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数学(北师大版选修2-2)课件:第4章 1.1、1.2 定积分的概念_图文

第四章 定积分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 1.2 定积分 学习目标 1.了解曲边梯形的面积的求法. 重点难点 2.理解“分割、近似代替、求和、取极限 1.重点:定积分的概 ”的数学思想. 念和性质. 3.掌握定积分的概念,并会用定义求定积 2.难点:定积分的概 分. 性质. 念的理解及几何意 4.理解定积分的几何意义和定积分的基本 义. 1.定积分的背景——面积和路程问题 面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不 同的问题,但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变 过剩估计值 和______________ 不足估计值 ,分割得越 量的区间得到______________ 精确值 ;当分割成的小区间的长度 细,估计值就越接近__________ 趋于0 时,_____________ 过剩估计值 和____________ 不足估计值 都趋于要求的值. _______ 2.定积分的概念 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函 数y=f(x),其图像如下图所示. 将[a,b]区间分成n份,分点为: a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. 第i 个小区间为 [xi - 1 , xi] ,设其长度为 Δxi ,在这个小区间 上 取 一 点 ξi , 使 f(ξi) 在 区 间 [xi - 1 , xi] 上 的 值 最 大 , 设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn ___________________________________________________. 在这个小区间上取一点 ζi,使 f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最 s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn 小,设________________________________________________. 如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差 也趋于 0,此时,S 与 s 同时趋于某一个固定的常数 A,容易验 证 , 在 每 个 小 区 间 [ xi - 1 , xi] 上 任 取 一 点 δi , S′=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δi+…+f(δn)Δxn ____________________________________________________ 的 值也趋于该常数 A,我们称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的 f(x)dx=A . 定积分 ,记作 f(x)dx,即___________ _________ ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a 积分号 , 积分的下限 , 其中∫叫作__________ a 叫作______________ b 叫作积 分的上限,f(x)叫作被积函数. 温馨提示: 1.定积分 f(x)dx 是一个常数. 2.用定义求定积分的一般步骤: (1)分割:n 等分区间[a,b]; ?b ? ? ?a (2)近似代替:在每个小区间任取 ξi; b-a (3)求和: ?f(ξi)· ; n i=0 n-1 b-a (4)取极限: f(x)dx= lim ?f(ξi)· . n n→+∞ i=0 ?b ? ? ?a n-1 3.定积分的几何意义及性质 y=f(x) 与 ________ x=a , 当 f(x)≥0 时, f(x)dx 表示的是 ________ x 轴所围曲边梯形的面积;当 f(x)表示速度关于 x=b 和_____ ________ f(x)dx 表示的是运动物体从 x=a 到 x=b 时间 x 的函数时,_________ ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a 时所走过的路程. b-a 性质 1: 1dx=__________ ; k f(x)dx 性质 2: kf(x)dx=_____________ ; f(x)dx± g(x)dx 性质 3: [f(x)± g(x)]dx=________________; f(x)dx+ f(x)dx 性质 4: f(x)dx=________________. ?b ? ? ?a ?c ? ? ?a ?b ? ? ?c ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a 过剩估计值和不足估计值的应用 一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻t的 速度为 v(t) =- t2 + 5( 单位: km/h) .试估计这辆汽车在 0≤t≤2 (单位:h)这段时间内行驶的路程(单位:km,区间10等分). [思路点拨 ] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线 运动的路程问题,通过求矩形面积问题即可解决. 解:将区间[0,2]10等分,如图(1)(2): 图(1) 图(2) S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72, s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2=6.92. 所以估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间. 【点评】 解决这类问题的方法是通过分割自变量的区间 求得过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近 精确值;当分割成的小区间的长度趋于 0 时,过剩估计值和不 足估计值都趋于要求的值. 1 2 1.求由直线 x=1,x=2 和 y=0 及曲线 y= x 所围成的曲 2 边梯形的面积的估计值,并写出估计误差(区间 5 等分). 解: 如下图,将区间 [1,2]5 等分, 分别以每个小区间的左、右端点的纵 坐标为小矩形的高,得此平面图形面 积的不足估计值s和过剩估计值S. s= 1.02, S= 1.32, ?1 ? 1 1 1 1 ?

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