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www976gacom:2013年西城区高三上学期期末数学文科

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学大教育北分东直门校区测试题系列

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷

高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 1} , B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0},则 A ? B ? ( (A) (0, ) (C) (??, ?1) ? (0, ) 2.复数 )

1 2

(B) ( ,1)

1 2

1 2

(D) ( ??, ?1) ? ( ,1)

1 2

5i ?( 2?i

) (B) ?1 ? 2i (C) ?1 ? 2i ) (D) 1 ? 2i

(A) 1 ? 2i

3.执行如图所示的程序框图,则输出 S ? ( (A) 2 (B) 6 (C) 15 (D) 31 4.函数 f ( x) ? (A) 0

1 ? ln x 的零点个数为( x
(B) 1

) (C) 2 ) (D) 3

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是( (A) 5 3 (B) 2 3

(C)

5 3 3

(D)

2 3 3

2 2 6.过点 M (2,0) 作圆 x ? y ? 1的两条切线 MA , MB ( A , B 为切点 ) ,则 MA ? MB ? (

???? ????



1

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(A)

5 3 2

(B)

5 2

(C)

3 3 2

(D)

3 2


7.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn .则“ | q | ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

2 ”是“ S6 ? 7S2 ”的(

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f (x ? c ) ? f (x ?c ) ,则称函数

f ( x) 具有性质 P .给定下列三个函数:
① f ( x) ? | x | ; ② f ( x) ? sin x ; ) (C)①② 共 110 分) (D)②③ ③ f ( x) ? x ? x .
3

其中,具有性质 P 的函数的序号是( (A)① (B)③

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知向量 a ? (1,3) , b ? (m , 2m ? 1) .若向量 a 与 b 共线,则实数 m ? ______. 10.平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的中点.若在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M , 则点 M 取自△ ABE 内部的概率为______. 11.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为______;离心率为______. 36 45

12.若函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0, 是奇函数,则 g (?8) ? ______. g ( x), x ? 0 ?
π π ? ) ,其中 x ? [? , a ] .当 a ? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 6 3 2

13.已知函数 f ( x) ? sin( x ? 的值域是 [ ?

1 ,1] ,则 a 的取值范围是______. 2

2 14.设函数 f ( x) ? x ? 6x ? 5 ,集合 A ? {(a, b) | f (a) ? f (b) ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ? 0} .在直角

坐标系 aOb 中,集合 A 所表示的区域的面积为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos 2 B ? cos B ? 0 .

2

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(Ⅰ )求角 B 的值; (Ⅱ )若 b ?

7 , a ? c ? 5 ,求△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) 为了解学生的身体状况, 某校随机抽取了一批学生测量体重. 经统计, 这批学生的体重数据 (单

50) 55) 位:千克)全部介于 45 至 70 之间.将数据分成以下 5 组:第 1 组 [ 45, ,第 2 组 [50, ,第 3
70] 60) 65) 组 [55, ,第 4 组 [60, ,第 5 组 [65, ,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽
样的方法,从第 3,4,5 组中随机抽取 6 名学生做初检. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检,求这 2 名学生不在同一组的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ? 2 , M , N 分别 为 AC , B1C1 的中点. (Ⅰ )求线段 MN 的长; (Ⅱ )求证: MN // 平面 ABB A1 ; 1 (Ⅲ)线段 CC1 上是否存在点 Q ,使 A1B ? 平面 MNQ ?说明理由.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ)若 x ? ?1 是 f (x) 的一个极值点,求 b 的值;

3

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(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 如图,A ,B 是椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 平行于 AB ,与 x, y 轴分别交于点 M , N ,与椭圆相交于 C , D .证明:△ OCM 的 面积等于△ ODN 的面积.

1 x2 y 2 直线 AB 的斜率为 ? . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点.| AB | ? 5 , 2 2 a b

20. (本小题满分 13 分) 如图, A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列的数表, 设 其中 aij (i, j ? 1, 2,3, ?, n) 表示位于第 i 行 第 j 列的实数,且 aij ?{1, ?1} .记 S ( n, n ) 为所有这样的数表构成的集合. 对 于 A ? S( n, n) , 记 ri ( A) 为 A 的 第 i 行 各 数之 积 , c j ( A) 为 A 的 第 j 列 各 数 之积 . 令

l ( A) ? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1

n

n

(Ⅰ)对如下数表 A ? S ( 4, 4) ,求 l ( A) 的值;

(Ⅱ)证明:存在 A ? S ( n, n) ,使得 l ( A) ? 2n ? 4k ,其中 k ? 0,1, 2,?, n ; (Ⅲ)给定 n 为奇数,对于所有的 A ? S ( n, n) ,证明: l ( A) ? 0 .

