已知 a, b 表示两条不同直线, ? , ? 表示两个不重合的平面,则给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , a ? ? , b ? ? , 则 a ? b . ③若 ? ? ? , a ? ? ,则 a ? ? . 其中正确的个数为 A.1 B.2
2 2 2 2

②若 a ? b , a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ? . ④若 a ? ? , a ? ? ,则 ? ? ? . ( C.3 D.4 )

6.两圆 x ? y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 3 x ? 9 y ? 2 ? 0 的公共弦长为

(

)

A.

3 10 10

B.

3 10 5

C.

10 5

D.1 )

7.在 ?ABC 中,若 ?C ? 90?, A(1, 2, ?3k ), B( ?2,1, 0), C (4, 0, ?2k ) ,则 k 的值为 ( A. 10 B. ? 10 C. 2 5 D. ? 10

1

8.已知函数 f ( x) ? log a | x | 在 (0, ??) 上单调递增,则 A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

(

)

9若

cos 2? 2 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 ?? 7? 2 sin(? ? ) 4
2 2
B. ?

(

)

A. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2
( )

10. " a ? 3" 是”直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 和直线 3 x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行”的 A.充分不必要条件, C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,

11. 11 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长

为 1 的正方形,在由所给该几何体的俯视图构成 的几何体中,表面积最大的是 ( )

2 12.设抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,点 M 在抛物线上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的

圆过点 (0, 2) ,则抛物线的方程为 A. y ? 4 x 或 y ? 8 x
2 2

( B. y ? 2 x 或 y ? 8 x
2 2

)

C. y ? 4 x 或 y ? 16 x
2 2

D. y ? 2 x 或 y ? 16 x
2 2

13.已知正三角形 ABC 的边长为 a ,若建立如图所示的 直角坐标系,则直观图的面积为 . 14.若直线 y ? kx ? 3 与直线 y ?

Y B

1 x ? 5 的交点在第一 k
A D O C X C

象限,则 k 的取值范围是 . 15.如图所示,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面所成的二面角为 60? ,则异面直线 AD 与 BF 所成的角的余弦值是 .

A F E

B
2

x2 y 2 2 16.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的 a b 2
直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 AF ? 3FB ,则 k ?

????

??? ?

.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤) 17.(10 分)已知正三棱台 ABC-A1B1C1 的上,下底面边长分别为 3cm 和 6cm,高为 3/2cm 正三 棱台的表面积和体积. A1 O1 B1 A O B C C1

18.(12)分已知命题 p :不等式 | x ? 1|? m ? 1 的解集为 R,

命题 q : f ( x) ? ?(5 ? 2m) 在 R
x

上是减函数.若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

19.(12 分)已知圆 M 经过 A(1, ?2), B ( ?1, 0) 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2, (1)求圆 M 的方程; (2)若 P (2, ) 为圆内一点,求过点 P 被圆 M 截得的弦长最短时的直线 l 的方程,

1 2

20.(12 分)已知劝点 F ( x, y ) 与两定点 M (?1, 0), N (1, 0) 连线的斜率之积等于常数 ? (? ? 0) . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 试根据 ? 的取值情况讨论轨迹 C 的形状.

3

21.(12

分 ) 如 图 , 已 知 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 平 面 A1 ACC1 ? 平 面

ABC, ? ABC ? 90?, BC ? 2, AC ? 2 3 ,且 AA1 ? A1C , AA1 ? A1C ,求侧面 A1 ABB1 与底面

ABC 所成锐二面角的大小.
A1 B1 C

A B

C

22.(12 分)已知点 A(0, ?2) ,椭圆 E:

x2 y 2 3 ,F 是椭圆 E 的右焦 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

点,直线 AF 的斜率为 (1)求椭圆 E 的方程;

2 3 ,O 为坐标原点. 3

(2)设过点 A 的动直线与椭圆 E 相交于 P,Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求直线 l 的方程.

4

高二第二学期开学考试数学试卷答案
一. 选择题: 1.C. 2.C. 3.A. 4.D. 5.A 6.B. 二.选择题: 13.

7.D.

8.B.

