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【优化方案】高中数学 第3章3.4基本不等式ab≤a+b2课件 新人教A版必修5_图文

3.4 a+b 基本不等式: ab≤ 2 学习目标 1.理解基本不等式的内容及其证明. 2.能应用基本不等式解决求最值、证明不等式 等问题. 课前自主学案 3. 4 基 本不等式: a+ b ab≤ 2 知能优化训练 课堂互动讲练 课前自主学案 温故夯基 a+b 1.两个正数 a 与 b 的等差中项为 ,正的等比 2 ab. 中项为______ 2.由不等式性质可知,对任意 a,b∈R,(a-b)2 ≥ _______ ≥ 0,因此 a2+b2 _____2 ab.什么时候等 a=b 时,取等号. 号成立呢?当且仅当_______ 知新盖能 1.基本不等式 (1)重要不等式:对于任意实数a、b,都有a2+b2 ≥ ab,当且仅当______ a=b 时,等号成立. ___2 (2)基本不等式 ① a+b ab≤ ; 形式:_____________ 2 a > 0, b> 0 ; ②成立的前提条件:_______________ ③等号成立的条件:当且仅当______ a=b 时取等号; a+b ④对任意两个正实数 a、b, 叫做 a,b 的 2 算术平均数 , ab叫做 a,b 的_____________ 几何平均数. ___________ 思考感悟 1.基本不等式中的a,b可以是任意为正值的代 数式吗? 提示:可以. 2.应用基本不等式求最值 如果x,y都是正数,那么 x=y 时,和x+y (1)若积xy是定值P,那么当________ 有最___ 小 值. x=y 时,积xy有 (2)若和x+y是定值S,那么当_______ 最___ 大 值. 思考感悟 2.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小 值吗? 提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求 1 等号能取到.如: x+ ,x∈[2,+∞). x 课堂互动讲练 考点突破 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本 不等式及其变形,同时注意利用基本不等式成立 的条件.对要证明的不等式作适当变形,变出基 本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证 明. 例1 已知a,b,c 为不全相等的正实数.求证 a2+b2+c2>ab+bc+ca. 【思路点拨】 → 得到结论 【证明】 构造基本不等式的条件 → 运用基本不等式证明 → 判断等号成立的条件 ∵a>0,b>0,c>0, ∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 又 a,b,c 为不全等的正实数,故等号不成立. ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. 互动探究 本例条件不变, 求证 a+b+c> ab+ bc+ ca. 证明:∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab>0, b+c≥2 bc>0, c+a≥2 ca>0. ∴2(a+b+c)≥2( ab+ bc+ ca), 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ca. 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,故等号不成 立. ∴a+b+c> ab+ bc+ ca. 利用基本不等式求函数的最值 利用基本不等式求函数的最值,要满足: (1)函数式中各项必须都是正数; (2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数 (定值); (3)等号成立条件必须存在. 例2 3 (1)设 0<x< , 求函数 y=4x(3-2x)的最 2 大值; 1 9 (2)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小 x y 值. 【思路点拨】 不等式求解. 构造和或积的定值,利用基本 3 【解】 (1)∵0<x< ,∴3-2x>0, 2 ∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)] 2x+?3-2x? 2 9 ≤2[ ]= . 2 2 当且仅当 2x=3-2x, 3 即 x= 时,等号成立. 4 3 3 ∵ ∈(0, ), 4 2 3 9 ∴函数 y=4x(3-2x)(0<x< )的最大值为 . 2 2 1 9 (2)∵x>0,y>0,x+y =1, 1 9 ∴x+y=(x+ y)(x+y) y 9x =x+ y +10≥6+10=16. y 9x 1 9 当且仅当 = ,又 + =1, x y x y 即 x=4,y=12 时,上式取等号. 故当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16. 4 变式训练 1 (1)已知 x<3,求 f(x)= +x 的 x-3 最大值; x2 (2)已知 x>1,求 y= 的最小值. x-1 解:(1)∵x<3,∴x-3<0. 4 4 ∴f(x)= +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 4 4 =-[ +(3-x)]+3≤-2 · ?3-x?+3 3-x 3-x =-1, 4 当且仅当 =3-x,即 x=1 时取等号. 3- x ∴f(x)的最大值为-1. 2 2 x -1+1 x 1 (2)y= = =x+1+ x-1 x-1 x-1 1 =x-1+ +2≥2+2=4, x- 1 1 当且仅当 =x-1, x- 1 即(x-1)2=1 时,等式成立,∵x>1, ∴当 x=2 时,ymin=4. 利用基本不等式解应用题 基本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决 生产、科研和日常生活中的问题,解答不等式的 应用题一般可分为四步:(1)阅读并理解材料;(2) 建立数学模型;(3)讨论不等关系;(4)作出结 论. 例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需 用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的 保管费及其他费用为平均每天3元,购买面粉每 次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面 粉,才能使平均每天所支付的总费用最小? 【思路点拨】 设出变量 → 列函数关系式 → 利用基本不等式求最值 → 作出结论 【解】 设该厂每隔x天购买一次面粉,

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