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末

4

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高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B; 2.A; 3.C; 4.B; 5.C; 6.D; 7.A; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. ?1 ; 12. ?3 ;

10.

1 ; 2 1 ? ,1] , [ , ?] ; 2 3

11. y ? ? 14. 4π .

3 5 x, ; 2 2

13. [ ?

注:11、13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由已知得 2cos B ? cos B ? 1 ? 0 ,
2

??????2 分

即 (2cos B ? 1)(cos B ? 1) ? 0 . 解得 cos B ?

1 ,或 cos B ? ?1 . 2

??????4 分 ??????5 分 ??????6 分

因为 0 ? B ? π ,故舍去 cos B ? ?1 . 所以 B ?

π . 3
2 2 2

(Ⅱ)解:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B . 将B ?

??????8 分

π 2 , b ? 7 代入上式,整理得 (a ? c) ? 3ac ? 7 . 3

因为 a ? c ? 5 , 所以 ac ? 6 . 所以 △ ABC 的面积 S ? ??????11 分

1 3 3 ac sin B ? . 2 2

??????13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由频率分布直方图知,第 3 , 4 , 5 组的学生人数之比为 3 : 2 :1 . ????2 分 所以,每组抽取的人数分别为:
5

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第 3 组:

3 2 1 ? 6 ? 3 ;第 4 组: ? 6 ? 2 ;第 5 组: ? 6 ? 1 . 6 6 6
??????5 分

所以从 3 , 4 , 5 组应依次抽取 3 名学生, 2 名学生, 1 名学生.

(Ⅱ)解:记第 3 组的 3 位同学为 A , A2 , A3 ;第 4 组的 2 位 同学为 B1 , B2 ;第 5 组的 1 位同学 1 为C . 则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为: ??????6 分

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C),( A3 , B1), ( A3 , B2 ),( A3 , C),( B1, B2 ),( B1, C),( B2 , C) ,共15 种可能.
??????10 分

其中, ( A , B1 ),( A , B2 ),( A , C),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C), 1 1 1

( B1, C),( B2 , C) 这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求.
故所求概率为 P ?

??????12 分 ??????13 分

11 . 15

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 CN . 因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ? 平面 ABC , 所以 AC ? CC1 . 因为 AC ? BC , ??????1 分 ??????2 分 所以 AC ? 平面 BCC1B1 .
2 2

??????3 分

因为 MC ? 1 , CN ? CC1 ? C1 N ? 5 , 所以 MN ? 6 . (Ⅱ)证明:取 AB 中点 D ,连接 DM , DB . 1 在△ ABC 中,因为 M 为 AC 中点,所以 DM // BC , DM ? ??????4 分 ??????5 分

1 BC . 2 1 在矩形 B1BCC1 中,因为 N 为 B1C1 中点,所以 B1 N // BC , B1 N ? BC . 2
所以 DM // B1N , DM ? B1N . 所以 四边形 MDB N 为平行四边形,所以 MN // DB1 . 1 因为 MN ? 平面 ABB A1 , DB1 ? 平面 ABB A1 , 1 1 ??????7 分 ??????8 分

6

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所以 MN // 平面 ABB A1 . 1

??????9 分

(Ⅲ)解:线段 CC1 上存在点 Q ,且 Q 为 CC1 中点时,有 A1B ? 平面 MNQ . ???11 分 证明如下:连接 BC1 . 在正方形 BB C1C 中易证 QN ? BC1 . 1 又 A1C1 ? 平面 BB C1C ,所以 A C1 ? QN ,从而 NQ ? 平面 A1BC1 .????12 分 1 1 所以 A1B ? QN . 同理可得 A1B ? MQ ,所以 A1B ? 平面 MNQ . 故线段 CC1 上存在点 Q ,使得 A1B ? 平面 MNQ . 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ?( x) ? ??????14 分 ??????13 分

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

??????2 分

依题意,令 f ?(?1) ? 0 ,得 b ? 1 . 经检验, b ? 1 时符合题意. 解:① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

??????4 分 ??????5 分(Ⅱ)

1 . x
??????6 分

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间. ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2
??????8 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, ? b )
?