9.C. 10..C. 11.A

12.C

6 2 2 . 16..1 a . 14.0<K<1. 15. 16 4

三.解答题: 17.解:面积

99 3 2 cm , 4

(7 分)

体积

63 3 3 cm 8

(10 分)

没有单位扣一分 18.解:由 | x ? 1|? m ? 1 的解集为 R,知 m ? 1 ? 0,? m ? 1
x

(4 分) (4 分) (11 分) (12 分)

由 q : f ( x) ? ?(5 ? 2m) 在 R 上是减函数,知 5 ? 2m ? 1,? m ? 2 由题意 p, q 一真一假,若 p 真 q 假, m 不存在.若 p 假 q 真, 1 ? m ? 2 综上所述, m 的取值范围为 [1, 2) 19.解;(1)设 M: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

令 y ? 0 ,得 x 2 ? Dx ? F ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? D 令 x ? 0 ,得 y ? Ey ? F ? 0 ,则 y1 ? y2 ? ? E
2

? D ? E ? ?2
A,B 代入,得

(3 分

?1 ? 4 ? D ? 2 E ? 5 ? 0 ,得 D ? ?2, E ? 0, F ? ?3 ? ?? D ? F ? 1 ? 0
圆 M: x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

(6 分)

(2)设 l 的斜率为 k ,由(1) l 过 P 且与 P 的圆的半径垂直时,弦长最短

kMP

1 ?0 1 ?2 ? .所以 k ? ?2 2 ?1 2

(10 分)

5

?l : y ?

1 ? ?2( x ? 2) ,即 4 x ? 2 y ? 9 ? 0 2

(12 分)

20,解.(1)由题意 k PM , k PN 存在且不为零, 由 k PM ?k PN ?

y2 y y ? 1(? ? 0, x ? ?1) ? ? ? ,得 x 2 ? ? x ?1 x ?1

即为动点 P 的轨迹 C 的方程; (6 分) (2)①当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点.焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点); ②当 ?1 ? ? ? 0 时, 轨迹 C 为中心在原点.焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴上的两个端点); ③当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为以原点为圆心 1 为半径的圆(除去点 (?1, 0), (1, 0) ); ④当 ? ? ?1 时, 轨迹 C 为中心在原点.焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴上的两个端点); (12 分)

21.解:过点 A1 作 A1O⊥AC,由题意 O 为 AC 的中点,过点 O 作 OD⊥AC 交 AB 于 D

? ,平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC,? A1O ? 平面 ABC,
以 O 为原点,OD,OC,OA1 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示的直角坐标系 则 A(0, ? 3, 0), B(

(3 分)

z A1 B1 C1

2 6 3 , , 0), A1 (0, 0, 3) 3 3
A (6 分) X D B O

??? ? 2 6 4 3 ???? AB ? ( , , 0), AA1 ? (0, 3, 3) 3 3

C y

?? ,由题意平面 ABC 的一个法向量为 m ? (0, 0, 3)
设,平面 A1 ABB1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由

?

? ??? ? ?2 6 4 3 ? ? x? y?0 ?n?AB ? 0 ? ,? 3 ,令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1, n ? ( 2, ?1,1) ? 3 ? ? ???? ? ?n?AA ? 0 ? 3 y ? 3 z ? 0 ?
设平面 A1ABB1 与平面 ABC 所成锐二面角为 ? ,

?? ? | m?n | 1 则 cos ? ? ?? ? ? ,?? ? 60? | m || n | 2

(11 分) (12 分)

所以平面 A1ABB1 与平面 ABC 所成锐二面角为 60?

6

22.解(1)设 F (c, 0) ,

2 2 3 c 3 ,解得 c ? 3 ,又 ? ,? a ? 2, b ? 1 ? c 3 a 2
(4 分)

椭圆 E:

x2 ? y2 ? 1 4

(2)当 l ? x 轴时,不合题意,设 l : y ? kx ? 2, P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 由?

? y ? kx ? 2 ?x ? 4 y ? 4
2 2
2

,得 (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0
2 2

当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k 2 ? 从而 | PQ |? 1 ? k
2

3 16k 12 时. x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

(6 分)

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (

16k 2 12 ) ? 4? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

?

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 1
2 1? k 2
(9 分)

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

所以 ?OPQ 的面积 S ?
2 设 4k ? 3 ? t , 则 t ? 0

1 4 4k 2 ? 3 d? | PQ |? , 2 4k 2 ? 1

S?

7 4t 4 4 时,等号成立,且 ? ? 0 ? ? ? 1 ,当且仅当 t ? 2, 即 k ? ? 2 t ?4 t? 4 4 t
2

此时 l : y ?

7 7 x ? 2, y ? ? x?2 2 2

(12 分)

7


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