? b
0

(? b , b )

b
0

( b , ? ?)
?


?


故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ??????11 分 ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}.

7

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因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间. ??????13 分 19. (本小题满分 14 分)

?b 1 ? ? , (Ⅰ)解:依题意,得 ? a 2 ? a 2 ? b 2 ? 5. ?
解得 a ? 2 , b ? 1 . 所以 椭圆的方程为

??????2 分

??????3 分 ??????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)证明:由于 l // AB ,设直线 l 的方程为 y ? ? 整理得 2 x ? 4mx ? 4m ? 4 ? 0 .
2 2

1 x2 x ? m ,将其代入 ? y 2 ? 1,消去 y , 2 4
??????6 分

设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) .

?? ? 16m2 ? 32(m2 ? 1) ? 0, ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2m, ??????8 分 ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2.
证法一:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 . 由 M (2m,0) , N (0, m) , 则 S1 ? S2 ?

1 1 ? | 2m | ? | y1 | ? ? | m | ? | x2 | ? | 2 y1 | ? | x2 | . ??????10 分 2 2

因为 x1 ? x2 ? 2m , 所以 | 2 y1 | ? | 2 ? (? 从而 S1 ? S2 . 证法二:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 . 则 S1 ? S2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD, MN 的中点重合. 因为 x1 ? x2 ? 2m ,
8

1 x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2m | ? | x2 | , 2

??????13 分 ??????14 分

??????10 分

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x1 ? x2 y ? y2 1 x ?x 1 ?m, 1 ? ? ? 1 2 ?m ? m. 2 2 2 2 2 1 故线段 CD 的中点为 ( m, m) . 2
所以 因为 M (2m,0) , N (0, m) , 所以 线段 MN 的中点坐标亦为 ( m, 从而 S1 ? S2 .

1 m) . 2

??????13 分 ??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: r ( A) ? r3 ( A) ? r4 ( A) ? 1 , r2 ( A) ? ?1 ; c1 ( A) ? c2 ( A) ? c4 ( A) ? ?1, c3 ( A) ? 1, 1 所以 l ( A) ?

? ri ( A) ? ? c j ( A) ? 0 .
i ?1 j ?1

4

4

??????3 分

(Ⅱ)证明: (ⅰ)对数表 A0 : aij ? 1 (i, j ? 1, 2,3, ?, n) ,显然 l ( A0 ) ? 2n . 将数表 A0 中的 a11 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A ,显然 l ( A ) ? 2n ? 4 . 1 1 将数表 A 中的 a22 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2n ? 8 . 1 依此类推,将数表 Ak ?1 中的 akk 由 1 变为 ?1 ,得到数表 Ak . 即数表 Ak 满足: a11 ? a22 ? ? ? akk ? ?1(1 ? k ? n) ,其余 aij ? 1 . 所以 r ( A) ? r2 ( A) ? ? ? rk ( A) ? ?1, c1 ( A) ? c2 ( A) ? ? ? ck ( A) ? ?1 . 1 所以 l ( Ak ) ? 2[(?1) ? k ? (n ? k )] ? 2n ? 4k ,其中 k ? 0,1, 2,?, n .?????7 分 【注:数表 Ak 不唯一】 (Ⅲ)证明:用反证法. 假设存在 A ? S ( n, n) ,其中 n 为奇数,使得 l ( A) ? 0 . 因为 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? n,1 ? j ? n) , 所以 r1 ( A) , r2 ( A) , ? , rn ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , cn ( A) 这 2n 个数中有 n 个1 , n 个

?1 .
令 M ? r ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 1

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一方面,由于这 2n 个数中有 n 个 1 , n 个 ?1 ,从而 M ? (?1)n ? ?1 .
2



另一方面, r ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) 表示数表中所有元素之积(记这 n 个实数之积为 m ) ; 1

c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) 也表示 m ,

从而 M ? m ? 1 .
2



①、②相互矛盾,从而不存在 A ? S ( n, n) ,使得 l ( A) ? 0 . 即 n 为奇数时,必有 l ( A) ? 0 . ??????13 分

1 0


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